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\newtheorem{defn}{定义}[section]
\newtheorem{prop}{命题}[section]
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\renewcommand{\proofname}{\bf 证明}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\begin{document}

\title{实分析笔记：测度论基础}
\author{郝成春 \thanks{中国科学院数学与系统科学研究院} \\ 整理：深度学习助手}
\date{更新：2026年3月22日}
\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{预备知识：$\sigma$-代数与Borel集}
在测度论中，我们需要一个可以“测量”的集合族，它必须对可列运算封闭，这样我们才能处理极限和无穷过程。$\sigma$-代数就是这样的结构。

\subsection{代数和$\sigma$-代数}
设$X$是一个非空集合，$\mathcal{P}(X)$表示$X$的幂集。

\begin{defn}[代数]
设$\cA\subset \mathcal{P}(X)$。若$\emptyset\in\cA$，且$\cA$对并运算和补运算封闭（即$A,B\in\cA\Rightarrow A\cup B\in\cA$，且$A\in\cA\Rightarrow A^c\in\cA$），则称$\cA$为\textbf{代数}（或域）。
\end{defn}

\begin{prop}
设$\cA\subset\mathcal{P}(X)$，则：
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item 若$\emptyset\in\cA$且$\cA$对交运算和补运算封闭，则$\cA$是代数。
\item 若$\cA$是代数，则$\cA$对交运算和差运算封闭。
\end{enumerate}
\end{prop}
\noindent\textbf{证明思路：} (i) 利用De Morgan律：$A\cup B = (A^c\cap B^c)^c$，由对交和补封闭可得对并封闭。(ii) 利用$A\cap B = (A^c\cup B^c)^c$，$A\setminus B = A\cap B^c$。

\begin{defn}[$\sigma$-代数]
设$\cF\subset\mathcal{P}(X)$。若$\emptyset\in\cF$，且$\cF$对可列并和补运算封闭，则称$\cF$为\textbf{$\sigma$-代数}（或$\sigma$-域）。
\end{defn}
\note{$\sigma$-代数比代数更强：不仅对有限并封闭，还要对可列并封闭。这允许我们处理无限过程。}

\begin{exmp}[平凡的$\sigma$-代数]
\begin{itemize}
\item $\mathcal{P}(X)$是$X$上最大的$\sigma$-代数（包含一切子集）。
\item $\{\emptyset, X\}$是最小的$\sigma$-代数。
\item 任何$\sigma$-代数都包含$\emptyset$和$X$（因为空集在定义中，补集给出全空间）。
\end{itemize}
\end{exmp}

\begin{prop}
设$\cF$是$\sigma$-代数，则：
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item $\cF$是代数。
\item $\cF$对可列交封闭，也对有限交、差封闭。
\end{enumerate}
\end{prop}
\noindent\textbf{证明：} (i) 由于$\cF$对可列并封闭，当然对有限并封闭，补封闭由定义直接有，所以是代数。(ii) 利用De Morgan律：$\bigcap_{j=1}^\infty A_j = (\bigcup_{j=1}^\infty A_j^c)^c$，可列交可由可列并和补得到。

\subsection{生成$\sigma$-代数}
给定一个集类$\cC\subset\mathcal{P}(X)$，我们希望找到包含$\cC$的最小$\sigma$-代数。由于$\mathcal{P}(X)$本身是$\sigma$-代数，所以包含$\cC$的$\sigma$-代数总是存在的。取所有这些$\sigma$-代数的交，即可得到最小的$\sigma$-代数，记作$\sigma(\cC)$，称为\textbf{由$\cC$生成的$\sigma$-代数}。
\note{生成$\sigma$-代数的过程类似于“闭包”：不断添加可列并、交、补，直到不再产生新集合。}

\subsection{Borel $\sigma$-代数}
\begin{defn}[Borel $\sigma$-代数]
设$X$是一个度量空间（如$\R^n$）。由$X$中所有开集生成的$\sigma$-代数称为\textbf{Borel $\sigma$-代数}，记作$\mathcal{B}_X$。它的成员称为\textbf{Borel集}。
\end{defn}
\note{Borel集是开集经过可列次并、交、补运算得到的集合。它们构成了我们通常能“测量”的集合的基础。}

常见的Borel集类型：
\begin{itemize}
\item 开集、闭集。
\item $G_\delta$集：可列个开集的交集。
\item $F_\sigma$集：可列个闭集的并集。
\item $G_{\delta\sigma}$集：可列个$G_\delta$集的并集。
\item $F_{\sigma\delta}$集：可列个$F_\sigma$集的交集。
\item 等等。
\end{itemize}
这些集合在分析中非常常见，例如有理数集是$F_\sigma$（因为每个单点是闭集，有理数是可列个单点的并）。

\subsection{$\R^n$中开集的构造}
在$\R^n$中，开集可以用方体（或长方体）来构造。我们先回忆一下长方体的体积定义。

\begin{defn}[长方体与体积]
设$a_j\le b_j$，$j=1,\dots,n$。闭长方体
\[
R=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]
\]
的体积定义为$|R|=\prod_{i=1}^n(b_i-a_i)$。开长方体是开区间的乘积。\note{当$n=1$时就是长度，$n=2$时就是面积。}
\end{defn}

\subsubsection{一维情形：开区间分解}
\begin{thm}[$\R$中开集的构造]
$\R$中的每个开子集$O$可以唯一地表示为至多可列个互不相交的开区间的并集（这些开区间可以是$(-\infty,a)$、$(b,\infty)$或$(-\infty,\infty)$）。
\end{thm}
\noindent\textbf{证明思路（直观）：} 对每个$x\in O$，考虑最大的开区间$(a_x,b_x)$包含$x$且包含在$O$中。这些区间要么相等要么不相交，因为若两个相交则它们的并也是开区间且仍在$O$中，矛盾。所以这些区间是互不相交的。又因为每个区间包含一个有理数，有理数可数，所以区间个数至多可列。
\note{这个定理告诉我们，一维开集的结构非常简单：就是一些不相交的开区间。因此开集的“长度”可以自然地定义为这些区间长度之和。}

\subsubsection{高维情形：方体分解}
然而在$\R^n$（$n\ge2$）中，开集不能唯一地分解成互不相交的开方体（比如圆盘不能用不相交的矩形完美覆盖）。但有一个替代结果：

\begin{thm}[$\R^n$中开集的构造]
设$n\ge1$，$\R^n$中的每个开子集$O$可以表示为至多可列个\textbf{几乎互不相交}的闭方体的并集，即它们的内部互不相交。
\end{thm}
\note{这个定理的证明通常使用二进方体分解（dyadic cubes）。将$\R^n$分割成边长为$2^{-k}$的二进方体，取那些完全包含在$O$中的最大方体，这些方体内部互不相交，且覆盖$O$除了边界。这样，即使分解不唯一，但体积和是确定的，因为边界测度为零。}

\subsection{Cantor集}
Cantor集是实分析中一个经典的反例集合，它有许多奇特的性质。

\begin{defn}[Cantor三分集]
从$C_0=[0,1]$出发，每一步去掉每个区间中间的开区间（长度为该区间长度的$1/3$）。得到递减的紧集序列$C_k$，其中$C_k$由$2^k$个长度为$3^{-k}$的闭区间组成。Cantor集定义为
\[
C=\bigcap_{k=0}^{\infty}C_k.
\]
\end{defn}
\noindent\textbf{性质：}
\begin{itemize}
\item $C$是紧集（闭集且有界），完全不连通（任何两点之间有一个去掉的区间），没有内点。
\item $C$的Lebesgue外测度为$0$：因为$C\subset C_k$，而$|C_k| = (2/3)^k$，所以$\mstar(C)\le (2/3)^k\to 0$。
\item $C$的势为$\aleph_0$（与$[0,1]$等势，即不可数）。证明可用三进制展开：$C$中的点可以写成三进制小数，只包含数字0和2（每一步去掉中间1/3对应数字1），这种表示与$\{0,2\}^\mathbb{N}$一一对应，后者势为$2^{\aleph_0}=c$。
\end{itemize}
\note{Cantor集展示了测度为0的不可数集的存在性，对理解测度与基数的关系很有帮助。它还是一个“自相似”分形。}

\section{外测度}
在$\R^n$中，我们首先通过外部逼近来定义任意子集的一个“尺寸”概念——外测度。这类似于用方体覆盖来近似集合的“体积”。

\subsection{定义与基本例子}
\begin{defn}[外测度]
设$E\subset\R^n$。$E$的\textbf{外测度}定义为
\[
\mstar(E)=\inf\left\{\sum_{j=1}^{\infty}|Q_j| : E\subset\bigcup_{j=1}^{\infty}Q_j,\ Q_j\text{是闭方体}\right\}.
\]
\end{defn}
这里下确界取遍所有由闭方体构成的可数覆盖。允许无限覆盖是必要的，否则有限覆盖无法精确逼近某些集合（如有理点集）。
\note{可以把外测度理解为“用方体覆盖E的最小总成本”。就像我们要测量一个不规则形状的土地，用许多小正方形去覆盖，正方形的总面积之和的下确界就是外测度。}

\begin{exmp}
\begin{itemize}
\item $\mstar(\{x_0\})=0$：因为可以用边长为$\varepsilon$的方体覆盖，体积为$\varepsilon^n$，取$\varepsilon\to 0$。
\item 若$Q$是闭方体，则$\mstar(Q)=|Q|$：一方面$Q$本身覆盖给出上界$|Q|$；另一方面，任何覆盖的体积和至少为$|Q|$（需要证明，利用有限覆盖定理和长方体的体积不等式）。若$Q$是开方体，也有$\mstar(Q)=|Q|$。
\item $\mstar(\R^n)=\infty$：因为任何有界覆盖只能覆盖有界部分，无法覆盖全空间。
\item Cantor集$C$的外测度为$0$：因为$C\subset C_k$，$|C_k|=(2/3)^k\to 0$。
\end{itemize}
\end{exmp}

\subsection{外测度的性质}
外测度满足以下重要性质，证明基于定义和下确界的性质。

\begin{prop}[单调性]
若$E_1\subset E_2$，则$\mstar(E_1)\le\mstar(E_2)$。
\end{prop}
\noindent\textbf{证明：} $E_2$的任何覆盖也是$E_1$的覆盖，因此下确界更小。

\begin{prop}[可列次可加性]
对任意可列个集合$\{E_j\}_{j=1}^\infty$，有
\[
\mstar\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}E_j\right)\le\sum_{j=1}^{\infty}\mstar(E_j).
\]
\end{prop}
\noindent\textbf{证明：} 对任意$\varepsilon>0$，对每个$j$，存在闭方体覆盖$\{Q_{j,k}\}_{k=1}^\infty$使得$E_j\subset\bigcup_k Q_{j,k}$且$\sum_k |Q_{j,k}|\le \mstar(E_j)+\varepsilon/2^j$。则所有$\{Q_{j,k}\}$构成$\bigcup_j E_j$的可数覆盖，且
\[
\sum_{j,k}|Q_{j,k}|\le\sum_j\left(\mstar(E_j)+\frac{\varepsilon}{2^j}\right)=\sum_j\mstar(E_j)+\varepsilon.
\]
由下确界定义，$\mstar(\bigcup_j E_j)\le\sum_j\mstar(E_j)+\varepsilon$，令$\varepsilon\to0$得证。

\begin{prop}[开集逼近]
对任意$E\subset\R^n$，有
\[
\mstar(E)=\inf\{\mstar(O): O\text{是开集}, O\supset E\}.
\]
\end{prop}
\noindent\textbf{证明：} 设右端为$m$。由于开集也是$\R^n$的子集，$\mstar(E)\le \mstar(O)$，故$\mstar(E)\le m$。反之，对任意$\varepsilon>0$，存在闭方体覆盖$\{Q_j\}$使得$\sum|Q_j|\le\mstar(E)+\varepsilon$。将每个$Q_j$稍扩大为开方体$Q_j^\circ$，使得$|Q_j^\circ|\le|Q_j|+\varepsilon/2^j$，则$O=\bigcup Q_j^\circ$是开集，$E\subset O$，且$\mstar(O)\le\sum|Q_j^\circ|\le\mstar(E)+2\varepsilon$。所以$m\le\mstar(E)+2\varepsilon$，令$\varepsilon\to0$得$m\le\mstar(E)$。

\begin{prop}[正距离的可加性]
若$E_1,E_2$满足$d(E_1,E_2)>0$，则
\[
\mstar(E_1\cup E_2)=\mstar(E_1)+\mstar(E_2).
\]
\end{prop}
\noindent\textbf{证明：} 由次可加性，$\le$显然。要证$\ge$。设$d=d(E_1,E_2)>0$。取方体覆盖$\{Q_j\}$使得$E_1\cup E_2\subset\bigcup Q_j$且$\sum|Q_j|\le\mstar(E_1\cup E_2)+\varepsilon$。将$Q_j$分为两类：与$E_1$相交的记为$Q_j'$，其余的记为$Q_j''$。由于$E_1$和$E_2$距离为正，我们可以将每个$Q_j$适当细分，使得$Q_j'$只覆盖$E_1$，$Q_j''$只覆盖$E_2$（实际上，可以取更小的方体使得它们不跨过两个集合）。严格证明中常用到：将$E_1$和$E_2$分开一定距离，覆盖可以分割成不相交的两组，然后利用外测度定义得到下界。这里给出一个简洁版本：因为$d>0$，存在$\delta>0$使得$E_1$的$\delta$-邻域与$E_2$不相交。对于任何覆盖，我们可以将覆盖的方体适当细分，使得每个小方体直径小于$\delta$，从而每个小方体至多与$E_1$或$E_2$之一相交。然后这些覆盖$E_1$的小方体体积和至少$\mstar(E_1)$，覆盖$E_2$的至少$\mstar(E_2)$。因此$\sum|Q_j|\ge\mstar(E_1)+\mstar(E_2)-\varepsilon$。取极限得$\mstar(E_1\cup E_2)\ge\mstar(E_1)+\mstar(E_2)$。

\begin{prop}[方体分解]
若$E$是几乎互不相交的闭方体的可列并：$E=\bigcup_{j=1}^{\infty}Q_j$，则
\[
\mstar(E)=\sum_{j=1}^{\infty}|Q_j|.
\]
\end{prop}
\noindent\textbf{证明：} 由次可加性得$\mstar(E)\le\sum|Q_j|$。反方向：对任意$N$，$Q_1,\dots,Q_N$的内部互不相交，且它们之间的距离为正（因为它们是紧集且内部不相交，边界可能相交但边界测度为零，可通过微调得到正距离）。利用正距离可加性，有限可加性成立：$\mstar(\bigcup_{j=1}^N Q_j)=\sum_{j=1}^N |Q_j|$。又因为$\bigcup_{j=1}^N Q_j\subset E$，由单调性得$\sum_{j=1}^N |Q_j|\le\mstar(E)$。令$N\to\infty$得$\sum_{j=1}^\infty |Q_j|\le\mstar(E)$。

\section{可测集与Lebesgue测度}
外测度虽然具有次可加性，但不满足可列可加性（即对互不相交的集，外测度不一定等于和）。为了修复这一缺陷，我们引入可测集的概念，将那些“良性的”集合分离出来。

\subsection{可测性的定义}
\begin{defn}[可测集]
称$E\subset\R^n$是\textbf{Lebesgue可测}的，如果对任意$\varepsilon>0$，存在开集$O\supset E$使得
\[
\mstar(O\setminus E)\le\varepsilon.
\]
若$E$可测，则定义它的\textbf{Lebesgue测度}为$\mset(E)=\mstar(E)$。
\end{defn}
\note{这个定义的意思是：可测集就是可以用开集从外部任意逼近的集合，且逼近的误差（开集减去原集）的外测度可以任意小。想象我们用一把很细的筛子去筛集合，筛子孔就是开集，剩下被筛掉的（$O\setminus E$）可以做到任意小。}

\subsection{可测集的性质}
\begin{prop}
$\R^n$中的任意开集是可测的。
\end{prop}
\noindent\textbf{证明：} 取$O$本身即可。

\begin{prop}[零测集可测]
若$\mstar(E)=0$，则$E$可测。
\end{prop}
\noindent\textbf{证明：} 对任意$\varepsilon>0$，由开集逼近，存在开集$O\supset E$使得$\mstar(O)\le\varepsilon$。则$\mstar(O\setminus E)\le\mstar(O)\le\varepsilon$。

\begin{prop}[可列并保持可测性]
可列个可测集的并集是可测的。
\end{prop}
\noindent\textbf{证明：} 设$E=\bigcup_{j=1}^\infty E_j$，$E_j$可测。对任意$\varepsilon>0$，取开集$O_j\supset E_j$使得$\mstar(O_j\setminus E_j)\le\varepsilon/2^j$。令$O=\bigcup_j O_j$，则$O$是开集，$E\subset O$。且$O\setminus E\subset\bigcup_j (O_j\setminus E_j)$，由次可加性，
\[
\mstar(O\setminus E)\le\sum_j\mstar(O_j\setminus E_j)\le\sum_j\frac{\varepsilon}{2^j}=\varepsilon.
\]
所以$E$可测。

\begin{prop}[闭集可测]
任意闭集是可测的。
\end{prop}
\noindent\textbf{证明思路：} 先证紧集可测（利用有限覆盖和开集逼近），然后闭集可以写成可列个紧集的并（例如$F=\bigcup_{k=1}^\infty (F\cap \overline{B(0,k)})$），再由可列并封闭得证。这里需要引理：若$F$闭、$K$紧且不相交，则$d(F,K)>0$，这用于构造开集逼近时分开它们。

\begin{prop}[补集可测]
若$E$可测，则$E^c$也可测。
\end{prop}
\noindent\textbf{证明：} 对任意$\varepsilon>0$，存在开集$O\supset E$使得$\mstar(O\setminus E)\le\varepsilon$。令$F=O^c$，则$F$是闭集，且$F\subset E^c$。我们有$E^c\setminus F = O\setminus E$，且$\mstar(E^c\setminus F)\le\varepsilon$。现在对$F$使用闭集可测性（或直接用定义）可得存在开集$U\supset E^c$使得$\mstar(U\setminus E^c)$任意小，从而$E^c$可测。

\begin{prop}[可列交保持可测性]
可列个可测集的交集是可测的。
\end{prop}
\noindent\textbf{证明：} 由De Morgan律，$\bigcap E_j = (\bigcup E_j^c)^c$，补集和并集运算封闭性保持可测。

由此可知，所有可测集构成的族是一个$\sigma$-代数，它包含所有开集，因此也包含所有Borel集。实际上，存在不可测的集合（需要选择公理），但Borel集都是可测的。

\subsection{可列可加性}
测度最重要的性质是它关于互不相交的可列并具有可加性。

\begin{thm}[可列可加性]
设$\{E_j\}_{j=1}^\infty$是互不相交的可测集，则
\[
\mset\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}E_j\right)=\sum_{j=1}^{\infty}\mset(E_j).
\]
\end{thm}
\noindent\textbf{证明：} 首先证明有限可加性：对互不相交的可测集$E,F$，有$\mset(E\cup F)=\mset(E)+\mset(F)$。由于$E,F$可测，对任意$\varepsilon>0$，存在开集$O_1\supset E$，$O_2\supset F$使得$\mstar(O_1\setminus E)\le\varepsilon$，$\mstar(O_2\setminus F)\le\varepsilon$。令$O=O_1\cup O_2$，则$O$是开集且包含$E\cup F$。但更精细地，我们可以找到开集$U\supset E\cup F$使得$U\setminus(E\cup F)$的外测度很小。实际上，利用正距离可加性：因为$E$和$F$不相交，我们可以用开集$U$分开它们，然后利用外测度的可加性（正距离情形）。另一种方法是利用Carathéodory条件：可测集满足对任意$A$，$\mstar(A)=\mstar(A\cap E)+\mstar(A\cap E^c)$。取$A=E\cup F$，则$A\cap E=E$，$A\cap E^c=F$，所以$\mstar(E\cup F)=\mstar(E)+\mstar(F)$。因此有限可加性成立。

然后对可列情形，由有限可加性，对任意$N$，
\[
\sum_{j=1}^N\mset(E_j)=\mset\left(\bigcup_{j=1}^N E_j\right)\le\mset\left(\bigcup_{j=1}^\infty E_j\right).
\]
令$N\to\infty$得$\sum_{j=1}^\infty\mset(E_j)\le\mset\left(\bigcup_{j=1}^\infty E_j\right)$。反向不等式由次可加性直接得到。因此等式成立。

\subsection{测度的连续性}
测度在单调极限下保持连续性。

\begin{cor}[测度的下连续性]
若$E_1\subset E_2\subset\cdots$且$E=\bigcup_{j=1}^\infty E_j$，则
\[
\mset(E)=\lim_{N\to\infty}\mset(E_N).
\]
\end{cor}
\noindent\textbf{证明：} 令$F_1=E_1$，$F_j=E_j\setminus E_{j-1}$（$j\ge2$），则$F_j$互不相交，且$E=\bigcup_{j=1}^\infty F_j$，$E_N=\bigcup_{j=1}^N F_j$。由可列可加性，
\[
\mset(E)=\sum_{j=1}^\infty\mset(F_j)=\lim_{N\to\infty}\sum_{j=1}^N\mset(F_j)=\lim_{N\to\infty}\mset(E_N).
\]

\begin{cor}[测度的上连续性]
若$E_1\supset E_2\supset\cdots$，$E=\bigcap_{j=1}^\infty E_j$，且存在$k$使得$\mset(E_k)<\infty$，则
\[
\mset(E)=\lim_{N\to\infty}\mset(E_N).
\]
\end{cor}
\noindent\textbf{证明：} 考虑$F_j=E_k\setminus E_{k+j}$（$j\ge0$），则$F_j$递增，且$\bigcup_{j=0}^\infty F_j = E_k\setminus E$。由下连续性，
\[
\mset(E_k)-\mset(E)=\mset(E_k\setminus E)=\lim_{j\to\infty}\mset(E_k\setminus E_{k+j})=\mset(E_k)-\lim_{j\to\infty}\mset(E_{k+j}).
\]
由于$\mset(E_k)<\infty$，可消去得$\mset(E)=\lim_{j\to\infty}\mset(E_{k+j})$，即$\lim_{N\to\infty}\mset(E_N)$存在且等于$\mset(E)$。

\begin{remark}[反例]
没有有限测度条件时，结论可能不成立。例如在$\R$中取$E_n=(n,\infty)$，则$\mset(E_n)=\infty$，但$\bigcap E_n=\emptyset$，测度为0，极限不相等。
\end{remark}

\section{总结与展望}
本章从外测度出发，通过引入可测集的概念，建立了Lebesgue测度。可测集构成一个$\sigma$-代数，并且测度满足可列可加性，这为后续的积分理论奠定了基础。理解外测度的次可加性和正距离可加性，以及可测集的定义，是掌握测度论的关键。

在后续章节中，我们将讨论可测函数、Lebesgue积分以及微分理论，进一步深化对测度的应用。例如，我们将利用测度的连续性证明Lebesgue积分与极限交换的条件，并研究函数的可微性（如Lebesgue微分定理、有界变差函数等）。

\appendix
\section{重要引理证明}
\subsection{引理：若$F$闭、$K$紧且不相交，则$d(F,K)>0$}
\begin{proof}
假设$d(F,K)=0$，则存在点列$x_j\in F$，$y_j\in K$使得$|x_j-y_j|\to0$。由$K$紧，存在子列$y_{j_k}\to y\in K$。则$x_{j_k}\to y$。由于$F$闭，$y\in F$，这与$F\cap K=\emptyset$矛盾。
\end{proof}

\subsection{引理：开集构造定理（$\R^n$）的证明概要}
这里给出二进方体分解的证明思路：对于开集$O$，考虑所有边长为$2^{-k}$的二进方体，这些方体覆盖$\R^n$且内部互不相交。取那些完全包含在$O$中的最大方体（即对于某个$k$，该方体包含在$O$中，但它的父方体不包含在$O$中），这些方体内部互不相交，且它们的并集等于$O$除去边界。由于边界是零测集，因此$O$可表示为这些方体（几乎互不相交）的可列并。

\subsection{外测度的正距离可加性详细证明}
\begin{proof}
设$d=d(E_1,E_2)>0$。任取$\varepsilon>0$，存在覆盖$E_1\cup E_2$的闭方体族$\{Q_j\}$使得$\sum|Q_j|\le\mstar(E_1\cup E_2)+\varepsilon$。取$\delta<d/\sqrt{n}$，使得每个方体的直径小于$d$。将每个$Q_j$细分（用网格）成许多小方体，每个小方体直径小于$\delta$。这样，每个小方体至多与$E_1$或$E_2$之一相交（否则其直径会跨越距离$d$）。令$\{P_j\}$为这些与$E_1$相交的小方体，$\{R_j\}$为与$E_2$相交的小方体。则$\{P_j\}$覆盖$E_1$，$\{R_j\}$覆盖$E_2$，且$\sum|P_j|+\sum|R_j|=\sum|Q_j|$（因为细分不改变总体积）。于是
\[
\mstar(E_1)+\mstar(E_2)\le\sum|P_j|+\sum|R_j|=\sum|Q_j|\le\mstar(E_1\cup E_2)+\varepsilon.
\]
令$\varepsilon\to0$得$\mstar(E_1)+\mstar(E_2)\le\mstar(E_1\cup E_2)$。
\end{proof}

\end{document}