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\begin_layout Title
实分析习题集
\end_layout

\begin_layout Section
集合
\end_layout

\begin_layout Subsection
集合的概念与运算
\end_layout

\begin_layout Problem
（1）设
\begin_inset Formula $f_{n}\left(x\right)\left(n\in\mathbb{N}\right)$
\end_inset

以及
\begin_inset Formula $f\left(x\right)$
\end_inset

是定义在
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

上的实值函数，
且有
\begin_inset Formula $f_{n}\left(x\right)\to f\left(x\right)\left(n\to\infty,x\in\mathbb{R}\right)$
\end_inset

，
则
\end_layout

\begin_layout Problem
(i) 
\begin_inset Formula $\left\{ x\in\mathbb{R}:f\left(x\right)\leqslant t\right\} =\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=m}^{\infty}\left\{ x\in\mathbb{R}:f_{n}\left(x\right)<t+\frac{1}{k}\right\} \left(t\in\mathbb{R}\right)$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Problem
(ii) 
\begin_inset Formula $\left\{ x\in\mathbb{R}:f\left(x\right)<1\right\} =\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=m}^{\infty}\left\{ x\in\mathbb{R}:f_{n}\left(x\right)\leqslant1-\frac{1}{k}\right\} $
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
（2）设
\begin_inset Formula $a_{n}\to a\left(n\to\infty\right)$
\end_inset

，
则
\begin_inset Formula $\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}\bigcup\limits_{N=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=N}^{\infty}\left(a_{n}-\frac{1}{k},a_{n}+\frac{1}{k}\right)=\left\{ a\right\} .$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
（3）设
\begin_inset Formula $\left\{ f_{n}\left(x\right)\right\} $
\end_inset

以及
\begin_inset Formula $f\left(x\right)$
\end_inset

是定义在
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

上的实值函数，
则使得
\begin_inset Formula $f_{n}\left(x\right)$
\end_inset

不收敛于
\begin_inset Formula $f\left(x\right)$
\end_inset

的一切点
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

所形成的集合
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

可表示为
\begin_inset Formula 
\[
D=\bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcap_{N=1}^{\infty}\bigcup_{n=N}^{\infty}\left\{ x:\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\geqslant\frac{1}{k}\right\} .
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
（4）设
\begin_inset Formula $\left\{ f_{n}\left(x\right)\right\} $
\end_inset

是定义在
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

上的实值函数列，
令
\begin_inset Formula 
\[
E_{n,m}^{k}=\left\{ x\in\mathbb{R}:\left|f_{n}\left(x\right)-f_{m}\left(x\right)\right|\leqslant\frac{1}{k}\right\} \left(k\in\mathbb{N}\right),
\]

\end_inset


\begin_inset Formula $\left\{ f_{n}\left(x\right)\right\} $
\end_inset

的收敛点集是
\begin_inset Formula $E=\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}\bigcup\limits_{N=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=N}^{\infty}\bigcap\limits_{m=N}^{\infty}E_{n,m}^{k}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator plain
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution*
（1）(i) 思路：
左边是函数值不超过
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

的点。
由于
\begin_inset Formula $f_{n}$
\end_inset

趋于
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

，
那么对任意小的正数
\begin_inset Formula $\frac{1}{k}$
\end_inset

，
当
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

充分大时，

\begin_inset Formula $f_{n}\left(x\right)$
\end_inset

会小于
\begin_inset Formula $t+\frac{1}{k}$
\end_inset

。
这正好是“最终一直满足”某种性质，
即集合的下极限。
同时，
对任意的
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

，
也就是一个交集。

\end_layout

\begin_layout Solution*
证明：
记
\begin_inset Formula $E_{n,k}=\left\{ x\in\mathbb{R}:f_{n}\left(x\right)<t+\frac{1}{k}\right\} .$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution*
“左
\begin_inset Formula $\subset$
\end_inset

右”：
任取
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

使得
\begin_inset Formula $f\left(x_{0}\right)\leqslant t$
\end_inset

。
对任意给定的
\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
\end_inset

，
因为
\begin_inset Formula $f_{n}\left(x_{0}\right)\to f\left(x_{0}\right)$
\end_inset

，
存在
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

使得当
\begin_inset Formula $n\geqslant N$
\end_inset

时，
有
\begin_inset Formula $f_{n}\left(x_{0}\right)<t+\frac{1}{k}$
\end_inset

，
这意味着
\begin_inset Formula $x_{0}\in\bigcup\limits_{N=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=N}^{\infty}\left\{ x:f_{n}\left(x\right)<t+\frac{1}{k}\right\} $
\end_inset

。
然后由于对每个
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

都成立，
所以
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

属于所有
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

对应的集合之交，
即右边。

\end_layout

\begin_layout Solution*
“右
\begin_inset Formula $\subset$
\end_inset

左”：
若
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

属于右边，
则对每个
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

，

\begin_inset Formula $x_{0}\in\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=m}^{\infty}E_{n,k_{0}}$
\end_inset

，
即
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

属于
\begin_inset Formula $\left\{ E_{n,k_{0}}\right\} $
\end_inset

的下限集，
也就是存在
\begin_inset Formula $N_{k}$
\end_inset

，
使得当
\begin_inset Formula $n\geqslant N_{k}$
\end_inset

时，

\begin_inset Formula $f_{n}\left(x_{0}\right)<t+\frac{1}{k}$
\end_inset

。
固定
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

，
令
\begin_inset Formula $n\to\infty$
\end_inset

，
得到
\begin_inset Formula $f\left(x_{0}\right)\leqslant t+\frac{1}{k}$
\end_inset

。
由于
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

是任意的，
令
\begin_inset Formula $k\to\infty$
\end_inset

就得到了
\begin_inset Formula $f\left(x_{0}\right)\leqslant t$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Solution*
(ii) 记
\begin_inset Formula $E_{n,k}=\{x\in\mathbf{R}:f_{n}(x)\leqslant1-1/k\}$
\end_inset

.
 若
\begin_inset Formula $\ensuremath{x_{0}}$
\end_inset

属于左端,
 即
\begin_inset Formula $f(x_{0})<1$
\end_inset

,
 易知存在
\begin_inset Formula $\ensuremath{k_{0}\in\mathbb{N}},$
\end_inset

 使得
\begin_inset Formula $\ensuremath{f(x_{0})<1-\frac{1}{k_{0}}}.$
\end_inset

 从而由题设知,
 存在
\begin_inset Formula $\ensuremath{n_{0}},$
\end_inset

 使得
\begin_inset Formula $\ensuremath{f_{n}(x_{0})<1-\frac{1}{k_{0}}\ (n\geqslant n_{0})}.$
\end_inset

 这说明
\begin_inset Formula $\ensuremath{x_{0}}$
\end_inset

属于
\begin_inset Formula $\ensuremath{\{E_{n,k_{0}}\}}$
\end_inset

的下限集,
 即
\begin_inset Formula $x_{0}\in\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=m}^{\infty}E_{n,k_{0}}$
\end_inset

.
 由此又知
\begin_inset Formula $\ensuremath{x_{0}}$
\end_inset

属于右端;
 
\end_layout

\begin_layout Solution*
若
\begin_inset Formula $\ensuremath{x_{0}}$
\end_inset

属于右端,
 则存在
\begin_inset Formula $\ensuremath{k_{0}\in\mathbb{N}},\ensuremath{x_{0}\in\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=m}^{\infty}E_{n,k_{0}}},$
\end_inset

 即存在
\begin_inset Formula $n_{0}$
\end_inset

,
 使得当
\begin_inset Formula $\ensuremath{n\geqslant n_{0}}$
\end_inset

时,
 有
\begin_inset Formula $x_{0}\in E_{n,k_{0}},\quad f_{n}(x_{0})\leqslant1-\frac{1}{k_{0}}.$
\end_inset

令
\begin_inset Formula $n\to\infty$
\end_inset

,
 即得
\begin_inset Formula $\ensuremath{f(x_{0})\leqslant1-\frac{1}{k_{0}}<1},$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $\ensuremath{x_{0}}$
\end_inset

属于左端.
\end_layout

\begin_layout Solution*
（2）注意下述推理的充分必要性:
 
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=a & \iff\text{对任意的 }k_{0}\in\mathbf{N},\text{存在 }n_{0},\text{使得 }a\in\left(a_{n}-\frac{1}{k_{0}},a_{n}+\frac{1}{k_{0}}\right)\ (n\geqslant n_{0}),\text{即}\\
 & \iff a\in\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=m}^{\infty}\left(a_{n}-\frac{1}{k_{0}},a_{n}+\frac{1}{k_{0}}\right)\\
 & \iff a\in\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=m}^{\infty}\left(a_{n}-\frac{1}{k},a_{n}+\frac{1}{k}\right)
\end{align*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution*
（3）这个集合表示式初看起来有点“不知从何说起”,
 因而我们来谈谈它的构思,
 详细证明留给读者.
 我们知道,
 若
\begin_inset Formula $\ensuremath{f_{n}(x)}$
\end_inset

在点
\begin_inset Formula $\ensuremath{x_{0}}$
\end_inset

不收敛到
\begin_inset Formula $f(x_{0})$
\end_inset

,
 则存在
\begin_inset Formula $\varepsilon_{0}>0$
\end_inset

,
 对任给自然数
\begin_inset Formula $\ensuremath{k},$
\end_inset

 必有
\begin_inset Formula $n\geqslant k$
\end_inset

,
 使得
\begin_inset Formula 
\[
|f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|\geqslant\varepsilon_{0}.
\]

\end_inset

也就是说,
 若令
\begin_inset Formula 
\[
E_{n}(\varepsilon_{0})=\{x:|f_{n}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_{0}\},
\]

\end_inset

则点
\begin_inset Formula $\ensuremath{x_{0}}$
\end_inset

是属于
\begin_inset Formula $\ensuremath{\{E_{n}(\varepsilon_{0})\}}$
\end_inset

中之无穷多个集合的,
 即是
\begin_inset Formula $\ensuremath{x_{0}}$
\end_inset

含于
\begin_inset Formula $\{E_{n}(\varepsilon_{0})\}$
\end_inset

 的上限集内.
 反之,
 对任意给定的
\begin_inset Formula $\ensuremath{\varepsilon>0},\ensuremath{\{E_{n}(\varepsilon)\}}$
\end_inset

的上限集中的点都是不收敛点.
 总之,
 这些上限集在对
\begin_inset Formula $\ensuremath{\varepsilon}$
\end_inset

求并集后可构成全体不收敛点.
 最后,
 上述的
\begin_inset Formula $\ensuremath{\varepsilon}$
\end_inset

又可由一列
\begin_inset Formula $\ensuremath{\{\varepsilon_{k}\}}:\ensuremath{\varepsilon_{1}>\varepsilon_{2}>\dots>\varepsilon_{k}>\dots\to0}$
\end_inset

来代替.
 特别当取
\begin_inset Formula $\varepsilon_{k}=\frac{1}{k}$
\end_inset

 时,
 就得到
\begin_inset Formula $\ensuremath{D}$
\end_inset

的表示式.
\end_layout

\begin_layout Solution*
（4）思路：
我已知
\begin_inset Formula $f_{n}$
\end_inset

是实值函数列，

\begin_inset Formula $E_{n,m}^{k}=\left\{ x:\left|f_{n}\left(x\right)-f_{m}\left(x\right)\right|\leqslant\frac{1}{k}\right\} $
\end_inset

。
函数列在
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

处收敛当且仅当他是Cauchy列，
即对任意的
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

，
存在
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

，
当
\begin_inset Formula $n,m\geqslant N$
\end_inset

时，
有
\begin_inset Formula $\left|f_{n}\left(x\right)-f_{m}\left(x\right)\right|<\varepsilon$
\end_inset

。
用
\begin_inset Formula $\frac{1}{k}$
\end_inset

代替
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

，
则条件可写为：
对每个
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

，
存在
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

，
使得对所有
\begin_inset Formula $m\geqslant n\geqslant N$
\end_inset

，
有
\begin_inset Formula $\left|f_{n}-f_{m}\right|\leqslant\frac{1}{k}$
\end_inset

。
注意这里
\begin_inset Formula $\bigcap\limits_{m=n}^{\infty}$
\end_inset

是对每个固定的
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

，
然后
\begin_inset Formula $\bigcap\limits_{n=N}^{\infty}$
\end_inset

是对所有
\begin_inset Formula $n\geqslant N$
\end_inset

，
合起来就是所有
\begin_inset Formula $n\geqslant N$
\end_inset

且
\begin_inset Formula $m\geqslant n$
\end_inset

。
然后外层
\begin_inset Formula $\bigcup\limits_{N}$
\end_inset

表示存在这样的
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

，
最后对所有
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

取交。

\end_layout

\begin_layout Solution*
证明：
若
\begin_inset Formula $x_{0}\in E$
\end_inset

，
即
\begin_inset Formula $\ensuremath{f_{n}(x_{0})}$
\end_inset

收敛，
则它是 Cauchy 列：
对任意
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

，
存在
\begin_inset Formula $\ensuremath{N}$
\end_inset

使得当
\begin_inset Formula $\ensuremath{n,m\geq N}$
\end_inset

时，

\begin_inset Formula $|f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0})|<\frac{1}{k}$
\end_inset

。
特别地，
对
\begin_inset Formula $n\geq N$
\end_inset

 和所有
\begin_inset Formula $\ensuremath{m\geq n}，$
\end_inset

有
\begin_inset Formula $|f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0})|\leq\frac{1}{k}$
\end_inset

（这里严格不等，
但包含在
\begin_inset Formula $\leq$
\end_inset

 中），
所以
\begin_inset Formula $x_{0}\in\bigcap_{n=N}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty}E_{n,m}^{k}$
\end_inset

，
从而属于右边（对每个
\begin_inset Formula $\ensuremath{k}$
\end_inset

存在这样的
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

，
故
\begin_inset Formula $\ensuremath{x_{0}}$
\end_inset

在交中）。

\end_layout

\begin_layout Solution*
反之，
若
\begin_inset Formula $\ensuremath{x_{0}}$
\end_inset

属于右边，
则对每个
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

，
存在
\begin_inset Formula $\ensuremath{N_{k}}$
\end_inset

使得当
\begin_inset Formula $n\geq N_{k}$
\end_inset

 且
\begin_inset Formula $\ensuremath{m\geq n}$
\end_inset

时，

\begin_inset Formula $|f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0})|\leq\frac{1}{k}$
\end_inset

。
那么对于任意
\begin_inset Formula $n,m\geq N_{k}$
\end_inset

，
不妨设
\begin_inset Formula $n\leq m$
\end_inset

，
则
\begin_inset Formula $|f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0})|\leq\frac{1}{k}$
\end_inset

。
所以 
\begin_inset Formula $\ensuremath{\{f_{n}(x_{0})\}}$
\end_inset

是 Cauchy 列，
从而收敛（在实数中）。
故
\begin_inset Formula $x_{0}\in E$
\end_inset

。

\end_layout

\begin_layout Solution*
总结：
这类问题的核心是将极限的
\begin_inset Formula $\varepsilon-N$
\end_inset

语言逐层翻译成集合运算。
一般步骤：

\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
明确条件。

\end_layout

\begin_layout Enumerate
固定
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

：
通常用
\begin_inset Formula $\frac{1}{k}$
\end_inset

代替
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

，
因为可数性方便运算。

\end_layout

\begin_layout Enumerate
存在
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

：
对应并集
\begin_inset Formula $\bigcup_{N}$
\end_inset

。

\end_layout

\begin_layout Enumerate
对所有
\begin_inset Formula $n\geqslant N$
\end_inset

：
对应交集
\begin_inset Formula $\bigcap_{n\geqslant N}$
\end_inset

。

\end_layout

\begin_layout Enumerate
对任意
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

：
对应交集
\begin_inset Formula $\bigcap_{k}$
\end_inset

。

\end_layout

\begin_layout Enumerate
否定形式则交换量词。

\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Solution*
于是我们得到：

\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\text{收敛点：}\bigcap_{k}\bigcup_{N}\bigcap_{n\geqslant N}\left\{ \left|f_{n}-f\right|<\frac{1}{k}\right\} \\
\text{不收敛点：\bigcup_{k}\bigcap_{N}\bigcup_{n\geqslant N}\left\{  \left|f_{n}-f\right|<\frac{1}{k}\right\}  }
\end{align*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator plain
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
一个代数
\begin_inset Formula $\mathcal{A}$
\end_inset

是
\begin_inset Formula $\sigma-$
\end_inset

代数当且仅当
\begin_inset Formula $\mathcal{A}$
\end_inset

对可数递增并封闭。

\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator plain
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution*
代数
\begin_inset Formula $\mathcal{A}$
\end_inset

需要满足对有限并和补封闭，

\begin_inset Formula $\sigma-$
\end_inset

代数要求满足对可数并和补封闭。

\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator plain
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\end_layout

\end_body
\end_document