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\begin{document}
\chapter{同调论}
\section{2.1\quad 单纯同调与奇异同调}

代数拓扑中最重要的同调理论——也是我们将几乎专门研究的——称为\textbf{奇异同调}（singular homology）。由于奇异同调的技术工具稍显复杂，我们将首先引入一个更原始的版本，称为\textbf{单纯同调}（simplicial homology），以便在进入一般情形之前，先在一个更简单的设置中了解某些工具是如何运作的。单纯同调的自然设定是一类称为\(\Delta\)-复形的空间，它们比单纯复形在组合上稍许更一般，但代数上同样可行，如同我们在第一章中遇到的环面、射影平面和Klein瓶的那些相当灵活的构造。

\subsection{\texorpdfstring{\(\Delta\)}{Delta}-复形}% ===== DELTA-COMPLEXES =====
\subsection{\texorpdfstring{\(\Delta\)}{Delta}-复形}

\(\Delta\)-复形的思想是将第一章中那些构造推广到任意维数。三角形在\(n\)维的类似物是\(n\)-单形（\(n\)-simplex）。它是在Euclid空间\(\R^m\)中包含\(n+1\)个不落在低于\(n\)维的超平面内的点\(v_0,\ldots,v_n\)的最小凸集，其中超平面是指线性方程组的解集。一个等价条件是差向量\(v_1-v_0,\ldots,v_n-v_0\)线性无关。点\(v_i\)称为单形的顶点（vertices），单形本身记为\([v_0,\ldots,v_n]\)。

% [图：标准n-单形示意图]
\begin{center}
\textit{[图：标准\(n\)-单形\(\Delta^0,\Delta^1,\Delta^2,\Delta^3\)]} 
\end{center}

例如，有标准\(n\)-单形（standard \(n\)-simplex）
\[
\Delta^n = \bigl\{ (t_0,\ldots,t_n)\in\R^{n+1} \;\big|\; \sum_i t_i = 1 \text{ 且 } t_i \geq 0,\ \forall i \bigr\},
\]
其顶点是沿坐标轴的单位向量。

为同调的目的，记录单形顶点的顺序是重要的，因此`\(n\)-单形''实际上意味着`带有顶点排序的\(n\)-单形''。给单形\([v_0,\ldots,v_n]\)的顶点排序的一个附带结果是：它按递增下标决定了边\([v_i,v_j]\)的定向，如前面两个图所示。指定顶点顺序还确定了一个从标准\(n\)-单形\(\Delta^n\)到任何另一个\(n\)-单形\([v_0,\ldots,v_n]\)的典范线性同胚，它保持顶点的顺序，即
\[
(t_0,\ldots,t_n) \mapsto \sum_i t_i v_i.
\]
系数\(t_i\)是\([v_0,\ldots,v_n]\)中点\(\sum_i t_i v_i\)的重心坐标（barycentric coordinates）。

如果我们删除\(n\)-单形\([v_0,\ldots,v_n]\)的\(n+1\)个顶点中的一个，那么剩下的\(n\)个顶点张成一个\((n-1)\)-单形，称为\([v_0,\ldots,v_n]\)的一个面（face）。我们采用以下约定：
\begin{quote}
一个面（或由顶点子集张成的任何子单形）的顶点将总是按照它们在原来较大单形中的顺序来排序。
\end{quote}
\(\Delta^n\)的所有面的并是\(\Delta^n\)的边界（boundary），记作\(\partial\Delta^n\)。开单形（open simplex）\(\mathring{\Delta}^n\)是\(\Delta^n-\partial\Delta^n\)，即\(\Delta^n\)的内部。

\begin{definition}[title={\(\Delta\)-复形结构}]
空间\(X\)上的一个\(\Delta\)-复形结构（\(\Delta\)-complex structure）是一族映射\(\sigma_\alpha:\Delta^n\to X\)（其中\(n\)依赖于指标\(\alpha\)），满足：
\begin{enumerate}[label=(\roman*),leftmargin=*]
  \item 限制映射\(\sigma_\alpha\big|_{\mathring{\Delta}^n}\)是单射，且\(X\)的每个点恰好落在唯一一个这样的限制\(\sigma_\alpha\big|_{\mathring{\Delta}^n}\)的像中。
  \item \(\sigma_\alpha\)在\(\Delta^n\)的一个面上的每个限制是某个映射\(\sigma_\beta:\Delta^{n-1}\to X\)。这里我们将该面与\(\Delta^{n-1}\)通过保持顶点顺序的典范线性同胚等同起来。
  \item 集合\(A\subset X\)是开的当且仅当每个\(\sigma_\alpha^{-1}(A)\)在\(\Delta^n\)中是开的。
\end{enumerate}
\end{definition}

除其他作用外，最后一个条件排除了诸如将\(X\)中所有的点视为单独顶点之类的平凡情形。环面、射影平面和Klein瓶先前的分解——用两个三角形、三条边和一个或两个顶点——定义了\(\Delta\)-复形结构：环面和Klein瓶共有六个\(\sigma_\alpha\)，射影平面则有七个。图中的边的定向与每个单形顶点的唯一排序相容，这些排序决定了映射\(\sigma_\alpha\)。

% [图：环面的Delta-复形结构图]
\begin{center}
\textit{[图：环面的\(\Delta\)-复形结构]}
\end{center}

条件(iii)的一个推论是：\(X\)可以由一族互不相交的单形\(\Delta_\alpha^n\)（每个\(\sigma_\alpha:\Delta^n\to X\)对应一个）通过商空间构造出来，商映射将每个\(\Delta_\alpha^n\)的面与对应于\(\sigma_\alpha\)在该面上的限制\(\sigma_\beta\)的那个\(\Delta_\beta^{n-1}\)等同起来，如同条件(ii)所述。可以将其想象为归纳地构造商空间：从一组离散的顶点开始，然后贴上边得到一个图，再贴上\(2\)-单形，如此递推。从这个观点看，指定一个\(\Delta\)-复形可以纯粹用组合数据描述为：对每个\(n\)有一族\(n\)-单形\(\Delta_\alpha^n\)，以及函数，将每个\(n\)-单形\(\Delta_\alpha^n\)的每个面对应到一个\((n-1)\)-单形\(\Delta_\beta^{n-1}\)。

更一般地，\(\Delta\)-复形可以由互不相交的单形通过等同某些由顶点子集张成的子单形而构造出来，这里的等同利用保持顶点顺序的典范线性同胚来实现。前面环面、射影平面和Klein瓶上的\(\Delta\)-复形结构就可以这样得到：等同两个\(2\)-单形的各对边。如果从一个单独的\(2\)-单形出发，将它的三条边按顶点排序给定的定向等同为一条边，就产生了一个称为`笨蛋帽''（dunce cap）的\(\Delta\)-复形。

% [图：笨蛋帽和另一个图]
\begin{center}
\textit{[图：笨蛋帽与另一个\(2\)-单形边等同的示意图]}
\end{center}

相比之下，如果将\(2\)-单形的三条边保持这三条边的循环定向来等同，如右图中第一个图所示，这并不产生一个\(\Delta\)-复形结构，不过如果将此\(2\)-单形细分为三个围绕一个中心顶点的更小的\(2\)-单形，则确实可以在商空间上得到一个\(\Delta\)-复形结构。

将\(\Delta\)-复形\(X\)视为一族互不相交单形的商空间，不难看出\(X\)必为一个Hausdorff空间。条件(iii)则推出每个限制\(\sigma_\alpha\big|_{\mathring{\Delta}^n}\)是其像上的同胚，从而像是\(X\)中的一个开单形。由附录命题A.2可知，这些开单形\(\sigma_\alpha(\mathring{\Delta}^n)\)是\(X\)上一个CW复形结构的胞腔\(e_\alpha^n\)，以\(\sigma_\alpha\)为特征映射。不过我们目前不需要这个事实。

\subsection{单纯同调}

我们的目标是为\(\Delta\)-复形\(X\)定义单纯同调群。令\(\Delta_n(X)\)为以\(X\)的开\(n\)-单形\(e_\alpha^n\)为基的自由交换群。\(\Delta_n(X)\)的元素称为\(n\)-链（\(n\)-chains），可写成有限形式和\(\sum_\alpha n_\alpha e_\alpha^n\)，系数\(n_\alpha\in\Z\)。等价地，我们可以写成\(\sum_\alpha n_\alpha\sigma_\alpha\)，其中\(\sigma_\alpha:\Delta^n\to X\)是\(e_\alpha^n\)的特征映射，其像是\(e_\alpha^n\)的闭包，如上所述。这样的和\(\sum_\alpha n_\alpha\sigma_\alpha\)可以视为\(X\)中\(n\)-单形的一个有限族或`链''，带有整数重数\(n_\alpha\)。

如接下来这张图中所见，\(n\)-单形\([v_0,\ldots,v_n]\)的边界由各个\((n-1)\)-维单形\([v_0,\ldots,\widehat{v}_i,\ldots,v_n]\)组成，其中符号\(\widehat{v}_i\)表示该顶点从序列\(v_0,\ldots,v_n\)中删除。用链的语言来说，我们或许希望说\([v_0,\ldots,v_n]\)的边界是由各面\([v_0,\ldots,\widehat{v}_i,\ldots,v_n]\)之和构成的\((n-1)\)-链。然而，更好的做法是插入适当的符号，令\([v_0,\ldots,v_n]\)的边界为\(\sum_i(-1)^i[v_0,\ldots,\widehat{v}_i,\ldots,v_n]\)。直观上，插入符号是为了顾及定向，使得单形的所有面一致定向，如下图所示：

% [图：边界定向示意图]
\begin{center}
\textit{[图：\(\partial[v_0,v_1],\ \partial[v_0,v_1,v_2],\ \partial[v_0,v_1,v_2,v_3]\)的定向]}
\end{center}
\[
\begin{aligned}
\partial[v_0,v_1] &= [v_1] - [v_0] \\
\partial[v_0,v_1,v_2] &= [v_1,v_2] - [v_0,v_2] + [v_0,v_1] \\
\partial[v_0,v_1,v_2,v_3] &= [v_1,v_2,v_3] - [v_0,v_2,v_3] + [v_0,v_1,v_3] - [v_0,v_1,v_2]
\end{aligned}
\]
在最后一个情形中，两个隐藏面的定向从\(3\)-单形外部看也是逆时针的。

以这种几何直观为背景，我们对一般的\(\Delta\)-复形\(X\)定义边缘同态（boundary homomorphism）\(\partial_n:\Delta_n(X)\to\Delta_{n-1}(X)\)，只需指定它在基元素上的值：
\[
\partial_n(\sigma_\alpha) = \sum_i (-1)^i \sigma_\alpha\big|_{[v_0,\ldots,\widehat{v}_i,\ldots,v_n]}.
\]
注意此式右侧确实落在\(\Delta_{n-1}(X)\)中，因为每个限制\(\sigma_\alpha\big|_{[v_0,\ldots,\widehat{v}_i,\ldots,v_n]}\)是\(X\)中某个\((n-1)\)-单形的特征映射。

\begin{lemma}[title={引理 2.1}]
复合\(\Delta_n(X)\xrightarrow{\partial_n}\Delta_{n-1}(X)\xrightarrow{\partial_{n-1}}\Delta_{n-2}(X)\)为零。
\end{lemma}

\begin{htproof}
我们有\(\partial_n(\sigma)=\sum_i(-1)^i\sigma\big|_{[v_0,\ldots,\widehat{v}_i,\ldots,v_n]}\)，从而
\[
\begin{aligned}
\partial_{n-1}\partial_n(\sigma) &= \sum_{j<i} (-1)^i(-1)^j \sigma\big|_{[v_0,\ldots,\widehat{v}_j,\ldots,\widehat{v}_i,\ldots,v_n]} \\
&\quad + \sum_{j>i} (-1)^i(-1)^{j-1} \sigma\big|_{[v_0,\ldots,\widehat{v}_i,\ldots,\widehat{v}_j,\ldots,v_n]}.
\end{aligned}
\]
后两个求和互相抵消，因为在第二个求和中交换\(i\)和\(j\)后，它变成第一个求和的负。\hfill$\square$
\end{htproof}

我们现在得到的代数结构是一列交换群同态
\[
\cdots \longrightarrow C_{n+1} \xrightarrow{\partial_{n+1}} C_n \xrightarrow{\partial_n} C_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow C_1 \xrightarrow{\partial_1} C_0 \xrightarrow{\partial_0} 0
\]
满足\(\partial_n\partial_{n+1}=0\)对每个\(n\)成立。这样的序列称为一个链复形（chain complex）。注意我们在右端补了一个\(0\)，且\(\partial_0=0\)。由\(\partial_n\partial_{n+1}=0\)可得\(\Ima\partial_{n+1}\subset\Ker\partial_n\)，其中Im和Ker分别表示像和核。因此我们可以定义该链复形的第\(n\)个同调群（homology group）为商群
\[
H_n = \Ker\partial_n / \Ima\partial_{n+1}.
\]
\(\Ker\partial_n\)的元素称为闭链（cycles），\(\Ima\partial_{n+1}\)的元素称为边缘链（boundaries）。\(H_n\)的元素是\(\Ima\partial_{n+1}\)的陪集，称为同调类（homology classes）。代表同一个同调类的两个闭链称为同调的（homologous），这意味着它们的差是一个边缘。

回到\(C_n=\Delta_n(X)\)的情形，同调群\(\Ker\partial_n/\Ima\partial_{n+1}\)将记为\(H_n^{\Delta}(X)\)，称为\(X\)的第\(n\)个单纯同调群（simplicial homology group）。


\medskip
\noindent\textbf{例 2.2.}\ \ \(X=S^1\)，有一个顶点\(v\)和一条边\(e\)。则\(\Delta_0(S^1)\)和\(\Delta_1(S^1)\)都是\(\Z\)，而边缘映射\(\partial_1\)为零，因为\(\partial e = v-v\)。群\(\Delta_n(S^1)\)在\(n\geq 2\)时为\(0\)，因为没有这些维数的单形。因此
\[
H_n^{\Delta}(S^1) \approx
\begin{cases}
\Z, & n=0,1,\\
0, & n\geq 2.
\end{cases}
\]
这说明了以下一般事实：如果链复形中所有边缘映射都为零，则该复形的同调群同构于链群本身。

\medskip
\noindent\textbf{例 2.3.}\ \ \(X=T\)，具有前面描绘的\(\Delta\)-复形结构的环面，有一个顶点，三条边\(a,b,c\)和两个\(2\)-单形\(U\)和\(L\)。与上例一样，\(\partial_1=0\)，故\(H_0^{\Delta}(T)\approx\Z\)。因为\(\partial_2U = a+b-c = \partial_2L\)，且\(\{a,b,a+b-c\}\)是\(\Delta_1(T)\)的一组基，故\(H_1^{\Delta}(T)\approx\Z\oplus\Z\)，以同调类\([a]\)和\([b]\)为基。因为没有\(3\)-单形，\(H_2^{\Delta}(T)\)等于\(\Ker\partial_2\)，它是由\(U-L\)生成的无限循环群，因为\(\partial(pU+qL)=(p+q)(a+b-c)=0\)仅当\(p=-q\)。因此
\[
H_n^{\Delta}(T) \approx
\begin{cases}
\Z\oplus\Z, & n=1,\\
\Z, & n=0,2,\\
0, & n\geq 3.
\end{cases}
\]

\medskip
\noindent\textbf{例 2.4.}\ \ \(X=\R P^2\)，如前所绘，有两个顶点\(v,w\)，三条边\(a,b,c\)和两个\(2\)-单形\(U,L\)。则\(\Ima\partial_1\)由\(w-v\)生成，故\(H_0^{\Delta}(X)\approx\Z\)，以任一顶点为生成元。因为\(\partial_2U = -a+b+c\)且\(\partial_2L = a-b+c\)，可见\(\partial_2\)是单射，故\(H_2^{\Delta}(X)=0\)。进而，\(\Ker\partial_1\approx\Z\oplus\Z\)以\(a-b\)和\(c\)为基，而\(\Ima\partial_2\)是\(\Ker\partial_1\)的一个指数为\(2\)的子群，因为我们可以取\(c\)和\(a-b+c\)作为\(\Ker\partial_1\)的基，取\(a-b+c\)和\(2c=(a-b+c)+(-a+b+c)\)作为\(\Ima\partial_2\)的基。因此\(H_1^{\Delta}(X)\approx\Z_2\)。

\medskip
\noindent\textbf{例 2.5.}\ \ 我们可以通过取\(\Delta^n\)的两个拷贝，将其边界通过恒等映射等同，得到\(S^n\)上的一个\(\Delta\)-复形结构。将这两个\(n\)-单形记为\(U\)和\(L\)，则显然\(\Ker\partial_n\)是由\(U-L\)生成的无限循环群。因此对此\(\Delta\)-复形结构有\(H_n^{\Delta}(S^n)\approx\Z\)。计算其他同调群将更加困难。

许多类似的例子，例如其他闭的可定向和不可定向曲面，可以毫无困难地计算出来。然而，计算复杂度的确会迅速增加，特别是对高维复形。

有些明显的普遍性问题随之而来：群\(H_n^{\Delta}(X)\)是否独立于\(X\)上\(\Delta\)-复形结构的选择？换言之，如果两个\(\Delta\)-复形同胚，它们是否有同构的同调群？更一般地，如果它们仅仅同伦等价，同调群是否同构？为回答这些问题并发展一般理论，最好离开颇为僵硬的单纯领域，引入奇异同调群（singular homology groups）。它们还有一个优点：对所有空间都有定义，而不仅限于\(\Delta\)-复形。在本节末尾，当理论有所发展之后，我们将证明单纯同调与奇异同调对\(\Delta\)-复形是一致的。

历史上，单纯同调是为单纯复形（simplicial complexes）定义的，它们是每个单形被其顶点唯一确定的\(\Delta\)-复形。这等价于说：每个\(n\)-单形有\(n+1\)个互异的顶点，且没有其他\(n\)-单形有这组相同的顶点。因此一个单纯复形可以纯粹组合地描述为一组顶点\(X_0\)加上\(n\)-单形集\(X_n\)，后者是\(X_0\)的\((n+1)\)元子集。唯一的要求是：\(X_n\)中一个\(n\)-单形的顶点的每个\((k+1)\)元子集是\(X_k\)中的一个\(k\)-单形。由这些组合数据可构造一个\(\Delta\)-复形\(X\)，只需选取顶点\(X_0\)的一个偏序，使其在每个单形的顶点上限制为一个全序。例如，可以取\(X_0\)的任意全序，则对应的极大单形族自动满足条件。单纯复形的优点是它们可以纯粹组合地定义，不涉及拓扑。

\subsection{奇异同调}

空间\(X\)中的一个奇异\(n\)-单形（singular \(n\)-simplex）按定义只是一个映射\(\sigma:\Delta^n\to X\)。`奇异''一词用于表达\(\sigma\)不必是好的嵌入，其像可以有`奇点''，使像完全不像单形。唯一的要求是\(\sigma\)连续。令\(C_n(X)\)为以\(X\)中奇异\(n\)-单形之集为基的自由交换群。\(C_n(X)\)的元素称为\(n\)-链，或更确切地奇异\(n\)-链（singular \(n\)-chains），是有限形式和\(\sum_i n_i\sigma_i\)，其中\(n_i\in\Z\)且\(\sigma_i:\Delta^n\to X\)。边缘映射\(\partial_n:C_n(X)\to C_{n-1}(X)\)由与之前相同的公式定义：
\[
\partial_n(\sigma) = \sum_i (-1)^i \sigma\big|_{[v_0,\ldots,\widehat{v}_i,\ldots,v_n]}.
\]
同样的计算表明\(\partial_{n-1}\partial_n=0\)，因此群\(C_n(X)\)和同态\(\partial_n\)构成一个链复形。此链复形的同调群按定义即为奇异同调群（singular homology groups）\(H_n(X)\)。

由定义显然可知同胚的空间有同构的奇异同调群\(H_n\)，这与\(H_n^{\Delta}\)的情况形成对比。另一方面，由于群\(C_n(X)\)很大——\(X\)中奇异\(n\)-单形的个数通常不可数——完全不清楚对一个只有有限多个单形的\(\Delta\)-复形\(X\)，\(H_n(X)\)是否应对所有\(n\)有限生成，也不清楚当\(n\)大于\(X\)的维数时\(H_n(X)\)是否应为零——这两个性质对\(H_n^{\Delta}(X)\)是平凡的。

尽管奇异同调看起来比单纯同调一般得多，它实际上可以通过以下构造视为单纯同调的一个特殊情形。对任意空间\(X\)，定义奇异复形（singular complex）\(S(X)\)为这样一个\(\Delta\)-复形：对每个奇异\(n\)-单形\(\sigma:\Delta^n\to X\)，有一个\(n\)-单形\(\Delta_\sigma^n\)，其中\(\Delta_\sigma^n\)以显然的方式附着到\(S(X)\)的那些是\(\sigma\)在\(\partial\Delta^n\)中各个\((n-1)\)-单形上的限制的\((n-1)\)-单形上。由定义可知，\(H_n^{\Delta}\bigl(S(X)\bigr)\)与\(H_n(X)\)对所有\(n\)完全相同，在这个意义下，奇异同调群\(H_n(X)\)是单纯同调群的一个特殊情形。可以将\(S(X)\)视为\(X\)的一个\(\Delta\)-复形模型，尽管它相对于\(X\)通常是一个极其庞大的对象。

奇异同调中的闭链是代数地定义的，但它们可以用从有限\(\Delta\)-复形出发的映射给出一种稍许更几何的解释。要看到这一点，首先注意一个奇异\(n\)-链\(\xi\)总可以写成\(\sum_i\varepsilon_i\sigma_i\)的形式，其中\(\varepsilon_i=\pm1\)，允许奇异\(n\)-单形\(\sigma_i\)重复出现。给定这样一个\(n\)-链\(\xi=\sum_i\varepsilon_i\sigma_i\)，当我们把\(\partial\xi\)算作带符号\(\pm1\)的奇异\((n-1)\)-单形之和时，可能会有一些抵消对（canceling pairs），它们由两个相同的带有相反符号的奇异\((n-1)\)-单形构成。选取一组极大的这样的抵消对，由互不相交的\(n\)-单形\(\Delta_i^n\)（每个\(\sigma_i\)对应一个）构造一个\(n\)维\(\Delta\)-复形\(K_\xi\)，通过将对应于所选抵消对的那些\((n-1)\)-维面等同起来。\(\sigma_i\)们则诱导一个映射\(K_\xi\to X\)。如果\(\xi\)是闭链，则\(K_\xi\)的所有\((n-1)\)-单形都来自抵消对，因而都是\(K_\xi\)中恰好两个\(n\)-单形的面。因此\(K_\xi\)是一个流形，局部同胚于\(\R^n\)，除了一个维数至多为\(n-2\)的子复形处。通过计及\(\sigma_i\)的符号，\(K_\xi\)的所有\(n\)-单形可以被一致定向，因此\(K_\xi\)在其非流形点之外实际上是一个定向流形。更仔细的检查表明，\(K_\xi\)在\((n-2)\)-单形内部的点附近也是流形，所以\(K_\xi\)的非流形点实际上至多为\(n-3\)维。然而，在\((n-3)\)-单形的内部附近，完全可能发生\(K_\xi\)不是流形的情况。

特别地，\(H_1(X)\)的元素由\(X\)中的定向闭路族表示，\(H_2(X)\)的元素由闭定向曲面到\(X\)的映射表示。稍加努力可以证明：一个定向\(1\)-闭链\(\bigvee_\alpha S_\alpha^1\to X\)在\(H_1(X)\)中为零当且仅当它可延拓为一个定向曲面到\(X\)的映射，且对\(2\)-闭链有类似的陈述。在同调论的早期，人们可能相信，或至少希望，这种与流形的紧密联系在一切更高维数中继续成立，但事实证明并非如此。有一种从流形建立起来的同调理论，称为配边（bordism），但它比我们在这里研究的同调论要复杂许多。

在这些初步的注记之后，让我们开始看看关于奇异同调可以证明些什么。

\begin{proposition}[title={命题 2.6}]
对应于空间\(X\)分解为道路连通分支\(X_\alpha\)，有\(H_n(X)\)与直和\(\bigoplus_\alpha H_n(X_\alpha)\)的同构。
\end{proposition}

\begin{htproof}
因为奇异单形总有道路连通的像，\(C_n(X)\)分裂为其子群\(C_n(X_\alpha)\)的直和。边缘映射\(\partial_n\)保持此直和分解，将\(C_n(X_\alpha)\)送到\(C_{n-1}(X_\alpha)\)，故\(\Ker\partial_n\)和\(\Ima\partial_{n+1}\)也类似地分裂为直和，从而同调群也分裂，\(H_n(X)\approx\bigoplus_\alpha H_n(X_\alpha)\)。
\end{htproof}

\begin{proposition}[title={命题 2.7}]
若\(X\)非空且道路连通，则\(H_0(X)\approx\Z\)。从而对任意空间\(X\)，\(H_0(X)\)是\(\Z\)们的直和，每个道路连通分支贡献一个\(\Z\)。
\end{proposition}

\begin{htproof}
由定义，\(H_0(X)=C_0(X)/\Ima\partial_1\)，因为\(\partial_0=0\)。定义同态\(\varepsilon:C_0(X)\to\Z\)为\(\varepsilon\bigl(\sum_i n_i\sigma_i\bigr)=\sum_i n_i\)。若\(X\)非空，这显然是满射。断言为：若\(X\)道路连通，则\(\Ker\varepsilon=\Ima\partial_1\)，从而\(\varepsilon\)诱导同构\(H_0(X)\approx\Z\)。

为验证此断言，首先注意到\(\Ima\partial_1\subset\Ker\varepsilon\)，因为对奇异\(1\)-单形\(\sigma:\Delta^1\to X\)有
\[
\varepsilon\partial_1(\sigma) = \varepsilon\bigl(\sigma|_{[v_1]}-\sigma|_{[v_0]}\bigr) = 1-1 = 0.
\]
对于反向包含\(\Ker\varepsilon\subset\Ima\partial_1\)，设\(\varepsilon\bigl(\sum_i n_i\sigma_i\bigr)=0\)，则\(\sum_i n_i=0\)。诸\(\sigma_i\)是奇异\(0\)-单形，它们不过是\(X\)中的点。选取从基点\(x_0\)到\(\sigma_i(v_0)\)的道路\(\tau_i:I\to X\)，并令\(\sigma_0\)为像为\(x_0\)的奇异\(0\)-单形。将\(\tau_i\)视为奇异\(1\)-单形，映射\(\tau_i:[v_0,v_1]\to X\)，则有\(\partial\tau_i = \sigma_i - \sigma_0\)。从而
\[
\partial\Bigl(\sum_i n_i\tau_i\Bigr) = \sum_i n_i\sigma_i - \Bigl(\sum_i n_i\Bigr)\sigma_0 = \sum_i n_i\sigma_i,
\]
因为\(\sum_i n_i=0\)。因此\(\sum_i n_i\sigma_i\)是一个边缘，这表明\(\Ker\varepsilon\subset\Ima\partial_1\)。
\end{htproof}

\begin{proposition}[title={命题 2.8}]
若\(X\)是单点空间，则\(H_n(X)=0\)对\(n>0\)，而\(H_0(X)\approx\Z\)。
\end{proposition}

\begin{htproof}
此时对每个\(n\)存在唯一的奇异\(n\)-单形\(\sigma_n\)，且\(\partial(\sigma_n)=\sum_i(-1)^i\sigma_{n-1}\)，这是\(n+1\)项之和，因此\(n\)为奇数时为零，\(n\)为偶数时为\(\sigma_{n-1}\)。于是我们有链复形
\[
\cdots \to \Z \xrightarrow{\cong} \Z \xrightarrow{0} \Z \xrightarrow{\cong} \Z \xrightarrow{0} \Z \to 0.
\]
边界映射交替为同构和零映射。除\(C_0\)所在的项外，核恰为像，因此\(n>0\)时同调群为零。
\end{htproof}

定义一个约化版本的同调群（reduced homology groups）\(\widetilde{H}_n(X)\)为增广链复形（augmented chain complex）
\[
\cdots \longrightarrow C_2(X) \xrightarrow{\partial_2} C_1(X) \xrightarrow{\partial_1} C_0(X) \xrightarrow{\varepsilon} \Z \longrightarrow 0
\]
的同调群常常是方便的，其中\(\varepsilon\bigl(\sum_i n_i\sigma_i\bigr)=\sum_i n_i\)，如命题2.7的证明中那样。这里\(\varepsilon\partial_1=0\)，故将\(\varepsilon\)视为一个增广的边缘映射，于是此链复形是良定义的。因为\(\varepsilon\)诱导同构\(H_0(X)\approx\Z\)（当\(X\)非空时），群\(\widetilde{H}_n(X)\)与\(H_n(X)\)在\(n>0\)时相同，仅\(H_0(X)\approx\widetilde{H}_0(X)\oplus\Z\)。


\subsection{同伦不变性}

我们证明的第一个重要事实是奇异同调群为同伦不变量。特别地，我们将证明同伦等价的空间有同构的同调群。

连续映射\(f:X\to Y\)诱导同态\(f_*:H_n(X)\to H_n(Y)\)。如何定义\(f_*\)：取一个闭链\(\sum_i n_i\sigma_i\)，将其送到闭链\(\sum_i n_i(f\sigma_i)\)——这是良定义的，因为若两个闭链相差一个边缘，则其\(f\)-像也相差一个边缘。用链的语言来说，定义链映射\(f_\sharp:C_n(X)\to C_n(Y)\)为对奇异\(n\)-单形\(\sigma:\Delta^n\to X\)令\(f_\sharp(\sigma)=f\sigma:\Delta^n\to Y\)，然后线性延拓：
\[
f_\sharp\Bigl(\sum_i n_i\sigma_i\Bigr) = \sum_i n_i f_\sharp(\sigma_i) = \sum_i n_i f\sigma_i.
\]
映射\(f_\sharp:C_n(X)\to C_n(Y)\)满足\(f_\sharp\partial=\partial f_\sharp\)，因为
\[
f_\sharp\partial(\sigma) = f_\sharp\Bigl(\sum_i (-1)^i\sigma|_{[v_0,\ldots,\widehat{v}_i,\ldots,v_n]}\Bigr)
= \sum_i (-1)^i f\sigma|_{[v_0,\ldots,\widehat{v}_i,\ldots,v_n]} = \partial f_\sharp(\sigma).
\]
因此我们有图
\[
\begin{array}{c}
\cdots \longrightarrow C_{n+1}(X) \xrightarrow{\partial} C_n(X) \xrightarrow{\partial} C_{n-1}(X) \longrightarrow \cdots \\
\phantom{\cdots}\downarrow f_\sharp \phantom{\longrightarrow C_{n+1}(X)} \downarrow f_\sharp \phantom{\xrightarrow{\partial} C_n(X)} \downarrow f_\sharp \\
\cdots \longrightarrow C_{n+1}(Y) \xrightarrow{\partial} C_n(Y) \xrightarrow{\partial} C_{n-1}(Y) \longrightarrow \cdots
\end{array}
\]
使得在每个方块中复合\(f_\sharp\partial\)等于复合\(\partial f_\sharp\)。链映射将闭链送到闭链，因为\(\partial\alpha=0\)推出\(\partial(f_\sharp\alpha)=f_\sharp(\partial\alpha)=0\)。同样地，它将边缘送到边缘，因为\(f_\sharp(\partial\beta)=\partial(f_\sharp\beta)\)。因此\(f_\sharp\)诱导同调同态\(f_*:H_n(X)\to H_n(Y)\)。

两个基本性质——\((fg)_*=f_*g_*\)和\(\mathbbm{1}_*=\mathbbm{1}\)——由定义直接可得。

\begin{theorem}[title={定理 2.10}]
若两个映射\(f,g:X\to Y\)同伦，则它们在同调上诱导相同的同态，即\(f_*=g_*:H_n(X)\to H_n(Y)\)。
\end{theorem}

\begin{corollary}[title={推论 2.11}]
同伦等价\(f:X\to Y\)诱导的同态\(f_*:H_n(X)\to H_n(Y)\)对所有\(n\)均为同构。特别地，若\(X\)可缩（contractible），则对所有\(n>0\)有\(\widetilde{H}_n(X)=0\)。
\end{corollary}

定理2.10的证明基于一个与同伦\(F:X\times I\to Y\)从\(f\)到\(g\)相伴的代数构造。我们要将链映射\(f_\sharp\)和\(g_\sharp\)通过一族映射\(P:C_n(X)\to C_{n+1}(Y)\)作比较，这些\(P\)满足
\[
\partial P + P\partial = g_\sharp - f_\sharp.
\]
满足此条件的映射\(P\)称为\(f_\sharp\)与\(g_\sharp\)之间的一个链同伦（chain homotopy）。若\(\alpha\in C_n(X)\)是闭链，则
\[
g_\sharp(\alpha) - f_\sharp(\alpha) = \partial P(\alpha) + P\partial(\alpha) = \partial P(\alpha),
\]
所以\(g_\sharp(\alpha)\)与\(f_\sharp(\alpha)\)的差是一个边缘，从而它们决定相同的同调类。

\begin{htproofnamed}{定理 2.10 的证明}
关键的要素是将乘积\(\Delta^n\times I\)剖分为\((n+1)\)-单形的一个步骤。

% [图：n=1,2时的棱柱剖分图]
\begin{center}
\textit{[图：\(n=1,2\)时\(\Delta^n\times I\)的剖分]}
\end{center}

此图展示了\(n=1,2\)的情形。在\(\Delta^n\times I\)中，令\(\Delta^n\times\{0\}=[v_0,\ldots,v_n]\)且\(\Delta^n\times\{1\}=[w_0,\ldots,w_n]\)，其中\(v_i\)和\(w_i\)在投影\(\Delta^n\times I\to\Delta^n\)下的像相同。则\(n\)-单形\([v_0,\ldots,v_i,w_{i+1},\ldots,w_n]\)是线性函数\(\varphi_i:\Delta^n\to I\)的图，\(\varphi_i\)用重心坐标定义为\(\varphi_i(t_0,\ldots,t_n)=t_{i+1}+\cdots+t_n\)，因为此单形的顶点\([v_0,\ldots,v_i,w_{i+1},\ldots,w_n]\)落在\(\varphi_i\)的图上，且该单形在投影\(\Delta^n\times I\to\Delta^n\)下同胚地投影到\(\Delta^n\)上。\(\varphi_i\)的图在\(\varphi_{i-1}\)的图下方，因为\(\varphi_i\leq\varphi_{i-1}\)，且这两个图之间的区域是单形\([v_0,\ldots,v_i,w_i,\ldots,w_n]\)——这是一个真正的\((n+1)\)-单形，因为\(w_i\)不在\(\varphi_i\)的图上，从而不在\(n\)-单形\([v_0,\ldots,v_i,w_{i+1},\ldots,w_n]\)中。

由不等式串\(0=\varphi_n\leq\varphi_{n-1}\leq\cdots\leq\varphi_0\leq\varphi_{-1}=1\)可推出\(\Delta^n\times I\)是诸\((n+1)\)-单形\([v_0,\ldots,v_i,w_i,\ldots,w_n]\)的并，每个与下一个交于一个\(n\)-单形面。

给定同伦\(F:X\times I\to Y\)从\(f\)到\(g\)，我们可以定义棱柱算子（prism operators）\(P:C_n(X)\to C_{n+1}(Y)\)如下：
\[
P(\sigma) = \sum_i (-1)^i F\circ(\sigma\times\mathbbm{1})\big|_{[v_0,\ldots,v_i,w_i,\ldots,w_n]}
\]
其中\(\sigma:\Delta^n\to X\)，而\(F\circ(\sigma\times\mathbbm{1})\)是复合\(\Delta^n\times I\to X\times I\to Y\)。我们将证明这些棱柱算子满足基本关系
\[
\partial P = g_\sharp - f_\sharp - P\partial.
\]
几何上，此式左侧表示棱柱的边缘，右侧三项分别表示棱柱的顶面\(\Delta^n\times\{1\}\)、底面\(\Delta^n\times\{0\}\)和侧面\(\partial\Delta^n\times I\)。为证明此关系，计算：
\[
\begin{aligned}
\partial P(\sigma) &= \sum_{j\leq i} (-1)^i(-1)^j F\circ(\sigma\times\mathbbm{1})\big|_{[v_0,\ldots,\widehat{v}_j,\ldots,v_i,w_i,\ldots,w_n]} \\
&\quad + \sum_{j\geq i} (-1)^i(-1)^{j+1} F\circ(\sigma\times\mathbbm{1})\big|_{[v_0,\ldots,v_i,w_i,\ldots,\widehat{w}_j,\ldots,w_n]}.
\end{aligned}
\]
两求和中\(i=j\)的项互相抵消，除了\(F\circ(\sigma\times\mathbbm{1})\big|_{[\widehat{v}_0,w_0,\ldots,w_n]}=g\circ\sigma=g_\sharp(\sigma)\)和 \(-F\circ(\sigma\times\mathbbm{1})\big|_{[v_0,\ldots,v_n,\widehat{w}_n]}=-f\circ\sigma=-f_\sharp(\sigma)\)。\(i\neq j\)的项恰为\(-P\partial(\sigma)\)，因为
\[
\begin{aligned}
P\partial(\sigma) &= \sum_{i<j} (-1)^i(-1)^j F\circ(\sigma\times\mathbbm{1})\big|_{[v_0,\ldots,v_i,w_i,\ldots,\widehat{w}_j,\ldots,w_n]} \\
&\quad + \sum_{i>j} (-1)^{i-1}(-1)^j F\circ(\sigma\times\mathbbm{1})\big|_{[v_0,\ldots,\widehat{v}_j,\ldots,v_i,w_i,\ldots,w_n]}.
\end{aligned}
\]
至此关系得证。

现在完成定理的证明。若\(\alpha\in C_n(X)\)是闭链，则
\[
g_\sharp(\alpha)-f_\sharp(\alpha) = \partial P(\alpha) + P\partial(\alpha) = \partial P(\alpha)
\]
因为\(\partial\alpha=0\)。因此\(g_\sharp(\alpha)-f_\sharp(\alpha)\)是边缘，故\(g_\sharp(\alpha)\)与\(f_\sharp(\alpha)\)决定相同的同调类，这意味着\(g_*\)在\(\alpha\)的同调类上与\(f_*\)相等。
\end{htproofnamed}

关系式\(\partial P+P\partial = g_\sharp-f_\sharp\)表示\(P\)是链映射\(f_\sharp\)与\(g_\sharp\)之间的一个链同伦。我们刚刚证明了：

\begin{proposition}[title={命题 2.12}]
链同伦的链映射诱导相同的同调同态。
\end{proposition}

对约化同调群同样有诱导同态\(f_*:\widetilde{H}_n(X)\to\widetilde{H}_n(Y)\)，因为\(f_\sharp\varepsilon=\varepsilon f_\sharp\)。上面证明的诱导同态性质在约化同调的框架下同样成立，证明完全相同。


\subsection{正合序列与切除}

如果能有一个简单的关系将空间\(X\)、子空间\(A\)和商空间\(X/A\)的同调群联系起来就好了。那样的话，我们便可以指望理解那些可逐步由越来越复杂的子空间归纳建造的空间（如CW复形）的同调群。也许最简单的关系会是：\(H_n(X)\)包含\(H_n(A)\)作为子群，且商群\(H_n(X)/H_n(A)\)同构于\(H_n(X/A)\)。虽然这在某些情形确实成立，但如果它普遍成立，同调论就会彻底坍塌，因为每个空间\(X\)都可以作为一个同调群平凡的空间的子空间嵌入，例如锥\(CX=(X\times I)/(X\times\{0\})\)，它是可缩的。

事实证明，这个过于简单的模型无需修正太多就可以得到一个在相当一般条件下成立的关系。实际关系的独特之处在于：它同时涉及所有\(n\)的群\(H_n(X)\)、\(H_n(A)\)和\(H_n(X/A)\)。在实践中这并不像听上去那么糟糕，而且还有一个愉快的副作用：有时可以通过低维群来计算高维同调群，后者可能已经通过归纳获知。

为表述我们寻求的关系，需要一个在代数拓扑中居于核心地位的代数定义。一列同态
\[
\cdots \longrightarrow A_{n+1} \xrightarrow{\alpha_{n+1}} A_n \xrightarrow{\alpha_n} A_{n-1} \longrightarrow \cdots
\]
称为正合的（exact），如果对每个\(n\)有\(\Ker\alpha_n = \Ima\alpha_{n+1}\)。包含关系\(\Ima\alpha_{n+1}\subset\Ker\alpha_n\)等价于\(\alpha_n\alpha_{n+1}=0\)，故该序列是一个链复形；而反向包含\(\Ker\alpha_n\subset\Ima\alpha_{n+1}\)则是说该链复形的同调群平凡。

若干基本的代数概念可以用正合序列来表达，例如：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*),leftmargin=*]
  \item \(0\to A\xrightarrow{\alpha} B\)正合当且仅当\(\alpha\)为单射。
  \item \(A\xrightarrow{\alpha} B\to 0\)正合当且仅当\(\alpha\)为满射。
  \item \(0\to A\xrightarrow{\alpha} B\xrightarrow{\beta} C\to 0\)正合当且仅当\(\alpha\)为单射，\(\beta\)为满射，且\(\Ker\beta=\Ima\alpha\)，故\(\beta\)诱导同构\(C\approx B/\Ima\alpha\)。
  \item 两端各有无穷多项为零的正合序列称为长正合序列（long exact sequence）。五引理（Five-Lemma）是处理长正合序列之间映射的一个基本工具。
\end{enumerate}

\begin{theorem}[title={定理 2.13}]
若\(X\)是空间，\(A\)是\(X\)的一个非空闭子空间，且\((X,A)\)是一个好对（good pair），即\(A\)在\(X\)中有一个邻域可形变收缩到\(A\)，则存在同调群的长正合序列
\[
\cdots \longrightarrow H_n(A) \xrightarrow{i_*} H_n(X) \xrightarrow{j_*} H_n(X,A) \xrightarrow{\partial} H_{n-1}(A) \longrightarrow \cdots
\]
其中\(i:A\hookrightarrow X\)和\(j:(X,\varnothing)\hookrightarrow(X,A)\)为包含映射。对约化同调群也存在类似的正合序列。
\end{theorem}

\begin{htproof}
我们从链复形的短正合序列出发：
\[
0 \longrightarrow C_n(A) \xrightarrow{i_\sharp} C_n(X) \xrightarrow{j_\sharp} C_n(X,A) \longrightarrow 0,
\]
其中\(i_\sharp\)为包含，\(j_\sharp\)为商映射。这些短正合序列与边缘映射\(\partial\)交换，因此它们构成链复形的短正合序列。代数中的一个标准事实是：链复形的短正合序列诱导同调群的长正合序列。连接同态\(\partial:H_n(X,A)\to H_{n-1}(A)\)定义如下：取\(H_n(X,A)\)的一个代表\(c\in C_n(X)\)，其边缘\(\partial c\in C_{n-1}(A)\)（因为它在\(C_{n-1}(X,A)\)中为零），则令\(\partial[c]=[\partial c]\)。正合性的验证是标准的图追踪论证。
\end{htproof}

\begin{corollary}[title={推论 2.14}]
\(\widetilde{H}_n(S^n)\approx\Z\)，且对\(i\neq n\)有\(\widetilde{H}_i(S^n)=0\)。
\end{corollary}

\begin{htproof}
对\(n=0\)，结果由命题2.6和2.8直接可得。对\(n>0\)，在归纳中使用对\((D^n,\partial D^n)\)的长正合序列。因为\(D^n\)可缩，\(\widetilde{H}_i(D^n)=0\)对一切\(i\)成立。故\(\widetilde{H}_i(S^{n-1})\approx\widetilde{H}_i(\partial D^n)\approx\widetilde{H}_{i+1}(D^n,\partial D^n)\)。又因\((D^n,\partial D^n)\)为好对，\(D^n/\partial D^n\approx S^n\)，故由命题2.22（见后文）有\(\widetilde{H}_i(S^{n-1})\approx\widetilde{H}_{i+1}(S^n)\)。归纳可完成证明。
\end{htproof}

\begin{corollary}[title={推论 2.15}]
\(\partial D^n\)不是\(D^n\)的收缩核（retract）。因此每个映射\(f:D^n\to D^n\)有不动点。
\end{corollary}

\begin{htproof}
若存在收缩\(r:D^n\to\partial D^n\)，则复合\(\widetilde{H}_{n-1}(\partial D^n)\xrightarrow{i_*}\widetilde{H}_{n-1}(D^n)\xrightarrow{r_*}\widetilde{H}_{n-1}(\partial D^n)\)是恒等映射。但中间群为零（因为\(D^n\)可缩），矛盾。不动点的陈述如定理1.9一样推出。
\end{htproof}

对任意空间对\((X,A)\)，定义相对同调群\(H_n(X,A)\)为链复形
\[
\cdots \longrightarrow C_{n+1}(X,A) \xrightarrow{\partial} C_n(X,A) \xrightarrow{\partial} C_{n-1}(X,A) \longrightarrow \cdots
\]
的同调群，其中\(C_n(X,A)=C_n(X)/C_n(A)\)。由于\(\partial:C_n(A)\to C_{n-1}(A)\)，商映射诱导商上的边缘映射。对约化相对同调群\(\widetilde{H}_n(X,A)\)也有类似定义。空间对的映射\(f:(X,A)\to(Y,B)\)诱导同态\(f_*:H_n(X,A)\to H_n(Y,B)\)。

\begin{theorem}[title={定理 2.16}]
对空间三元组\((X,A,B)\)，其中\(B\subset A\subset X\)，存在长正合序列
\[
\cdots \longrightarrow H_n(A,B) \longrightarrow H_n(X,B) \longrightarrow H_n(X,A) \xrightarrow{\partial} H_{n-1}(A,B) \longrightarrow \cdots
\]
\end{theorem}

\begin{htproof}
来自链复形的短正合序列：
\[
0 \longrightarrow C_n(A,B) \longrightarrow C_n(X,B) \longrightarrow C_n(X,A) \longrightarrow 0,
\]
其中第一个映射由包含诱导，第二个由商诱导。
\end{htproof}

\subsubsection{切除定理}

\begin{theorem}[title={定理 2.20（切除定理）}]
给定子空间\(Z\subset A\subset X\)，使得\(Z\)的闭包包含在\(A\)的内部，则包含映射\((X\setminus Z, A\setminus Z)\hookrightarrow (X,A)\)对所有\(n\)诱导同构
\[
H_n(X\setminus Z,\, A\setminus Z) \approx H_n(X,A).
\]
等价地，对于满足\(X = A\cup B\)（其中\(A,B\)为子空间且其内部覆盖\(X\)）的空间，包含映射\((B,A\cap B)\hookrightarrow (X,A)\)对所有\(n\)诱导同构
\[
H_n(B,A\cap B) \approx H_n(X,A).
\]
\end{theorem}


\subsubsection{切除定理的证明}

我们证明第二个版本，涉及分解\(X=A\cup B\)。对覆盖\(\mathcal{U}=\{A,B\}\)，引入记号\(C_n(A+B)\)表示\(C_n^{\mathcal{U}}(X)\)，即\(A\)中链与\(B\)中链之和。在前面证明的最后我们有公式\(\partial D + D\partial = \mathbbm{1} - \iota\rho\)和\(\rho\iota = \mathbbm{1}\)，其中\(\iota:C_n^{\mathcal{U}}(X)\hookrightarrow C_n(X)\)为包含。出现在这些公式中的所有映射都将\(A\)中的链送到\(A\)中的链，因此当我们商掉\(A\)中的链时，它们诱导商映射。这些商映射自动满足相同的两个公式，所以包含\(C_n(A+B)/C_n(A)\hookrightarrow C_n(X)/C_n(A)\)诱导同调同构。由包含诱导的映射\(C_n(B)/C_n(A\cap B)\to C_n(A+B)/C_n(A)\)显然是同构，因为两个商群都以落在\(B\)中但不在\(A\)中的奇异\(n\)-单形为基自由生成。因此我们得到由包含诱导的所期望的同构\(H_n(B,A\cap B)\approx H_n(X,A)\)。

定理2.13的证明中剩下的事是将相对同调群替换为绝对同调群。这由以下结果实现。

\begin{proposition}[title={命题 2.22}]
对好对\((X,A)\)，商映射\(q:(X,A)\to (X/A,A/A)\)对所有\(n\)诱导同构
\[
q_*:H_n(X,A) \longrightarrow H_n(X/A,A/A) \approx \widetilde{H}_n(X/A).
\]
\end{proposition}

\begin{htproof}
设\(V\)是\(A\)在\(X\)中的一个邻域，它可形变收缩到\(A\)。我们有交换图，其中左上水平映射为同构，因为在三重\((X,V,A)\)的长正合序列中，群\(H_n(V,A)\)对所有\(n\)为零：\(V\)到\(A\)的形变收缩给出空间对的同伦等价\((V,A)\simeq(A,A)\)，且\(H_n(A,A)=0\)。\(V\)到\(A\)的形变收缩诱导\(V/A\)到\(A/A\)的形变收缩，故同理可证左下水平映射也是同构。另两个水平映射直接由切除定理给出同构。右侧垂直映射\(q_*\)为同构，因为\(q\)限制在\(A\)的补集上是同胚。由图的交换性，左侧的\(q_*\)也是同构。
\end{htproof}

此命题表明对好对\((X,A)\)，相对同调可以表示为约化绝对同调；但事实上存在一种对任意对也这样做的方法。考虑空间\(X\cup CA\)，其中\(CA\)是锥\((A\times I)/(A\times\{0\})\)，其底\(A\times\{1\}\)我们与\(A\subset X\)等同。使用第0章引入的术语，\(X\cup CA\)也可描述为包含映射\(A\hookrightarrow X\)的映射锥（mapping cone）。断言为：对所有\(n\)，有\(H_n(X,A)\approx\widetilde{H}_n(X\cup CA)\)，通过一串同构
\[
\widetilde{H}_n(X\cup CA) \approx H_n(X\cup CA,CA) \approx H_n(X\cup CA-\{p\},CA-\{p\}) \approx H_n(X,A),
\]
其中\(p\in CA\)是锥的尖端。第一个同构来自对的正合序列，利用\(CA\)可缩的事实。第二个同构是切除，第三个同构来自\(CA-\{p\}\)到\(A\)的形变收缩。

这里是前面命题的一个应用：

\medskip
\noindent\textbf{例 2.23.}\ \ 让我们找出代表无限循环群\(H_n(D^n,\partial D^n)\)和\(\widetilde{H}_n(S^n)\)的生成元的显式闭链。以等价对\((\Delta^n,\partial\Delta^n)\)代替\((D^n,\partial D^n)\)，我们将对\(n\)归纳证明：恒等映射\(i_n:\Delta^n\to\Delta^n\)，视为一个奇异\(n\)-单形，是生成\(H_n(\Delta^n,\partial\Delta^n)\)的闭链。它是闭链是显然的，因为我们考虑的是相对同调。当\(n=0\)时它当然代表一个生成元。对于归纳步骤，令\(\Lambda\subset\Delta^n\)为所有除一个以外的\((n-1)\)维面之并。则有同构
\[
H_n(\Delta^n,\partial\Delta^n) \xrightarrow{\partial} H_{n-1}(\partial\Delta^n,\Lambda) \longleftarrow H_{n-1}(\Delta^{n-1},\partial\Delta^{n-1}).
\]
第一个同构是三重\((\Delta^n,\partial\Delta^n,\Lambda)\)长正合序列中的边缘映射，其第三项群\(H_i(\Delta^n,\Lambda)\)为零，因为\(\Delta^n\)可形变收缩到\(\Lambda\)，从而\((\Delta^n,\Lambda)\simeq(\Lambda,\Lambda)\)。第二个同构来自前面的命题，因为我们对好对进行操作，且\(\Delta^{n-1}\)作为不含于\(\Lambda\)的那个面包含进\(\partial\Delta^n\)诱导商空间的同胚\(\Delta^{n-1}/\partial\Delta^{n-1}\approx\partial\Delta^n/\Lambda\)。归纳步骤随之下：闭链\(i_n\)在第一个同构下被送到闭链\(\partial i_n\)，它等于\(\pm i_{n-1}\)（在\(C_{n-1}(\partial\Delta^n,\Lambda)\)中计算）。

为找出生成\(\widetilde{H}_n(S^n)\)的闭链，将\(S^n\)视为两个\(n\)-单形\(\Delta_1^n\)和\(\Delta_2^n\)，其边界以显然的方式等同，保持顶点排序。差\(\Delta_1^n-\Delta_2^n\)，视为一个奇异\(n\)-链，则是一个闭链，生成\(\widetilde{H}_n(S^n)\approx\Z\)。

\begin{corollary}[title={推论 2.25}]
对楔和（wedge sum）\(\bigvee_\alpha X_\alpha\)有同构
\[
\widetilde{H}_n\Bigl(\bigvee_\alpha X_\alpha\Bigr) \approx \bigoplus_\alpha \widetilde{H}_n(X_\alpha),
\]
只要各楔和项\(X_\alpha\)均为好对（例如CW复形）。
\end{corollary}

\begin{theorem}[title={定理 2.26（区域不变性）}]
若非空开集\(U\subset\R^m\)和\(V\subset\R^n\)同胚，则\(m=n\)。
\end{theorem}

\begin{htproof}
设\(h:U\to V\)为同胚。取\(x\in U\)，则由推论2.14及切除，对一切\(i\)有
\[
H_i(U,U\setminus\{x\}) \approx H_i(\R^m,\R^m\setminus\{x\}) \approx \widetilde{H}_{i-1}(S^{m-1})
\]
（切除掉\(\R^m\setminus U\)）。类似地对\(V\)成立。但\(h\)诱导同构\(H_i(U,U\setminus\{x\})\approx H_i(V,V\setminus\{h(x)\})\)，故\(\widetilde{H}_{i-1}(S^{m-1})\approx\widetilde{H}_{i-1}(S^{n-1})\)对一切\(i\)成立，这迫使\(m=n\)。
\end{htproof}

\subsection{单纯同调与奇异同调的等价性}

我们现在可以回到本节开头关于\(\Delta\)-复形的单纯同调与奇异同调之间的关系的问题。

\begin{theorem}[title={定理 2.27}]
对任何\(\Delta\)-复形\(X\)，自然同态\(H_n^{\Delta}(X)\to H_n(X)\)对所有\(n\)均为同构。
\end{theorem}

\begin{htproof}
首先考虑\(X\)为有限维的情形，对\(X\)的骨架作归纳。设\(X^k\)为\(X\)的\(k\)-骨架。对\((X^k,X^{k-1})\)考虑长正合序列。单纯链群\(\Delta_n(X^k,X^{k-1})\)在\(n\neq k\)时为零，而在\(n=k\)时是以\(X\)的\(k\)-单形为基的自由交换群。因此\(H_n^{\Delta}(X^k,X^{k-1})\)的刻画完全相同。对应的奇异同调群\(H_n(X^k,X^{k-1})\)可通过考虑映射
\[
\Phi:\coprod_\alpha (\Delta_\alpha^k,\partial\Delta_\alpha^k) \longrightarrow (X^k,X^{k-1})
\]
来计算，其中\(\Delta_\alpha^k\)跑遍\(X\)的\(k\)-单形。由切除可证\(\Phi\)诱导同调同构。然后\(H_k(\Delta^k,\partial\Delta^k)\)由恒等映射\(\Delta^k\to\Delta^k\)生成，如我们在例2.23中所证明的。因此映射\(H_k^{\Delta}(X^k,X^{k-1})\to H_k(X^k,X^{k-1})\)为同构。

现在对骨架归纳中的每一步应用五引理，由单纯和奇异同调群的长正合序列即得结论。

对于\(X\)为无限维的情形，回到定理的证明，我们用到以下事实：\(X\)中的紧集只能与\(X\)的有限多个开单形（即删去真面后的单形）相交。这是关于CW复形的一般事实，在附录中得到证明，但此处给出对\(\Delta\)-复形的直接证明。若紧集\(C\)与无穷多个开单形相交，则可从这些开单形中选出点\(x_i\)使得\(x_i\)全不相同且落入互不相同的开单形中。由于\(C\)是紧的，点列\(x_i\)有极限点\(x\in C\)，从而\(x\)的每个邻域包含无穷多个不同的\(x_i\)。但由条件(iii)，一个开单形中的每个点都有只交该开单形的邻域。因此\(x\)不能在任何开单形中，矛盾。于是\(C\)只能与有限多个开单形相交。

利用这一事实，每个奇异链\(\xi\in C_n(X)\)的像为紧，故只能与\(X\)的有限多个单形相交。因此\(\xi\)落在某个骨架\(X^k\)中，从而诱导映射\(H_n^{\Delta}(X^k)\to H_n(X^k)\to H_n(X)\)在取正向极限后为同构。更详细的论证可在标准代数拓扑教材中找到。
\end{htproof}

同调论的历史根源可追溯到19世纪Riemann、Betti和Poincar\'{e}的工作。我们所讲述的严格代数框架——链复形及同调群——主要在有相当多其他人的贡献（特别是Alexander和Lefschetz）之后，于1944年Eilenberg的一篇论文中得到明确表述。此后数年间，同调论基本结构的其余部分（如我们所呈现的）各就各位，首部权威性论著即经典的[Eilenberg \& Steenrod 1952]。


\subsection*{习题}

\begin{enumerate}[leftmargin=*,label=\textbf{\arabic*.}]

\item 将\(2\)-单形\([v_0,v_1,v_2]\)的边\([v_0,v_1]\)与\([v_1,v_2]\)等同（保持顶点顺序），所得的商\(\Delta\)-复形是什么熟悉的空间？

\item 证明由\(\Delta^3\)通过如下边的等同所得到的\(\Delta\)-复形可形变收缩到一个Klein瓶：
\[
[v_0,v_1]\sim[v_1,v_3],\qquad [v_0,v_2]\sim[v_2,v_3].
\]
找出其他边的等同对，使产生的\(\Delta\)-复形分别形变收缩到一个环面、一个\(2\)-球面以及\(\R P^2\)。

\item 在\(\R P^n\)上构造一个\(\Delta\)-复形结构，作为\(S^n\)上一个\(\Delta\)-复形结构的商，其中\(S^n\)的顶点为\(\R^{n+1}\)中沿每条坐标轴的两个长度为\(1\)的向量。

\item 计算由\(\Delta^2\)将其三个顶点等同为一个点所得到的三角降落伞（triangular parachute）的单纯同调群。

\item 利用本节开头所述\(\Delta\)-复形结构，计算Klein瓶的单纯同调群。

\item 计算如下\(\Delta\)-复形的单纯同调群：它由\(n+1\)个\(2\)-单形\(\Delta_0^2,\ldots,\Delta_n^2\)得到，将\(\Delta_0^2\)的所有三条边等同为一条边，且对\(i>0\)将\(\Delta_i^2\)的边\([v_0,v_1]\)和\([v_1,v_2]\)等同为一条边，将边\([v_0,v_2]\)与\(\Delta_{i-1}^2\)的边\([v_0,v_1]\)等同。

\item 找出一种将\(\Delta^3\)的面对等同的方式，使得在\(S^3\)上产生一个只有一个\(3\)-单形的\(\Delta\)-复形结构，并计算此\(\Delta\)-复形的单纯同调群。

\item 由\(n\)个四面体\(T_1,\ldots,T_n\)通过以下两步构造一个三维\(\Delta\)-复形\(X\)。首先将四面体排成如图中所示的循环模式，使得每个\(T_i\)与相邻的两个\(T_{i-1}\)和\(T_{i+1}\)（下标模\(n\)）各共享一个公共的竖直面。然后将\(T_i\)的底面与\(T_{i+1}\)的顶面对每个\(i\)等同。证明\(X\)在维数\(0,1,2,3\)的单纯同调群分别为\(\Z,\Z_n,0,\Z\)。[空间\(X\)是透镜空间（lens space）的一个例子；一般情形见例2.43。]

\item 计算由\(\Delta^n\)将所有同维数面等同得到的\(\Delta\)-复形\(X\)的同调群。因此\(X\)对每个\(k\leq n\)有唯一的\(k\)-单形。

\item\ 
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
  \item 证明：将有限多个互不相交的\(2\)-单形通过成对等同边得到的商空间总是一个曲面，局部同胚于\(\R^2\)。
  \item 证明：总可以为边指定定向，使得商空间上定义一个\(\Delta\)-复形结构。[此题更难。]
\end{enumerate}

\item 证明：若\(A\)是\(X\)的收缩核，则包含映射\(A\hookrightarrow X\)诱导的映射\(H_n(A)\to H_n(X)\)是单射。

\item 证明：链映射的链同伦是一个等价关系。

\item 验证：\(f\simeq g\)蕴含约化同调群的诱导同态\(f_*=g_*\)。

\item 判断是否存在短正合序列\(0\to\Z_4\to\Z_8\oplus\Z_2\to\Z_4\to 0\)。更一般地，确定哪些交换群\(A\)可嵌入短正合序列\(0\to\Z_{p^m}\to A\to\Z_{p^n}\to 0\)（其中\(p\)为素数）。短正合序列\(0\to\Z\to A\to\Z_n\to 0\)的情形又如何？

\item 对正合序列\(A\to B\to C\to D\to E\)，证明\(C=0\)当且仅当映射\(A\to B\)为满射且\(D\to E\)为单射。由此推出：对空间对\((X,A)\)，包含映射\(A\hookrightarrow X\)在所有同调群上诱导同构当且仅当\(H_n(X,A)=0\)对所有\(n\)成立。

\item\ 
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
  \item 证明：\(H_0(X,A)=0\)当且仅当\(A\)与\(X\)的每个道路连通分支相交。
  \item 证明：\(H_1(X,A)=0\)当且仅当\(H_1(A)\to H_1(X)\)为满射且\(X\)的每个道路连通分支包含至多一个\(A\)的道路连通分支。
\end{enumerate}

\item\ 
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
  \item 当\(X=S^2\)或\(S^1\times S^1\)，且\(A\)是\(X\)中一个有限点集时，计算同调群\(H_n(X,A)\)。
  \item 对亏格为\(2\)的闭可定向曲面\(X\)及图中所示的圆\(A\)和\(B\)，计算群\(H_n(X,A)\)和\(H_n(X,B)\)。[\(X/A\)和\(X/B\)是什么空间？]
\end{enumerate}

\item 证明：对子空间\(\Q\subset\R\)，相对同调群\(H_1(\R,\Q)\)是自由交换群，并求出一组基。

\item 计算\(I\times I\)的由四条边界边加上内部所有第一坐标为有理数的点组成的子空间的同调群。

\item 证明：\(\widetilde{H}_n(X)\approx\widetilde{H}_{n+1}(SX)\)对所有\(n\)成立，其中\(SX\)是\(X\)的悬垂（suspension）。更一般地，将\(SX\)视为两个锥\(CX\)将其底等同的并，计算\(n\)个锥\(CX\)将其底等同的并的约化同调群。

\item 将上题具体化，构造诱导同构\(\widetilde{H}_n(X)\to\widetilde{H}_{n+1}(SX)\)的显式链映射\(s:C_n(X)\to C_{n+1}(SX)\)。

\item 对有限维CW复形\(X\)，利用观察\(X^n/X^{n-1}\)是\(n\)-球面的楔和，对维数作归纳证明：
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
  \item 若\(X\)的维数为\(n\)，则\(H_i(X)=0\)对\(i>n\)，且\(H_n(X)\)为自由群。
  \item 若没有\((n-1)\)-维或\((n+1)\)-维的胞腔，则\(H_n(X)\)是自由群，其基与\(n\)-胞腔一一对应。
  \item 若\(X\)有\(k\)个\(n\)-胞腔，则\(H_n(X)\)至多由\(k\)个元素生成。
\end{enumerate}

\item 证明：\(\Delta\)-复形的第二次重心重分是一个单纯复形。即，证明第一次重心重分产生一个每个单形的所有顶点互异的\(\Delta\)-复形，然后证明对具有此性质的\(\Delta\)-复形，重心重分产生一个单纯复形。

\item 证明：本节开头描述的每个\(n\)-单形\(\sigma_\alpha:\Delta^n\to X\)的单纯复合形在该\(\Delta\)-复形结构中，当将其视为一个奇异单形时，若其所有面均出现，则是\(C_n(X)\)中一个子复形的生成元，该子复形同构于它对应的那个\(\Delta\)-复形结构。

\end{enumerate}

\end{document}
