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\title{\bfseries 王向军《拓扑学》第三章同调论自学与计算讲义}
\author{以王讲义第三章为主线，参照 Hatcher \textit{Algebraic Topology} 同调部分}
\date{}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section*{使用说明与第三章主线}
\addcontentsline{toc}{section}{使用说明与第三章主线}

本讲义以王向军《拓扑学》第三章为主线，目标不是把定义重新排一遍，而是帮助读者在题目中真正会算同调群、会判断该用哪个工具。王讲义第三章的内容顺序为：
\[
\S3.1\ \text{奇异链群与奇异同调群},\quad
\S3.2\ \text{同调群的同伦不变性},\quad
\S3.3\ \pi_1\text{ 与 }H_1\text{ 的关系},
\]
\[
\S3.4\ \text{相对同调与长正合列},\quad
\S3.5\ \text{切除定理},\quad
\S3.6\ \text{Mayer--Vietoris 序列},\quad
\S3.7\ \text{同调群的应用}.
\]
Hatcher 的相关章节强调几何图像：奇异单形可以弯曲、折叠、退化，因此奇异同调不要求空间本身有三角剖分。王讲义更强调链群、链映射、正合列和计算。本讲义把两者结合起来：先讲清楚对象，再给出做题流程。

\begin{summarybox}{全章计算路线}
遇到同调题时，先按下面顺序思考：
\begin{enumerate}
  \item 数道路连通分支，先确定 \(H_0\)。
  \item 看空间是否可缩，或是否形变收缩到常见模型。
  \item 对常见模型直接引用：点、\(S^n\)、楔和、图、环面、去点曲面。
  \item 若题中有子空间 \(A\subset X\)，优先考虑相对同调长正合列。
  \item 若空间由两块开集或好子空间拼成，优先考虑 Mayer--Vietoris。
  \item 若问映射诱导同态，先找生成元，再看映射把生成元送到几倍生成元。
\end{enumerate}
\end{summarybox}

\section*{先把这一章讲成人话}
\addcontentsline{toc}{section}{先把这一章讲成人话}

第三章一开始会显得很抽象，因为它先定义了很多“看不见”的东西：奇异单形、链群、边缘算子、闭链、边缘链。不要急着把这些定义背下来。更好的理解方式是先记住一句话：
\[
\text{同调就是把“洞”翻译成阿贝尔群。}
\]
但是“洞”这个词太直观，不能直接拿来证明或计算。于是我们做三步。

第一步，把空间里的点、路径、曲面片统一叫作“单形”。它们不一定是直的，也不一定嵌入在空间里，只要是从标准单形连续映到 \(X\) 的映射就行。这就是“奇异”的意思：允许弯曲、折叠、退化。Hatcher 特别强调这一点，因为这样我们不必先给空间三角剖分。

第二步，把这些单形做整数线性组合，得到链。链可以相加、相减，所以几何对象进入了代数世界。例如两条同方向的路径可以相加，反方向路径可以用负号表示。

第三步，用边缘算子 \(\partial\) 判断一条链有没有边界。没有边界的链叫闭链；如果一个闭链其实是更高维链的边界，那它围住了一块东西，不算真正的洞。于是
\[
H_q(X)=\frac{\text{闭链}}{\text{边缘链}}
\]
就是“把能填起来的洞除掉，留下填不起来的洞”。

这就是本章的核心故事。后面出现的同伦不变性、相对同调、切除、Mayer--Vietoris，都不是新的主题，而是为了让这个故事变得可计算。真正做题时，我们几乎不会直接拿无限大的奇异链群硬算，而是把空间变形、分解、相对化，再用正合列把几何问题变成代数问题。

\begin{summarybox}{本章最重要的三种眼光}
\begin{enumerate}
  \item \textbf{变形眼光}：空间能不能形变收缩到更简单的骨架？如果可以，直接算骨架。
  \item \textbf{分解眼光}：空间能不能拆成两块？如果两块和交集都容易算，用 Mayer--Vietoris。
  \item \textbf{相对眼光}：题目是否天然包含 \(A\subset X\)？如果是，把 \(A\) 当作已经知道或已经忽略的部分，用长正合列。
\end{enumerate}
\end{summarybox}

\section{奇异链群与奇异同调群}

\subsection{本节在整章中的作用}

奇异同调把拓扑空间 \(X\) 转化为一串阿贝尔群
\[
H_0(X),H_1(X),H_2(X),\ldots.
\]
这些群分别记录连通分支、一维洞、二维空腔以及更高维空洞。本节建立最基本的代数机器：
\[
\text{空间 }X
\longrightarrow
\text{链复形 }(S_q(X),\partial_q)
\longrightarrow
\text{同调群 }H_q(X).
\]
后面同伦不变性、相对同调、长正合列、切除定理和 Mayer--Vietoris 序列，都建立在这套链复形语言上。

\subsection{核心定义}

\begin{definition}[标准单形]
对整数 \(q\ge 0\)，标准 \(q\) 单形定义为
\[
\Delta^q=\left\{(t_0,\ldots,t_q)\in\R^{q+1}\mid t_i\ge 0,\ \sum_{i=0}^q t_i=1\right\}.
\]
它的顶点记为 \(e_0,\ldots,e_q\)。
\end{definition}

\begin{definition}[奇异单形与奇异链群]
设 \(X\) 为拓扑空间。一个 \(X\) 中的奇异 \(q\) 单形是连续映射
\[
\sigma:\Delta^q\to X.
\]
由所有奇异 \(q\) 单形生成的自由阿贝尔群记为 \(S_q(X)\)。因此 \(S_q(X)\) 中的元素是有限和
\[
c=\sum_i n_i\sigma_i,\qquad n_i\in\Z,
\]
称为 \(q\) 链。
\end{definition}

\begin{definition}[边缘算子]
令 \(\delta_i:\Delta^{q-1}\to\Delta^q\) 表示第 \(i\) 个面映射，即把 \(\Delta^{q-1}\) 嵌入为不含顶点 \(e_i\) 的面。对奇异单形 \(\sigma:\Delta^q\to X\)，定义
\[
\partial_q\sigma=\sum_{i=0}^q(-1)^i\sigma\circ\delta_i.
\]
线性延拓后得到同态
\[
\partial_q:S_q(X)\to S_{q-1}(X).
\]
\end{definition}

低维公式最常用。若 \(\gamma:\Delta^1\to X\) 是一条路径，且 \(\gamma(e_0)=a,\gamma(e_1)=b\)，则
\[
\partial_1\gamma=b-a.
\]
若 \(\tau:\Delta^2\to X\) 是奇异三角形，则
\[
\partial_2\tau
=\tau|[e_1,e_2]-\tau|[e_0,e_2]+\tau|[e_0,e_1].
\]

\subsection{几何直观}

\(q\) 链可以想成若干有方向的 \(q\) 维片段的整数线性组合。边缘算子提取边界：线段的边界是终点减起点，三角形的边界是三条有向边的交错和。

最重要的事实是
\[
\partial_{q-1}\partial_q=0.
\]
几何上说，边界的边界为空。三角形的三条边再取端点时，每个顶点出现两次，符号相反，互相抵消。

\begin{proposition}
对任意 \(q\ge 1\)，有
\[
\partial_{q-1}\circ\partial_q=0.
\]
\end{proposition}

\begin{proof}
对一个奇异 \(q\) 单形 \(\sigma\) 展开 \(\partial\partial\sigma\)。每个余维 \(2\) 的面都会以两种删顶点顺序出现，且符号相反。所有项两两抵消，所以 \(\partial\partial\sigma=0\)。由线性性，结论对任意链成立。
\end{proof}

\subsection{闭链、边缘链和同调群}

\begin{definition}
定义
\[
Z_q(X)=\Ker\partial_q
\]
为 \(q\) 维闭链群，
\[
B_q(X)=\Imop\partial_{q+1}
\]
为 \(q\) 维边缘链群。由 \(\partial\partial=0\) 得 \(B_q(X)\subset Z_q(X)\)，于是定义第 \(q\) 个奇异同调群
\[
H_q(X)=Z_q(X)/B_q(X).
\]
若 \(z\in Z_q(X)\)，它在同调群中的等价类记为 \([z]\)。
\end{definition}

因此
\[
\boxed{\ H_q(X)=\frac{\text{没有边界的 }q\text{ 链}}{\text{确实是某个 }(q+1)\text{ 链边界的 }q\text{ 链}}\ }.
\]
闭链代表“可能的洞”，边缘链代表“实际上围住了更高维区域的洞”。二者相除后，留下真正的同调类。

\subsection{计算方法}

\begin{methodbox}{不要直接硬算奇异链群}
奇异链群 \(S_q(X)\) 通常极大，直接计算几乎不可行。实际做题时应使用：
\begin{enumerate}
  \item \(H_0\) 数道路连通分支。
  \item 同伦不变性与形变收缩。
  \item 球面、圆周、楔和、图、环面等常见空间结果。
  \item 相对同调长正合列。
  \item Mayer--Vietoris 序列。
\end{enumerate}
只有在点空间、区间端点、\(H_0\) 证明这类基础题中，才直接展开奇异链。
\end{methodbox}

\subsection{例题：点空间和可缩空间}

\begin{example}
\textbf{题目} 计算一点空间 \(\{x_0\}\) 的同调群，并推出任意非空可缩空间的同调。

\textbf{空间的几何图像} 点空间没有非平凡的环或空洞。可缩空间能连续压缩成一个点，例如 \(\R^n\)、闭球 \(D^n\)、凸集。

\textbf{应该想到哪个工具} 点空间可直接算链复形；可缩空间用同伦不变性。

\textbf{计算过程} 在点空间中，每个奇异 \(q\) 单形都是唯一的常值映射 \(c_q:\Delta^q\to\{x_0\}\)，所以
\[
S_q(\{x_0\})\cong \Z\langle c_q\rangle.
\]
边缘为
\[
\partial_qc_q=\sum_{i=0}^q(-1)^ic_{q-1}
=
\begin{cases}
0,& q\text{ 为奇数},\\
c_{q-1},& q\text{ 为偶数}.
\end{cases}
\]
因此
\[
H_0(\{x_0\})\cong\Z,\qquad H_q(\{x_0\})=0\quad(q>0).
\]
若 \(X\) 可缩，则 \(X\simeq\{x_0\}\)，由同伦不变性有相同同调。

\textbf{最终答案}
\[
H_q(X)\cong
\begin{cases}
\Z,&q=0,\\
0,&q>0,
\end{cases}
\quad X\text{ 非空可缩}.
\]

\textbf{套路总结} 看到“可缩”“凸”“星形”“形变收缩到一点”，高维同调立即为零。
\end{example}

\subsection{例题：道路连通空间的 \(H_0\)}

\begin{example}
\textbf{题目} 证明若 \(X\) 道路连通，则 \(H_0(X)\cong\Z\)。

\textbf{空间的几何图像} \(0\) 链是点的整数线性组合。两点能用路径连接，就在 \(H_0\) 中代表同一个类。

\textbf{应该想到哪个工具} 使用路径边缘公式 \(\partial\gamma=\gamma(e_1)-\gamma(e_0)\)。

\textbf{计算过程} 因为 \(\partial_0=0\)，所以 \(Z_0(X)=S_0(X)\)。取固定点 \(x_0\in X\)。任意点 \(x\in X\) 可由路径 \(\gamma\) 与 \(x_0\) 连接，令 \(\gamma(e_0)=x_0,\gamma(e_1)=x\)，则
\[
x-x_0=\partial\gamma\in B_0(X),
\]
故 \([x]=[x_0]\)。任意 \(0\) 链 \(c=\sum_i n_ix_i\) 都同调于 \((\sum_i n_i)x_0\)。系数和映射
\[
\varepsilon:S_0(X)\to\Z,\qquad \varepsilon\left(\sum_i n_ix_i\right)=\sum_i n_i
\]
诱导出同构 \(H_0(X)\cong\Z\)。

\textbf{最终答案}
\[
H_0(X)\cong\Z.
\]
若 \(X\) 有 \(r\) 个道路连通分支，则 \(H_0(X)\cong\Z^r\)。

\textbf{套路总结} \(H_0\) 首先数道路连通分支。
\end{example}

\subsection{常见误区}

\begin{pitfallbox}{闭链不一定是零类}
\(\partial z=0\) 只说明 \(z\) 没有边界。只有当 \(z=\partial w\) 时，\([z]\) 才是 \(H_q(X)\) 中的零元。圆周上绕一圈的闭链不是边缘，因此给出 \(H_1(S^1)\) 的生成元。
\end{pitfallbox}

\begin{pitfallbox}{不要把几何直观看成严格证明}
“看起来像一个点”必须落实为同伦等价或形变收缩。例如 \(D^2\) 可缩，\(S^1\) 不可缩；它们看起来都简单，但同调完全不同。
\end{pitfallbox}

\subsection{自测题}

\begin{exercise}
若 \(X\) 有 \(5\) 个道路连通分支，求 \(H_0(X)\)。
\end{exercise}

\begin{exercise}
证明 \(\R^n\)、闭球 \(D^n\)、任意凸集的 \(H_q\) 在 \(q>0\) 时为零。
\end{exercise}

\begin{exercise}
设 \(\gamma\) 是从 \(a\) 到 \(b\) 的路径。写出 \(\partial\gamma\)，并解释为什么 \([a]=[b]\in H_0(X)\)。
\end{exercise}

\section{同调群的同伦不变性}

\subsection{本节在整章中的作用}

同伦不变性是同调计算中最常用的原则。它告诉我们：同伦等价的空间有同构的同调群。于是很多空间不必直接算奇异链群，只要变形成简单模型即可。

\subsection{核心定义}

\begin{definition}[诱导链映射]
设 \(f:X\to Y\) 连续。对奇异单形 \(\sigma:\Delta^q\to X\)，定义
\[
f_\#(\sigma)=f\circ\sigma.
\]
线性延拓得到同态
\[
f_\#:S_q(X)\to S_q(Y).
\]
由于 \(f_\#\partial=\partial f_\#\)，它把闭链送到闭链，把边缘链送到边缘链，从而诱导同调同态
\[
f_*:H_q(X)\to H_q(Y),\qquad f_*[z]=[f_\#z].
\]
\end{definition}

\begin{theorem}[同伦不变性]
若连续映射 \(f,g:X\to Y\) 同伦，则
\[
f_*=g_*:H_q(X)\to H_q(Y)
\]
对所有 \(q\ge 0\) 成立。特别地，若 \(X\simeq Y\)，则
\[
H_q(X)\cong H_q(Y).
\]
\end{theorem}

\subsection{几何直观}

同伦是一种连续变形。同调只关心空间中稳定存在的洞，不关心形状如何弯曲、拉伸或压扁。因此，圆环区域
\[
\{(x,y)\in\R^2\mid 1\le x^2+y^2\le 2\}
\]
与圆周 \(S^1\) 有相同同调，因为它可以径向形变收缩到中间的圆。

\subsection{证明思路}

若 \(F:X\times I\to Y\) 是从 \(f\) 到 \(g\) 的同伦，可以构造一族同态
\[
P_q:S_q(X)\to S_{q+1}(Y)
\]
使得
\[
g_\#-f_\#=\partial P_q+P_{q-1}\partial.
\]
这称为链同伦。若 \(z\) 是闭链，则 \(\partial z=0\)，所以
\[
g_\#z-f_\#z=\partial P_q(z)
\]
是边缘。因此 \([g_\#z]=[f_\#z]\)，即 \(g_*[z]=f_*[z]\)。

\subsection{计算方法}

\begin{methodbox}{何时使用同伦不变性和形变收缩}
题目中出现以下空间时，优先找同伦等价模型：
\begin{enumerate}
  \item 凸集、星形区域、闭球、开球：同伦等价于点。
  \item 去掉原点的欧氏空间 \(\R^n-\{0\}\)：径向形变收缩到 \(S^{n-1}\)。
  \item 环形区域、圆柱面、莫比乌斯带：常形变收缩到 \(S^1\)。
  \item 带若干洞或去点的曲面：常形变收缩到图或楔和。
  \item 一个空间中有“厚度”但洞的骨架明显时，先找骨架再证明形变收缩。
\end{enumerate}
严格证明通常要写出形变收缩 \(H:X\times I\to X\)，满足 \(H(x,0)=x\)、\(H(x,1)\in A\)、且 \(H(a,t)=a\) 对 \(a\in A\)。
\end{methodbox}

\subsection{例题：去掉原点的欧氏空间}

\begin{example}
\textbf{题目} 计算 \(\R^n-\{0\}\) 的同调群。

\textbf{空间的几何图像} 从原点向外发出的每条射线与单位球面 \(S^{n-1}\) 相交一次。整个空间可以沿射线压到 \(S^{n-1}\)。

\textbf{应该想到哪个工具} 径向形变收缩。

\textbf{计算过程} 定义
\[
r:\R^n-\{0\}\to S^{n-1},\qquad r(x)=\frac{x}{\|x\|}.
\]
包含映射为 \(i:S^{n-1}\hookrightarrow \R^n-\{0\}\)。同伦
\[
H(x,t)=(1-t)x+t\frac{x}{\|x\|}
\]
给出 \(\R^n-\{0\}\) 到 \(S^{n-1}\) 的形变收缩。因此
\[
H_q(\R^n-\{0\})\cong H_q(S^{n-1}).
\]

\textbf{最终答案}
\[
H_q(\R^n-\{0\})\cong
\begin{cases}
\Z,&q=0,\\
\Z,&q=n-1,\ n\ge 2,\\
0,&\text{其他 }q,
\end{cases}
\]
但当 \(n=1\) 时，\(\R-\{0\}\) 有两个道路连通分支，所以 \(H_0\cong\Z^2\)。

\textbf{套路总结} 去掉一点的 \(\R^n\) 不是“少了一个点所以差不多可缩”，而是留下一个 \(S^{n-1}\) 型的洞。
\end{example}

\subsection{例题：判断诱导同态}

\begin{example}
\textbf{题目} 令 \(f:S^1\to S^1\) 为 \(f(z)=z^m\)。求
\[
f_*:H_1(S^1)\to H_1(S^1).
\]

\textbf{空间的几何图像} 映射 \(z\mapsto z^m\) 把圆周绕自身 \(m\) 圈。若 \(m<0\)，方向反转。

\textbf{应该想到哪个工具} \(H_1(S^1)\cong\Z\)，生成元是逆时针绕一圈的类。

\textbf{计算过程} 取生成元 \([\alpha]\)，其中
\[
\alpha(t)=e^{2\pi it},\qquad 0\le t\le 1.
\]
则
\[
f\circ\alpha(t)=e^{2\pi imt}
\]
绕圆 \(m\) 圈。因此
\[
f_*[\alpha]=m[\alpha].
\]

\textbf{最终答案}
\[
f_*:\Z\to\Z,\qquad n\mapsto mn.
\]

\textbf{套路总结} 对 \(S^1\) 或 \(S^n\) 上的自映射，诱导同态常由次数决定。
\end{example}

\subsection{常见误区}

\begin{pitfallbox}{形变收缩必须连续且不能穿出空间}
例如 \(\R^2-\{0\}\) 可以收缩到 \(S^1\)，但不能收缩到一点，因为任何试图填掉圆周的收缩都必须穿过缺失的原点。
\end{pitfallbox}

\subsection{自测题}

\begin{exercise}
计算圆柱面 \(S^1\times I\) 的同调群。
\end{exercise}

\begin{exercise}
计算莫比乌斯带的同调群。
\end{exercise}

\begin{exercise}
设 \(f:S^n\to S^n\) 为常值映射，求 \(f_*:H_q(S^n)\to H_q(S^n)\)。
\end{exercise}

\section{\texorpdfstring{\(\pi_1\)}{pi1} 与 \texorpdfstring{\(H_1\)}{H1} 的关系}

\subsection{本节在整章中的作用}

王讲义第三章把 \(\pi_1\) 与 \(H_1\) 联系起来，是因为二者都研究一维环路，但信息量不同。基本群 \(\pi_1(X,x_0)\) 可能非交换，记录环路拼接的非交换结构；\(H_1(X)\) 是阿贝尔群，只记录交换化后的一维洞。

\subsection{核心结论}

\begin{theorem}
若 \(X\) 道路连通，则
\[
H_1(X)\cong \pi_1(X,x_0)_{\mathrm{ab}},
\]
其中 \(\pi_1(X,x_0)_{\mathrm{ab}}\) 表示基本群的交换化。
\end{theorem}

直观地说，闭路径给出 \(1\) 维闭链；同伦闭路径给出相同同调类；而同调群是阿贝尔群，所以只保留基本群的交换化信息。

\subsection{计算方法}

\begin{methodbox}{用基本群辅助算 \(H_1\)}
若已经知道空间的基本群表示
\[
\pi_1(X)=\langle a_1,\ldots,a_k\mid r_1,\ldots,r_s\rangle,
\]
则 \(H_1(X)\) 可以通过交换化计算：令所有生成元两两交换，把每个关系 \(r_j\) 改写成整数线性关系。这样得到一个有限生成阿贝尔群。
\end{methodbox}

\subsection{例题：楔和圆周}

\begin{example}
\textbf{题目} 计算 \(S^1\vee S^1\) 的 \(H_1\)。

\textbf{空间的几何图像} 两个圆在一点粘起来，像数字 \(8\)。有两个独立的一维洞。

\textbf{应该想到哪个工具} 可用基本群交换化，或后面用楔和同调公式。

\textbf{计算过程} 已知
\[
\pi_1(S^1\vee S^1)\cong F(a,b),
\]
即两个生成元的自由群。交换化后得到由 \(a,b\) 自由生成的自由阿贝尔群：
\[
F(a,b)_{\mathrm{ab}}\cong \Z\oplus\Z.
\]

\textbf{最终答案}
\[
H_1(S^1\vee S^1)\cong\Z^2.
\]

\textbf{套路总结} 图的 \(H_1\) 的秩等于独立回路数；\(S^1\vee\cdots\vee S^1\) 有多少个圆，就有多少个 \(\Z\)。
\end{example}

\subsection{例题：环面的 \(H_1\)}

\begin{example}
\textbf{题目} 用基本群交换化计算环面 \(T^2=S^1\times S^1\) 的 \(H_1\)。

\textbf{空间的几何图像} 环面有经线和纬线两个独立方向的一维洞。

\textbf{应该想到哪个工具} \(\pi_1(T^2)\cong\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle\)。

\textbf{计算过程} 交换化后，关系 \(aba^{-1}b^{-1}\) 自动变成零关系，因为
\[
a+b-a-b=0.
\]
所以没有额外线性关系，得到
\[
H_1(T^2)\cong \Z a\oplus \Z b.
\]

\textbf{最终答案}
\[
H_1(T^2)\cong\Z^2.
\]

\textbf{套路总结} 面粘贴模型中，二维胞腔边界给出 \(H_1\) 中的线性关系；环面的边界词交换化后为零，所以保留两个生成元。
\end{example}

\subsection{常见误区}

\begin{pitfallbox}{\(H_1\) 不是基本群本身}
例如 \(S^1\vee S^1\) 的基本群是非交换自由群 \(F_2\)，但 \(H_1\cong\Z^2\) 是交换群。用同调时，环路的顺序信息已经丢失。
\end{pitfallbox}

\subsection{自测题}

\begin{exercise}
已知 Klein 瓶基本群表示为
\[
\langle a,b\mid aba^{-1}b\rangle.
\]
求 \(H_1\)。
\end{exercise}

\begin{exercise}
设 \(X\) 是三个圆的楔和，求 \(H_1(X)\)。
\end{exercise}

\section{相对同调与长正合列}

\subsection{本节在整章中的作用}

相对同调用于研究一对空间 \((X,A)\)，其中 \(A\subset X\)。它把 \(A\) 中已经存在的链视为“可忽略”，从而测量 \(X\) 相对于 \(A\) 新增加了什么。长正合列是计算相对同调和绝对同调之间关系的主要工具。

\subsection{核心定义}

\begin{definition}[相对链群]
设 \(A\subset X\)。定义
\[
S_q(X,A)=S_q(X)/S_q(A).
\]
由于 \(\partial S_q(A)\subset S_{q-1}(A)\)，边缘算子诱导
\[
\partial:S_q(X,A)\to S_{q-1}(X,A).
\]
相对同调群定义为
\[
H_q(X,A)=\Ker\partial/\Imop\partial.
\]
\end{definition}

一个相对 \(q\) 闭链可以理解为：链 \(c\in S_q(X)\) 的边界不必为零，但必须落在 \(A\) 中：
\[
\partial c\in S_{q-1}(A).
\]
在相对同调中，\(A\) 里的链被视为零。

\subsection{几何直观}

如果把 \(A\) 压成一个点，则 \((X,A)\) 的相对同调常与商空间 \(X/A\) 的约化同调接近。直观上，相对同调记录 \(X\) 在 \(A\) 之外新增的洞，或记录“以 \(A\) 为边界的链”。

\subsection{长正合列}

\begin{theorem}[同调长正合列]
包含映射 \(i:A\hookrightarrow X\) 与商映射 \(j:X\to(X,A)\) 诱导长正合列
\[
\cdots\to H_q(A)\xrightarrow{i_*}H_q(X)\xrightarrow{j_*}H_q(X,A)
\xrightarrow{\partial}H_{q-1}(A)\xrightarrow{i_*}H_{q-1}(X)\to\cdots.
\]
正合表示每一项处都有
\[
\Imop(\text{前一个映射})=\Ker(\text{后一个映射}).
\]
\end{theorem}

连接同态 \(\partial:H_q(X,A)\to H_{q-1}(A)\) 的含义很直接：若相对类由链 \(c\) 表示，且 \(\partial c\in S_{q-1}(A)\)，则
\[
\partial[c]=[\partial c]\in H_{q-1}(A).
\]

\subsection{证明思路}

短正合列
\[
0\to S_q(A)\to S_q(X)\to S_q(X,A)\to 0
\]
在每个维度成立，并且与边缘算子相容。代数拓扑中的标准结论是：链复形的短正合列诱导同调长正合列。连接同态正是从“相对闭链的边界落在 \(A\)”这件事产生的。

\subsection{计算方法}

\begin{methodbox}{长正合列 diagram chasing 流程}
使用长正合列时，按下面步骤做：
\begin{enumerate}
  \item 写出题目所需维度附近的一段长正合列，不要整条全写。
  \item 代入已知同调群，把零群标出来。
  \item 看到 \(0\to G\xrightarrow{f}H\) 可知 \(f\) 单；看到 \(G\xrightarrow{f}H\to0\) 可知 \(f\) 满。
  \item 若出现 \(0\to A\to B\to C\to0\)，则 \(B\) 是 \(A\) 对 \(C\) 的扩张；若 \(C\) 是自由阿贝尔群，通常分裂，\(B\cong A\oplus C\)。
  \item 连接同态常把相对基本类送到边界的基本类，这是算生成元的关键。
\end{enumerate}
\end{methodbox}

\subsection{例题：\texorpdfstring{\((D^n,S^{n-1})\)}{(Dn,Sn-1)} 的相对同调}

\begin{example}
\textbf{题目} 计算 \(H_q(D^n,S^{n-1})\)。

\textbf{空间的几何图像} \(D^n\) 是一个 \(n\) 维球体，边界是 \(S^{n-1}\)。相对同调把边界 \(S^{n-1}\) 视为零，所以整个 \(D^n\) 成为一个相对 \(n\) 维洞。

\textbf{应该想到哪个工具} 对偶对 \((D^n,S^{n-1})\) 使用长正合列。

\textbf{计算过程} 因为 \(D^n\) 可缩，
\[
H_q(D^n)=0\quad(q>0),\qquad H_0(D^n)\cong\Z.
\]
长正合列中，对 \(q>1\) 有
\[
0\to H_q(D^n,S^{n-1})\xrightarrow{\partial}H_{q-1}(S^{n-1})\to0,
\]
所以
\[
H_q(D^n,S^{n-1})\cong H_{q-1}(S^{n-1}).
\]
由球面同调可得唯一非零的高维相对同调出现在 \(q=n\)。

\textbf{最终答案}
\[
H_q(D^n,S^{n-1})\cong
\begin{cases}
\Z,&q=n,\\
0,&q\ne n.
\end{cases}
\]

\textbf{套路总结} \((D^n,S^{n-1})\) 是相对同调最重要的模型；连接同态把 \(D^n\) 的相对基本类送到 \(S^{n-1}\) 的基本类。
\end{example}

\subsection{例题：点对的相对同调}

\begin{example}
\textbf{题目} 设 \(X\) 道路连通，\(x_0\in X\)。求 \(H_q(X,\{x_0\})\) 与 \(H_q(X)\) 的关系。

\textbf{空间的几何图像} 把基点看成已经忽略的部分。高维洞不受一个点影响，但 \(H_0\) 会被消掉。

\textbf{应该想到哪个工具} 对 \((X,\{x_0\})\) 写长正合列。

\textbf{计算过程} 当 \(q>1\) 时，
\[
H_q(\{x_0\})=H_{q-1}(\{x_0\})=0,
\]
所以
\[
H_q(X)\cong H_q(X,\{x_0\}).
\]
在低维处有
\[
0\to H_1(X)\to H_1(X,\{x_0\})\to H_0(\{x_0\})\to H_0(X)\to H_0(X,\{x_0\})\to0.
\]
因为 \(X\) 道路连通，\(H_0(\{x_0\})\to H_0(X)\) 是同构，故
\[
H_1(X)\cong H_1(X,\{x_0\}),\qquad H_0(X,\{x_0\})=0.
\]

\textbf{最终答案}
\[
H_q(X,\{x_0\})\cong
\begin{cases}
H_q(X),&q>0,\\
0,&q=0.
\end{cases}
\]

\textbf{套路总结} 相对一个基点的同调就是约化同调。
\end{example}

\subsection{常见误区}

\begin{pitfallbox}{相对闭链不等于绝对闭链}
在 \(H_q(X,A)\) 中，代表元 \(c\) 只需满足 \(\partial c\in S_{q-1}(A)\)，不必满足 \(\partial c=0\)。这是很多相对同调计算出错的源头。
\end{pitfallbox}

\subsection{自测题}

\begin{exercise}
计算 \(H_q(I,\partial I)\)，其中 \(I=[0,1]\)、\(\partial I=\{0,1\}\)。
\end{exercise}

\begin{exercise}
用长正合列计算 \(H_q(S^n,\{x_0\})\)。
\end{exercise}

\begin{exercise}
解释为什么 \(H_2(D^2,S^1)\cong\Z\)，并指出连接同态把生成元送到哪里。
\end{exercise}

\section{切除定理}

\subsection{本节在整章中的作用}

切除定理说明：在相对同调 \(H_q(X,A)\) 中，如果 \(U\subset A\) 位于 \(A\) 的内部，那么从 \(X\) 和 \(A\) 中同时删掉 \(U\)，相对同调不变。它的作用是把相对同调局部化，常用于把复杂空间的局部部分替换成标准模型。

\subsection{核心定理}

\begin{theorem}[切除定理]
设 \(U\subset A\subset X\)，并且 \(\overline U\subset \operatorname{int}A\)。则包含映射诱导同构
\[
H_q(X-U,A-U)\cong H_q(X,A)
\]
对所有 \(q\ge 0\) 成立。
\end{theorem}

\subsection{几何直观}

相对同调把 \(A\) 中的链视为零。若 \(U\) 完全藏在 \(A\) 的内部，那么 \(U\) 对 \(X\) 相对于 \(A\) 的新增同调没有贡献，删掉它不会改变相对同调。

\subsection{证明思路}

证明的核心是重心重分。给定一条奇异链，可以把它足够细分，使每个小单形都落在 \(A\) 内或 \(X-U\) 内。落在 \(A\) 内的部分在相对链群中为零，剩下的部分可看作来自 \((X-U,A-U)\)。这就是 Hatcher 讲切除时强调的“把单形切小”的几何图像。

\subsection{计算方法}

\begin{methodbox}{何时考虑切除}
切除很少单独作为第一步，常与长正合列配合使用：
\begin{enumerate}
  \item 题目有局部去掉一块、粘上一块、商掉一块时，考虑切除。
  \item 要计算 \((X,A)\) 的相对同调，若 \(X-A\) 附近看起来像 \((D^n,S^{n-1})\)，可切除多余部分。
  \item 计算球面同调、悬挂同调、局部同调时，切除能把空间化到标准球对。
\end{enumerate}
\end{methodbox}

\subsection{例题：球面对球面的归纳}

\begin{example}
\textbf{题目} 说明如何用切除和长正合列得到
\[
\widetildeH_q(S^n)\cong \widetildeH_{q-1}(S^{n-1}).
\]

\textbf{空间的几何图像} 把 \(S^n\) 分成上下两个闭半球，它们的交是赤道 \(S^{n-1}\)。

\textbf{应该想到哪个工具} 半球可缩，交集是 \(S^{n-1}\)。可用 Mayer--Vietoris，也可用相对同调与切除。

\textbf{计算过程} 取上半球 \(D^n_+\subset S^n\)。相对长正合列中，因 \(D^n_+\) 可缩，可把相对群 \(H_q(S^n,D^n_+)\) 与约化同调联系起来。再通过切除，把 \((S^n,D^n_+)\) 化为类似 \((D^n,D^n-\text{内点})\) 的局部模型，最终得到降维关系
\[
\widetildeH_q(S^n)\cong \widetildeH_{q-1}(S^{n-1}).
\]
从 \(S^0\) 开始归纳，得到球面同调。

\textbf{最终答案}
\[
H_q(S^n)\cong
\begin{cases}
\Z,&q=0,\\
\Z,&q=n,\\
0,&\text{其他 }q.
\end{cases}
\]

\textbf{套路总结} 球面计算的核心是“切成两个半球，交集低一维”。
\end{example}

\subsection{常见误区}

\begin{pitfallbox}{切除条件不能省略}
不能随便删 \(A\) 的任意子集。必须要求被切除部分 \(U\) 的闭包包含在 \(A\) 的内部。若删掉的部分碰到相对边界，可能改变相对同调。
\end{pitfallbox}

\subsection{自测题}

\begin{exercise}
用切除思想解释为什么小邻域内的局部同调可以化为球对 \((D^n,S^{n-1})\)。
\end{exercise}

\begin{exercise}
设 \(X\) 是流形，\(p\in X\)。直观说明 \(H_q(X,X-\{p\})\) 与 \((D^n,D^n-\{0\})\) 的关系。
\end{exercise}

\section{Mayer--Vietoris 序列}

\subsection{本节在整章中的作用}

Mayer--Vietoris 序列用于计算由两块拼成的空间。它是同调论中最实用的计算工具之一，特别适合球面、楔和、环面、去点空间和曲面。

\subsection{核心定理}

\begin{theorem}[Mayer--Vietoris 序列]
设 \(X=X_1\cup X_2\)，且 \(X_1,X_2\) 及 \(A=X_1\cap X_2\) 构成适合使用同调的覆盖，例如开覆盖或可用切除替代的好覆盖。则有长正合列
\[
\cdots\to H_q(A)\xrightarrow{(i_{1*},i_{2*})}
H_q(X_1)\oplus H_q(X_2)
\xrightarrow{j_{1*}-j_{2*}}H_q(X)
\xrightarrow{\partial}H_{q-1}(A)\to\cdots.
\]
\end{theorem}

符号 \(j_{1*}-j_{2*}\) 中的减号来自方向约定；做群同构计算时，关键是知道它的核与像。

\subsection{几何直观}

一个 \(X\) 中的闭链可以切成 \(X_1\) 中一部分和 \(X_2\) 中一部分。它们在交集 \(A\) 上必须匹配。Mayer--Vietoris 序列正是把“交集中的匹配条件”翻译为代数正合列。

\subsection{计算方法}

\begin{methodbox}{Mayer--Vietoris 做题流程}
\begin{enumerate}
  \item 选覆盖 \(X=X_1\cup X_2\)，使 \(X_1,X_2,A=X_1\cap X_2\) 的同调都已知或容易算。
  \item 写出目标维度附近的一段正合列。
  \item 先处理高维零群，得到某些映射是同构、单射或满射。
  \item 在低维处注意 \(H_0(A)\to H_0(X_1)\oplus H_0(X_2)\) 的映射，它反映交集如何连接两块。
  \item 如果出现短正合列 \(0\to\Z^a\to H_q(X)\to\Z^b\to0\)，通常得到 \(H_q(X)\cong\Z^{a+b}\)。
\end{enumerate}
\end{methodbox}

\subsection{例题：球面同调}

\begin{example}
\textbf{题目} 用 Mayer--Vietoris 计算 \(S^n\) 的同调。

\textbf{空间的几何图像} \(S^n\) 是两个可缩半球粘在赤道 \(S^{n-1}\) 上。

\textbf{应该想到哪个工具} 令 \(X_1,X_2\) 为稍微加厚的上下半球，则 \(X_1\simeq\pt\)、\(X_2\simeq\pt\)、\(X_1\cap X_2\simeq S^{n-1}\)。

\textbf{计算过程} 对 \(q>1\)，正合列给出
\[
0\to H_q(S^n)\to H_{q-1}(S^{n-1})\to0,
\]
因此
\[
H_q(S^n)\cong H_{q-1}(S^{n-1})\qquad(q>1).
\]
由 \(S^0\) 的同调开始归纳，即得球面同调。

\textbf{最终答案}
\[
H_q(S^n)\cong
\begin{cases}
\Z,&q=0,\\
\Z,&q=n,\\
0,&\text{其他 }q.
\end{cases}
\]

\textbf{套路总结} 球面题的标准分解是“两个半球加赤道”，产生降维同构。
\end{example}

\subsection{例题：楔和空间}

\begin{example}
\textbf{题目} 设 \(X,Y\) 道路连通，且基点邻域足够好。计算 \(X\vee Y\) 的同调。

\textbf{空间的几何图像} 楔和是把 \(X\) 与 \(Y\) 各取一个点粘起来。高维洞不会互相混合，只是并列放在一起。

\textbf{应该想到哪个工具} 用约化同调或 Mayer--Vietoris。

\textbf{计算过程} 取覆盖，使一块形变收缩到 \(X\)，另一块形变收缩到 \(Y\)，交集可缩。Mayer--Vietoris 在 \(q>0\) 给出
\[
H_q(X\vee Y)\cong H_q(X)\oplus H_q(Y).
\]
若 \(X,Y\) 道路连通，则 \(X\vee Y\) 道路连通，故
\[
H_0(X\vee Y)\cong\Z.
\]

\textbf{最终答案}
\[
H_q(X\vee Y)\cong
\begin{cases}
\Z,&q=0,\\
H_q(X)\oplus H_q(Y),&q>0.
\end{cases}
\]

\textbf{套路总结} 对连通楔和，高维同调直接相加；\(H_0\) 仍是一个 \(\Z\)，不是两个 \(\Z\)。
\end{example}

\subsection{例题：环面去掉一个点}

\begin{example}
\textbf{题目} 计算 \(T^2-\{p\}\) 的同调群。

\textbf{空间的几何图像} 把环面看成正方形对边粘合。去掉一个点后，二维面可以收缩到一维骨架，即两个圆的楔和。

\textbf{应该想到哪个工具} 形变收缩到 \(S^1\vee S^1\)。

\textbf{计算过程} 去掉一个点的环面是带一个穿孔的环面，它形变收缩到一维骨架
\[
S^1\vee S^1.
\]
因此
\[
H_q(T^2-\{p\})\cong H_q(S^1\vee S^1).
\]
由楔和公式，
\[
H_0\cong\Z,\qquad H_1\cong\Z^2,\qquad H_q=0\ (q\ge2).
\]

\textbf{最终答案}
\[
H_q(T^2-\{p\})\cong
\begin{cases}
\Z,&q=0,\\
\Z^2,&q=1,\\
0,&q\ge2.
\end{cases}
\]

\textbf{套路总结} 闭曲面去掉点后通常变成有边界或穿孔的曲面，可收缩到图；图只有 \(H_0\) 和 \(H_1\)。
\end{example}

\subsection{例题：环面去掉两个点}

\begin{example}
\textbf{题目} 计算 \(T^2-\{p,q\}\) 的同调群，其中 \(p\ne q\)。

\textbf{空间的几何图像} 这是一个亏格 \(1\)、有两个穿孔的曲面。它形变收缩到三个圆的楔和。

\textbf{应该想到哪个工具} 曲面去点后的图模型；或用 Euler 特征数判断一维骨架的圈数。

\textbf{计算过程} 一个亏格为 \(g\)、去掉 \(k\) 个点的连通可定向曲面，当 \(k>0\) 时形变收缩到
\[
\bigvee^{2g+k-1}S^1.
\]
这里 \(g=1,k=2\)，所以收缩到
\[
S^1\vee S^1\vee S^1.
\]
于是
\[
H_0\cong\Z,\qquad H_1\cong\Z^3,\qquad H_q=0\quad(q\ge2).
\]

\textbf{最终答案}
\[
H_q(T^2-\{p,q\})\cong
\begin{cases}
\Z,&q=0,\\
\Z^3,&q=1,\\
0,&q\ge2.
\end{cases}
\]

\textbf{套路总结} 环面去一个点给两个生成元；再多去一个点，多出一个绕新穿孔的生成元。
\end{example}

\subsection{常见误区}

\begin{pitfallbox}{楔和的 \(H_0\) 不相加}
若 \(X,Y\) 都道路连通，则 \(X\vee Y\) 仍道路连通，所以 \(H_0(X\vee Y)\cong\Z\)，不是 \(\Z\oplus\Z\)。约化同调才满足楔和直接和公式。
\end{pitfallbox}

\begin{pitfallbox}{去点不一定只影响高维}
从 \(T^2\) 去掉一个点后，\(H_2\) 从 \(\Z\) 变成 \(0\)，但 \(H_1\) 仍是 \(\Z^2\)。去掉两个点后，\(H_1\) 变成 \(\Z^3\)。去点会改变一维洞的数量。
\end{pitfallbox}

\subsection{自测题}

\begin{exercise}
计算 \(S^1\vee S^2\) 的所有同调群。
\end{exercise}

\begin{exercise}
计算 \(S^2-\{p,q\}\) 的同调群。
\end{exercise}

\begin{exercise}
计算 \(T^2-\{p_1,p_2,p_3\}\) 的同调群。
\end{exercise}

\section{同调群的应用与常见模型汇总}

\subsection{本节在整章中的作用}

王讲义最后用同调群区分空间、判断映射性质、计算常见例子。同调的威力在于：几何问题可以转化为阿贝尔群问题。若两个空间同伦等价，它们同调相同；若同调不同，则一定不同伦等价，也不同胚。

\subsection{常见空间同调表}

\[
\begin{array}{c|c}
\text{空间} & \text{同调群}\\ \hline
\pt\text{ 或非空可缩空间} & H_0=\Z,\ H_q=0\ (q>0)\\
\text{\(r\) 个道路连通分支} & H_0=\Z^r\\
S^n\ (n\ge1) & H_0=\Z,\ H_n=\Z,\ \text{其余为 }0\\
S^1\vee\cdots\vee S^1\ (m\text{ 个}) & H_0=\Z,\ H_1=\Z^m,\ \text{其余为 }0\\
T^2 & H_0=\Z,\ H_1=\Z^2,\ H_2=\Z\\
T^2-\{p\} & H_0=\Z,\ H_1=\Z^2,\ H_q=0\ (q\ge2)\\
T^2-\{p,q\} & H_0=\Z,\ H_1=\Z^3,\ H_q=0\ (q\ge2)
\end{array}
\]

\subsection{判断空间能否变形成简单空间}

\begin{methodbox}{形变收缩判断清单}
\begin{enumerate}
  \item 是否有明显的径向方向？例如 \(\R^n-\{0\}\to S^{n-1}\)。
  \item 是否是一个有厚度的空间？例如圆环、圆柱、莫比乌斯带常收缩到中线。
  \item 是否是去点曲面？尝试剪开成多边形，再收缩到一维边界骨架。
  \item 是否有一个子空间 \(A\) 可作为骨架，并且每个点能沿唯一或连续选择的路径流向 \(A\)？
  \item 若只能凭直觉画图，仍需说明连续变形过程，至少给出清晰的几何构造。
\end{enumerate}
\end{methodbox}

\subsection{判断诱导同态}

\begin{methodbox}{计算 \(f_*:H_q(X)\to H_q(Y)\)}
\begin{enumerate}
  \item 先写出 \(H_q(X)\) 和 \(H_q(Y)\) 的生成元。
  \item 看 \(f\) 把 \(X\) 的生成元送到 \(Y\) 中哪个循环。
  \item 如果 \(H_q(Y)\cong\Z\)，通常只需判断送到几倍生成元。
  \item 常值映射在 \(q>0\) 的同调上诱导零映射。
  \item 自映射 \(S^n\to S^n\) 在 \(H_n\) 上是乘以映射次数。
\end{enumerate}
\end{methodbox}

\begin{example}
\textbf{题目} 设 \(f:S^n\to S^n\) 的次数为 \(d\)。求 \(f_*:H_q(S^n)\to H_q(S^n)\)。

\textbf{空间的几何图像} 次数 \(d\) 表示 \(f\) 把顶维基本类覆盖目标球面 \(d\) 次，方向反转计负号。

\textbf{应该想到哪个工具} 球面同调与映射次数。

\textbf{计算过程} \(H_n(S^n)\cong\Z\)，取基本类 \([S^n]\) 为生成元，则
\[
f_*[S^n]=d[S^n].
\]
在 \(H_0\) 上，如果 \(S^n\) 连通，任意连续自映射都诱导恒等 \(\Z\to\Z\)。其他维度同调为零。

\textbf{最终答案}
\[
f_*=
\begin{cases}
\Id_{\Z},&q=0,\\
\times d,&q=n,\\
0\to0,&\text{其他 }q.
\end{cases}
\]

\textbf{套路总结} 顶维同调看次数，零维同调看连通分支。
\end{example}

\subsection{长正合列的典型追图}

\begin{example}
\textbf{题目} 已知 \(A\subset X\)，且某段长正合列化为
\[
0\to H_2(X,A)\xrightarrow{\partial}\Z\xrightarrow{\times m}\Z
\to H_1(X,A)\to0.
\]
求 \(H_2(X,A)\) 与 \(H_1(X,A)\)。

\textbf{空间的几何图像} 中间映射是乘以 \(m\)，它的核和余核控制两侧相对同调。

\textbf{应该想到哪个工具} 正合性：前一个像等于后一个核。

\textbf{计算过程} 由正合性，
\[
\Imop\partial=\Ker(\times m).
\]
若 \(m\ne0\)，乘以 \(m\) 在 \(\Z\) 上单射，所以 \(\Ker(\times m)=0\)，故 \(H_2(X,A)=0\)。又
\[
H_1(X,A)\cong \coker(\times m)\cong \Z/m\Z.
\]
若 \(m=0\)，则 \(\Ker(\times0)=\Z\)，并且 \(\coker(\times0)=\Z\)。

\textbf{最终答案} 若 \(m\ne0\)，
\[
H_2(X,A)=0,\qquad H_1(X,A)\cong\Z/m\Z.
\]

\textbf{套路总结} 长正合列中出现 \(\Z\xrightarrow{\times m}\Z\)，结果通常就是核 \(0\) 和余核 \(\Z/m\Z\)。
\end{example}

\subsection{常见错误计算的反例}

\begin{pitfallbox}{错误 1：认为可缩空间的所有同调都为零}
非空可缩空间仍有 \(H_0\cong\Z\)。高维同调为零，不包括 \(H_0\)。
\end{pitfallbox}

\begin{pitfallbox}{错误 2：认为 \(S^n\) 只有 \(H_0\)}
球面 \(S^n\) 的顶维同调 \(H_n(S^n)\cong\Z\)。这个 \(\Z\) 记录整个球面的基本类。
\end{pitfallbox}

\begin{pitfallbox}{错误 3：认为 \(T^2-\{p\}\) 与 \(T^2\) 同调相同}
去掉一点破坏了闭曲面的二维基本类，因此 \(H_2(T^2-\{p\})=0\)，而 \(H_2(T^2)=\Z\)。
\end{pitfallbox}

\begin{pitfallbox}{错误 4：认为同伦等价必须同胚}
同伦等价比同胚弱得多。闭圆盘 \(D^2\) 与点同伦等价，但显然不同胚。同调只是不变量，不能恢复全部拓扑结构。
\end{pitfallbox}

\subsection{总复习题}

\begin{exercise}
计算 \(\R^3-\{0\}\)、\(\R^2-\{0\}\)、\(\R-\{0\}\) 的同调群，并比较差异。
\end{exercise}

\begin{exercise}
计算 \(S^1\vee S^1\vee S^2\) 的所有同调群。
\end{exercise}

\begin{exercise}
设 \(X\) 是道路连通空间，且 \(H_1(X)\cong\Z^2\)。能否推出 \(X\simeq T^2\)？说明理由。
\end{exercise}

\begin{exercise}
设 \(f:S^1\to S^1\) 为复共轭映射 \(f(z)=\overline z\)。求 \(f_*:H_1(S^1)\to H_1(S^1)\)。
\end{exercise}

\begin{exercise}
用 Mayer--Vietoris 计算 \(S^2\) 的同调群，明确写出覆盖、交集和相关正合列片段。
\end{exercise}

\section{逐节讲解加强与计算专题}

前面各节给出了定义、定理和典型例题。为了避免材料只是“能查答案”，这一节按学习顺序再讲一遍：每个工具为什么出现、题目中如何识别它、计算时从哪里下手。复习时可以先读本节，再回到前面查精确表述。

\subsection{专题一：为什么奇异同调的定义这么绕}

第一次学同调时，最难受的地方通常不是计算，而是定义太不自然：为什么要用所有连续映射 \(\Delta^q\to X\)？为什么要生成自由阿贝尔群？为什么最后还要取商？

可以把这三件事分别理解。

首先，\(\sigma:\Delta^q\to X\) 是一种“带参数的 \(q\) 维小片”。当 \(q=0\) 时，\(\Delta^0\) 是一点，所以奇异 \(0\) 单形就是 \(X\) 中的点。当 \(q=1\) 时，\(\Delta^1\) 是区间，所以奇异 \(1\) 单形就是路径。当 \(q=2\) 时，\(\Delta^2\) 是三角形，所以奇异 \(2\) 单形就是一张可能弯曲、可能折叠的三角形面片。

其次，为什么要允许整数线性组合？因为我们希望能谈“这条边加那条边”“两条边抵消”“反方向取负号”。没有加减法，就没法把几何拼接变成代数计算。自由阿贝尔群的意思就是：先不强加任何关系，只记录形式和；真正的关系由边缘算子和同调商群来决定。

最后，为什么 \(H_q=Z_q/B_q\)？闭链 \(Z_q\) 是“没有边界”的东西，它看起来像洞的轮廓；边缘链 \(B_q\) 是“确实围住了更高维东西”的轮廓，它不应该算成真正的洞。商群就是把这些“能填起来的轮廓”当作零。

\begin{methodbox}{定义背后的做题翻译}
\begin{itemize}
  \item “闭链”翻译成：边界抵消了，可能代表一个洞。
  \item “边缘链”翻译成：它其实是某块更高维区域的边界，不是真洞。
  \item “同调类相等”翻译成：两个闭链相差一个边缘，所以围出的洞一样。
  \item “同调类为零”翻译成：这个闭链能被填起来。
\end{itemize}
\end{methodbox}

\subsection{专题二：\(H_0\) 为什么只数道路连通分支}

\(H_0\) 是最容易被低估的一项。它不是“低维所以不重要”，而是告诉我们同调怎样把拓扑连通性变成代数。

一个 \(0\) 链就是有限个点的整数线性组合：
\[
c=n_1x_1+\cdots+n_kx_k.
\]
由于 \(\partial_0=0\)，所有 \(0\) 链都是闭链。真正发生识别的是边缘链。若 \(a,b\in X\) 能由路径 \(\gamma\) 连接，且 \(\gamma(e_0)=a,\gamma(e_1)=b\)，那么
\[
\partial\gamma=b-a.
\]
在同调群里边缘等于零，所以
\[
[b]-[a]=0,\qquad [a]=[b].
\]
这句话非常关键：路径把两个点在 \(H_0\) 里识别起来。于是同一个道路连通分支里的所有点只贡献一个 \(\Z\)。不同道路连通分支之间没有路径，不能被边缘识别，于是各自贡献一个 \(\Z\)。

所以如果 \(X\) 有 \(r\) 个道路连通分支，
\[
H_0(X)\cong \Z^r.
\]
这不是一个需要长计算的定理，而是路径边缘公式的直接后果。

\subsection{专题三：怎样真正算 \(S^1\) 的同调}

圆周 \(S^1\) 是所有一维同调计算的原型。结论是
\[
H_q(S^1)\cong
\begin{cases}
\Z,&q=0,\\
\Z,&q=1,\\
0,&q\ge2.
\end{cases}
\]
关键不是背结论，而是理解 \(H_1(S^1)\) 中那个 \(\Z\) 从哪里来。

把
\[
\alpha:I\to S^1,\qquad \alpha(t)=e^{2\pi it}
\]
看成绕圆一圈的奇异 \(1\) 链。它的起点和终点相同，所以
\[
\partial\alpha=\alpha(1)-\alpha(0)=0.
\]
因此 \(\alpha\) 是闭链。它为什么不是边缘？直观上，如果它是某个 \(2\) 链的边界，就表示圆周这一圈可以在 \(S^1\) 内部被一张二维面填起来。但 \(S^1\) 本身没有二维区域可填；这就是一维洞。

严格计算通常不直接在奇异链群中证明，而是使用后面的工具。例如把 \(S^1\) 看成两个弧 \(U,V\) 的并，二者都可缩，交集有两个连通分支。Mayer--Vietoris 的低维部分给出
\[
0\to H_1(S^1)\to H_0(U\cap V)\to H_0(U)\oplus H_0(V)\to H_0(S^1)\to0.
\]
代入
\[
H_0(U\cap V)\cong\Z^2,\qquad H_0(U)\oplus H_0(V)\cong\Z^2,\qquad H_0(S^1)\cong\Z.
\]
中间映射把交集的两个端点分别送入两条弧中。它的核是一个 \(\Z\)，对应“两个端点之差”。于是
\[
H_1(S^1)\cong\Z.
\]

\begin{summarybox}{以后遇到 \(S^1\) 要立刻想到}
\begin{itemize}
  \item \(H_1(S^1)\cong\Z\)，生成元是“绕一圈”。
  \item 映射 \(z\mapsto z^m\) 在 \(H_1\) 上是乘以 \(m\)。
  \item 一个空间若形变收缩到 \(S^1\)，它的一维同调就是 \(\Z\)。
\end{itemize}
\end{summarybox}

\subsection{专题四：可缩、同伦等价、形变收缩到底怎么用}

可缩空间的同调最简单：
\[
H_0(X)\cong\Z,\qquad H_q(X)=0\quad(q>0).
\]
但做题时真正要判断的是：空间是否可缩，或者是否能形变收缩到另一个空间。

同伦等价只要求存在 \(f:X\to Y\)、\(g:Y\to X\)，使 \(gf\simeq\Id_X\)、\(fg\simeq\Id_Y\)。形变收缩更具体：\(A\subset X\)，并且 \(X\) 能在自身内部连续压到 \(A\)，同时 \(A\) 上的点保持不动。形变收缩一定给出同伦等价。

做题时最常见的不是抽象构造同伦等价，而是画出形变收缩：
\[
\R^n-\{0\}\longrightarrow S^{n-1},\qquad x\mapsto \frac{x}{\|x\|}.
\]
这说明 \(\R^n-\{0\}\) 的同调就是 \(S^{n-1}\) 的同调。注意这个变形不能经过原点；如果变形过程中穿过被删掉的点，就不是空间内部的同伦。

\begin{methodbox}{形变收缩的标准写法}
若要在作业中证明 \(X\) 形变收缩到 \(A\)，写出一个连续映射
\[
H:X\times I\to X
\]
并检查三件事：
\[
H(x,0)=x,\qquad H(x,1)\in A,\qquad H(a,t)=a\quad(a\in A).
\]
很多题不需要公式非常复杂，但必须说明变形始终留在 \(X\) 内部。
\end{methodbox}

\subsection{专题五：球面同调的计算逻辑}

球面同调的结果是
\[
H_q(S^n)\cong
\begin{cases}
\Z,&q=0,\\
\Z,&q=n,\\
0,&\text{其他 }q.
\end{cases}
\]
这个结论的意思是：连通性贡献 \(H_0=\Z\)，整个 \(n\) 维球面本身贡献顶维基本类 \(H_n=\Z\)，中间维度没有洞。

为什么可以这么算？最自然的思路是把 \(S^n\) 分成上下两个半球。取稍微加厚的开半球 \(U,V\)，则
\[
U\simeq\pt,\qquad V\simeq\pt,\qquad U\cap V\simeq S^{n-1}.
\]
Mayer--Vietoris 序列在 \(q>1\) 时变成
\[
0\to H_q(S^n)\to H_{q-1}(S^{n-1})\to0,
\]
所以
\[
H_q(S^n)\cong H_{q-1}(S^{n-1})\qquad(q>1).
\]
这就是降维。反复降维，最后把 \(H_n(S^n)\) 降到 \(H_1(S^1)\cong\Z\)。

低维处要小心 \(H_0\)。\(S^n\) 对 \(n\ge1\) 连通，所以 \(H_0(S^n)=\Z\)。而顶维的 \(\Z\) 不来自连通性，而来自整个球面作为一个不能在自身内部填掉的闭 \(n\) 维对象。

\subsection{专题六：楔和与图的同调怎么一眼看出来}

很多复杂空间最后都会形变收缩到图。图是一维 CW 复形，所以
\[
H_q(\Gamma)=0\quad(q\ge2).
\]
如果图 \(\Gamma\) 连通，且有 \(V\) 个顶点、\(E\) 条边，那么
\[
H_1(\Gamma)\cong \Z^{E-V+1}.
\]
这个数 \(E-V+1\) 就是独立回路数。

特别地，
\[
\bigvee^m S^1
\]
是 \(m\) 个圆在一点相交的图，有 \(m\) 个独立回路，所以
\[
H_0\cong\Z,\qquad H_1\cong\Z^m,\qquad H_q=0\quad(q\ge2).
\]

注意 \(H_0\) 不随圆的个数变成 \(\Z^m\)，因为整个楔和仍然连通。真正相加的是约化同调，或普通同调的正维部分。

\subsection{专题七：环面去点为什么会变成楔和}

环面 \(T^2\) 的标准模型是正方形对边粘合。正方形内部的一个点去掉后，剩下的空间可以向正方形的边界骨架收缩；对边粘合后，这个骨架正是两个圆的楔和：
\[
T^2-\{p\}\simeq S^1\vee S^1.
\]
所以
\[
H_0(T^2-\{p\})\cong\Z,\qquad
H_1(T^2-\{p\})\cong\Z^2,\qquad
H_q(T^2-\{p\})=0\ (q\ge2).
\]

去两个点时，可以把第二个缺口看成多出来的一条独立绕洞回路。更一般地，亏格 \(g\) 的连通可定向闭曲面去掉 \(k>0\) 个点后，会形变收缩到
\[
\bigvee^{2g+k-1}S^1.
\]
对环面 \(g=1\)，去 \(k\) 个点得到
\[
H_1\cong\Z^{k+1}.
\]
因此去一个点是 \(\Z^2\)，去两个点是 \(\Z^3\)。

\begin{pitfallbox}{为什么 \(T^2-\{p\}\) 的 \(H_2\) 消失}
闭环面有一个二维基本类，因为整个曲面没有边界。去掉一点后，曲面不再闭合，二维基本类被破坏；它可以收缩到一维图，所以所有 \(q\ge2\) 的同调都为零。
\end{pitfallbox}

\subsection{专题八：相对同调不要怕，先看一句话}

相对同调 \(H_q(X,A)\) 的一句话解释是：
\[
\text{把 }A\text{ 里的东西当作已经为零，只看 }X\text{ 相对于 }A\text{ 多出来什么。}
\]
所以相对链群是
\[
S_q(X,A)=S_q(X)/S_q(A).
\]
这表示 \(A\) 里的 \(q\) 链在相对链群中被视为零。

相对闭链的条件也要这样理解。若 \(c\in S_q(X)\) 代表一个相对链，则它在相对意义下闭合，意思是
\[
\partial c\in S_{q-1}(A).
\]
也就是说，它的边界允许落在 \(A\) 里，因为 \(A\) 里的东西已经被忽略。

最典型的例子是 \((D^n,S^{n-1})\)。整个 \(D^n\) 的边界是 \(S^{n-1}\)，在普通同调中它不是闭的；但在相对同调中，边界落在 \(S^{n-1}\) 里，被视为零，所以 \(D^n\) 给出一个相对 \(n\) 维闭链。这就是
\[
H_n(D^n,S^{n-1})\cong\Z
\]
的来源。

\subsection{专题九：长正合列追图到底在追什么}

长正合列看起来吓人，其实每次只用一小段。核心规则永远是
\[
\Imop(\text{前一个映射})=\Ker(\text{后一个映射}).
\]

例如看到
\[
0\to A\xrightarrow{f}B
\]
就知道 \(f\) 单射，因为 \(\Ker f=\Imop(0)=0\)。看到
\[
A\xrightarrow{f}B\to0
\]
就知道 \(f\) 满射，因为 \(\Imop f=\Ker(0)=B\)。

再看一段最常见的计算：
\[
0\to G\to \Z\xrightarrow{\times m}\Z\to K\to0.
\]
正合性告诉我们
\[
G\cong\Ker(\times m),\qquad K\cong\coker(\times m).
\]
若 \(m\ne0\)，则 \(\Ker(\times m)=0\)，而
\[
\coker(\times m)=\Z/m\Z.
\]
所以
\[
G=0,\qquad K\cong\Z/m\Z.
\]
这类计算在射影平面、透镜空间、胞腔同调中都会反复出现。

\begin{methodbox}{追图时的书写顺序}
\begin{enumerate}
  \item 只写目标维度附近五到七项。
  \item 把已知为零的群替换成 \(0\)。
  \item 先判断单射、满射、同构。
  \item 若出现乘法映射 \(\Z\xrightarrow{\times m}\Z\)，立刻算核和余核。
  \item 最后再解释生成元对应的几何对象。
\end{enumerate}
\end{methodbox}

\subsection{专题十：Mayer--Vietoris 如何选覆盖}

Mayer--Vietoris 的难点不是写序列，而是选 \(X=U\cup V\)。好的覆盖要满足：\(U\)、\(V\)、\(U\cap V\) 都比 \(X\) 容易算。

常见选择如下。

\begin{itemize}
  \item 算 \(S^n\)：取上下两个半球的加厚开集，交集像 \(S^{n-1}\)。
  \item 算楔和：取包含两边主体的邻域，交集可缩。
  \item 算环面：可取两个圆柱状区域，交集是两个圆柱或两个圆的并。
  \item 算去点空间：常先找形变收缩到图；若图不明显，再用覆盖。
\end{itemize}

用 Mayer--Vietoris 时，\(H_0(U\cap V)\) 很重要。交集有几个连通分支，往往决定是否产生新的 \(H_1\)。圆周 \(S^1\) 就是最好的例子：两个弧本身都可缩，但交集有两个分支，于是产生一个一维洞。

\subsection{专题十一：映射诱导同态的题怎么做}

这类题不要从链映射定义硬推。标准做法是先找生成元。

例如 \(H_1(S^1)\cong\Z\)，生成元是绕圆一圈的类 \([\alpha]\)。若 \(f(z)=z^m\)，则 \(f\circ\alpha\) 绕圆 \(m\) 圈，所以
\[
f_*[\alpha]=m[\alpha].
\]
这就确定了整个同态。

对 \(S^n\) 也类似。因为
\[
H_n(S^n)\cong\Z,
\]
自映射 \(f:S^n\to S^n\) 在顶维同调上一定是乘以某个整数，这个整数就是映射次数：
\[
f_*:H_n(S^n)\to H_n(S^n),\qquad f_*(u)=\deg(f)u.
\]
常值映射在正维同调上诱导零映射，因为正维洞被压成一点后消失；但在 \(H_0\) 上，只要空间连通，诱导映射仍是 \(\Z\to\Z\) 的恒等。

\subsection{专题十二：一张做题决策表}

\[
\begin{array}{c|c}
\text{题目特征} & \text{优先工具}\\ \hline
\text{问 }H_0 & \text{数道路连通分支}\\
\text{凸集、球、星形区域} & \text{可缩空间同调}\\
\R^n-\{0\} & \text{形变收缩到 }S^{n-1}\\
\text{圆环、圆柱、莫比乌斯带} & \text{形变收缩到 }S^1\\
\text{楔和、图、去点曲面} & \text{图模型或楔和公式}\\
A\subset X\text{ 明显出现} & \text{相对同调长正合列}\\
\text{空间由两块拼成} & \text{Mayer--Vietoris}\\
\text{删去 }A\text{ 内部一块} & \text{切除定理}\\
\text{问 }f_* & \text{看生成元被送到几倍生成元}
\end{array}
\]

\subsection{专题十三：几个必须会的快速计算}

\begin{example}
\textbf{计算 \(S^2-\{p,q\}\)。}

去掉两个点的球面同胚于圆柱 \(S^1\times\R\)，形变收缩到 \(S^1\)。所以
\[
H_0\cong\Z,\qquad H_1\cong\Z,\qquad H_q=0\quad(q\ge2).
\]
\end{example}

\begin{example}
\textbf{计算 \(S^1\vee S^2\)。}

楔和正维同调相加，且空间连通。因此
\[
H_0\cong\Z,\qquad H_1\cong\Z,\qquad H_2\cong\Z,\qquad H_q=0\quad(q\ge3).
\]
\end{example}

\begin{example}
\textbf{计算 \(\R^3-\{0\}\)。}

径向形变收缩到 \(S^2\)，所以
\[
H_0\cong\Z,\qquad H_2\cong\Z,\qquad H_q=0\quad(q\ne0,2).
\]
特别注意它的 \(H_1=0\)，因为 \(\R^3\) 中绕点的一维圈可以滑开，真正留下的是二维球面洞。
\end{example}

\begin{example}
\textbf{计算 \(\R^2-\{0\}\)。}

径向形变收缩到 \(S^1\)，所以
\[
H_0\cong\Z,\qquad H_1\cong\Z,\qquad H_q=0\quad(q\ge2).
\]
\end{example}

\begin{example}
\textbf{计算 \(\R-\{0\}\)。}

它有两个道路连通分支，每个分支可缩，所以
\[
H_0\cong\Z^2,\qquad H_q=0\quad(q>0).
\]
不要套用 \(S^{n-1}\) 的连通球面公式，因为 \(S^0\) 本身有两个点。
\end{example}

\subsection{专题十四：最后再说一遍本章逻辑}

奇异同调的定义负责严谨性，计算工具负责可操作性。学习时最重要的是把二者接起来：

\[
\text{几何空间}
\longrightarrow
\text{变形或分解}
\longrightarrow
\text{已知模型或正合列}
\longrightarrow
\text{阿贝尔群计算}.
\]

如果一道题卡住，不要先怀疑自己不会展开奇异链。先问四个问题：它连通吗？它能收缩到什么？它能拆成哪两块？有没有自然的子空间 \(A\subset X\)？这四个问题通常就能决定该用哪一个定理。

\end{document}
