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% 定理环境设置
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\begin{document}
\title{拓扑学：紧致性与连通性\\——从直观到严格}
\author{}
\date{}

\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\begin{abstract}
  紧致性与连通性是拓扑学中最基本、最重要的两个概念。紧致性抽象了欧氏空间中有界闭集的有限覆盖性质，而连通性则刻画了空间“不可分割”的整体性。本文从直观出发，详细阐述这两个概念的定义、等价刻画、基本性质、典型例子以及它们之间的内在联系。每个定理都附有证明思路和详细推导，力求让读者不仅“知其然”，更“知其所以然”。
\end{abstract}

\section{紧致子空间}

在欧氏空间或度量空间中，有界闭集具有许多良好的分析性质：连续函数能取到最值、无穷点列必有收敛子列等。紧致性正是这些性质在一般拓扑空间中的抽象推广。

\subsection{基本概念与直观}

\begin{definition}[直径与有界性]
  设 \((X,d)\) 为度量空间，\(A\subseteq X\)。称
  \[
  \diam(A)=\sup\{d(a,b):a,b\in A\}
  \]
  为 \(A\) 的\textbf{直径}。若 \(\diam(A)<\infty\)，则称 \(A\) 是\textbf{有界}的。
\end{definition}

\textbf{直观}：直径是集合中两点之间的最大距离（可能取不到，是上确界）。有界意味着整个集合可以被某个有限半径的球包含。

\begin{definition}[开覆盖与紧致子空间]
  设 \((X,\tauX)\) 是拓扑空间，\(A\subseteq X\)。
  \begin{itemize}
    \item 一族开集 \(\{U_\lambda\in\tauX:\lambda\in\Lambda\}\) 称为 \(A\) 的一个\textbf{开覆盖}，若 \(A\subseteq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda\)。
    \item 若指标集 \(\Lambda\) 有限，则称该覆盖为\textbf{有限开覆盖}。
    \item \(A\) 称为 \(X\) 的\textbf{紧致子空间}（或简称紧致），如果 \(A\) 的每个开覆盖都有有限子覆盖。
  \end{itemize}
\end{definition}

\textbf{直观}：紧致性是一种“有限性”条件——无论我们用多么细碎的开集去覆盖这个集合，总能从中挑出有限个就已经足够覆盖它。这就像我们想用许多小毯子盖住一个区域，如果区域是紧致的，那么总可以从这些毯子中选出有限条就能盖严实。

\textbf{常见例子}：
\begin{itemize}
  \item 闭区间 \([0,1]\) 是紧致的（Heine–Borel 定理）。
  \item 开区间 \((0,1)\) 不紧致：覆盖 \(\{(1/n,1):n\ge 2\}\) 没有有限子覆盖。
  \item \(\RR\) 不紧致：覆盖 \(\{(-n,n):n\in\mathbb{N}\}\) 没有有限子覆盖。
\end{itemize}

\subsection{紧致子空间的基本性质}

下面我们逐一证明紧致空间的基本性质，并强调每个证明的核心思路。

\begin{proposition}[闭子空间紧致]
  紧致空间的闭子空间是紧致的。
\end{proposition}

\textbf{证明思路}：要证闭子集 \(A\) 的任一开覆盖有有限子覆盖，只需将该覆盖连同 \(A\) 的补集（开集）一起构成 \(X\) 的一个开覆盖，利用 \(X\) 的紧致性取出有限子覆盖，再剔除可能的补集项即可。

\begin{proof}
  设 \(X\) 紧致，\(A\subseteq X\) 闭。任取 \(A\) 的一个开覆盖 \(\{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\)（这里 \(U_\lambda\) 是 \(X\) 中的开集）。由于 \(A\) 闭，\(X\setminus A\) 是开集。于是
  \[
  \{X\setminus A\} \cup \{U_\lambda : \lambda\in\Lambda\}
  \]
  是 \(X\) 的一个开覆盖。由 \(X\) 紧致，存在有限子覆盖
  \[
  \{X\setminus A,\, U_{\lambda_1},\dots, U_{\lambda_n}\}.
  \]
  那么 \(\{U_{\lambda_1},\dots,U_{\lambda_n}\}\) 就是 \(A\) 的一个有限子覆盖（因为 \(A\) 与 \(X\setminus A\) 不交）。□
\end{proof}

\begin{proposition}[连续像紧致]
  紧致空间在连续映射下的像也是紧致的。
\end{proposition}

\textbf{证明思路}：设 \(f:X\to Y\) 连续，要证 \(f(X)\) 的任一开覆盖有有限子覆盖，只需将这些开集的原像拉回 \(X\)，得到 \(X\) 的一个开覆盖，用 \(X\) 的紧致性取出有限个原像，它们的像即为所求。

\begin{proof}
  设 \(X\) 紧致，\(f:X\to Y\) 连续。任取 \(f(X)\) 的一个开覆盖 \(\{V_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\)（\(V_\lambda\) 是 \(Y\) 中的开集）。则
  \[
  \{f^{-1}(V_\lambda) : \lambda\in\Lambda\}
  \]
  是 \(X\) 的一个开覆盖（因为 \(f\) 连续，原像开）。由 \(X\) 紧致，存在有限子覆盖
  \[
  f^{-1}(V_{\lambda_1}),\dots,f^{-1}(V_{\lambda_n}).
  \]
  于是 \(\{V_{\lambda_1},\dots,V_{\lambda_n}\}\) 覆盖 \(f(X)\)：对任意 \(y\in f(X)\)，存在 \(x\in X\) 使 \(y=f(x)\)，则 \(x\in f^{-1}(V_{\lambda_i})\) 对某个 \(i\)，故 \(y=f(x)\in V_{\lambda_i}\)。□
\end{proof}

\begin{proposition}[连续函数有界并取最值]
  紧致拓扑空间上的连续实值函数必有界，且能取到最大值和最小值。
\end{proposition}

\textbf{证明思路}：由命题2，\(f(X)\) 是 \(\RR\) 中的紧致子集。而在 \(\RR\) 中，紧致等价于有界闭集（Heine–Borel 定理），因此 \(f(X)\) 有界且闭，从而上下确界属于 \(f(X)\)，即最值可达。

\begin{proof}
  设 \(X\) 紧致，\(f:X\to\RR\) 连续。由命题2，\(f(X)\subseteq\RR\) 紧致。在 \(\RR\) 中，紧致子集必然有界且闭（这是定理4.1的结论，后面会证）。因此 \(f(X)\) 有界，且 \(\sup f(X)\) 和 \(\inf f(X)\) 都属于 \(f(X)\)（因为闭集包含其聚点，而上下确界是聚点）。故存在 \(x_1,x_2\in X\) 使得 \(f(x_1)=\sup f(X)\)，\(f(x_2)=\inf f(X)\)。□
\end{proof}

\textbf{直观}：这个性质是微积分中“闭区间上连续函数取最值”的推广。紧致性代替了“有界闭”，连续函数保持紧致性，因此值域也是紧致的，从而有最值。

\begin{proposition}[乘积空间紧致]
  若 \(X\) 和 \(Y\) 紧致，则乘积空间 \(X\times Y\)（赋予乘积拓扑）也是紧致的。
\end{proposition}

这是紧致性在乘积下的保持，证明需要用到著名的“管状邻域引理”。我们先单独证明该引理，再证命题。

\begin{lemma}[管状邻域存在性]
  设 \(Y\) 紧致，\(x_0\in X\)，\(W\) 是 \(X\times Y\) 中包含 \(\{x_0\}\times Y\) 的一个开集。则存在 \(x_0\) 的一个开邻域 \(U(x_0)\subseteq X\)，使得 \(U(x_0)\times Y\subseteq W\)。
\end{lemma}

\textbf{引理证明思路}：对每个 \(y\in Y\)，\((x_0,y)\in W\)，由乘积拓扑的定义，存在开邻域 \(U_y\times V_y\subseteq W\)。\(\{U_y\times V_y\}\) 覆盖 \(\{x_0\}\times Y\)，而后者同胚于紧致空间 \(Y\)，故有有限子覆盖。取这些 \(U_y\) 的交作为 \(U(x_0)\)，即可保证整个 \(U(x_0)\times Y\) 落入 \(W\)。

\begin{proof}[引理证明]
  对每个 \(y\in Y\)，因为 \((x_0,y)\in W\) 且 \(W\) 开，存在开集 \(U_y\subseteq X\) 和 \(V_y\subseteq Y\) 使得
  \[
  (x_0,y)\in U_y\times V_y\subseteq W.
  \]
  于是 \(\{U_y\times V_y : y\in Y\}\) 是 \(\{x_0\}\times Y\) 的一个开覆盖。由于 \(\{x_0\}\times Y\) 同胚于 \(Y\)，而 \(Y\) 紧致，故存在有限子覆盖
  \[
  U_{y_1}\times V_{y_1},\dots,U_{y_n}\times V_{y_n}.
  \]
  令 \(U(x_0)=\bigcap_{i=1}^n U_{y_i}\)，则 \(U(x_0)\) 是 \(x_0\) 的开邻域。现在取任意 \((x,y)\in U(x_0)\times Y\)。由于 \(y\in Y\)，存在某个 \(i\) 使 \(y\in V_{y_i}\)。又因为 \(x\in U(x_0)\subseteq U_{y_i}\)，所以 \((x,y)\in U_{y_i}\times V_{y_i}\subseteq W\)。因此 \(U(x_0)\times Y\subseteq W\)。□
\end{proof}

\textbf{引理的直观意义}：如果有一根“纤维” \(\{x_0\}\times Y\) 完全被一个开集 \(W\) 包含，且 \(Y\) 是紧致的，那么我们可以将这一根纤维“加粗”成一个管状邻域 \(U(x_0)\times Y\)，仍然被 \(W\) 包含。这是紧致性在纤维方向上的“均匀性”体现。

现在证明乘积空间紧致。

\begin{proof}[命题4的证明]
  设 \(\{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\) 是 \(X\times Y\) 的一个开覆盖。固定 \(x\in X\)，考虑“纤维” \(\{x\}\times Y\)，它同胚于 \(Y\)，故紧致。因此存在有限个 \(\lambda_{i}(x)\in\Lambda\;(i=1,\dots,n(x))\) 使得
  \[
  \{x\}\times Y\subseteq U_{\lambda_1(x)}\cup\cdots\cup U_{\lambda_{n(x)}(x)}.
  \]
  记 \(W_x=\bigcup_{i=1}^{n(x)} U_{\lambda_i(x)}\)，则 \(W_x\) 是包含 \(\{x\}\times Y\) 的开集。由管状邻域引理，存在 \(x\) 的开邻域 \(U(x)\subseteq X\) 使得
  \[
  U(x)\times Y\subseteq W_x.
  \]
  现在 \(\{U(x):x\in X\}\) 是 \(X\) 的一个开覆盖。由于 \(X\) 紧致，存在有限个点 \(x_1,\dots,x_m\) 使得
  \[
  X = U(x_1)\cup\cdots\cup U(x_m).
  \]
  于是
  \[
  X\times Y = \bigcup_{j=1}^m \bigl(U(x_j)\times Y\bigr) \subseteq \bigcup_{j=1}^m \bigl( U_{\lambda_1(x_j)}\cup\cdots\cup U_{\lambda_{n(x_j)}(x_j)} \bigr).
  \]
  因此 \(\{U_{\lambda_i(x_j)}: j=1,\dots,m,\; i=1,\dots,n(x_j)\}\) 是原覆盖的一个有限子覆盖。□
\end{proof}

\begin{proposition}[Bolzano–Weierstrass 性质]
  紧致空间中的无穷子集（或无穷点列）必有聚点。
\end{proposition}

\textbf{证明思路}：反证法。假设 \(A\) 无聚点，则每点 \(x\in X\) 有一个开邻域只含 \(A\) 中至多一个点。这些邻域构成开覆盖，取有限子覆盖，则每个邻域至多含一点，从而 \(A\) 有限，矛盾。

\begin{proof}
  设 \(X\) 紧致，\(A\subseteq X\) 没有聚点。对任意 \(x\in X\)，存在开邻域 \(U_x\) 使得 \(U_x\cap A\) 至多含一点（若 \(x\notin A\)，可取 \(U_x\) 与 \(A\) 不交；若 \(x\in A\)，由于 \(x\) 不是聚点，存在邻域只含 \(x\) 本身）。于是 \(\{U_x:x\in X\}\) 是 \(X\) 的一个开覆盖。由紧致性，存在有限子覆盖 \(U_{x_1},\dots,U_{x_n}\)。每个 \(U_{x_i}\) 至多含 \(A\) 中一点，故 \(|A|\le n\)，即 \(A\) 有限。因此，若 \(A\) 无穷，则必有聚点。□
\end{proof}

\textbf{直观}：紧致空间中的无穷点列不可能“逃逸到无穷远”，总有一个聚点“聚集”。这类似于有界闭区间上的点列必有收敛子列（列紧性）。在度量空间中，紧致性与列紧性等价，但在一般拓扑空间中，紧致性更强。

\subsection{紧致性与分离性}

在 Hausdorff（\(T_2\)）空间中，紧致子集具有更强的分离性质。

\begin{proposition}[点与紧致集可分离]
  设 \(X\) 是 \(T_2\) 空间，\(A\subseteq X\) 紧致，\(x\notin A\)。则存在不交开集 \(U\ni x\) 和 \(V\supseteq A\)。
\end{proposition}

\textbf{证明思路}：对每个 \(a\in A\)，由 \(T_2\) 存在不交开邻域 \(U_a\ni a\) 和 \(V_a\ni x\)。\(\{U_a\}\) 覆盖 \(A\)，取有限子覆盖，对应 \(V_a\) 的交作为 \(x\) 的邻域，\(U_a\) 的并作为 \(A\) 的邻域，它们不交。

\begin{proof}
  对每个 \(a\in A\)，因为 \(x\neq a\) 且 \(X\) 是 \(T_2\)，存在开邻域 \(U_a\ni a,\;V_a\ni x\) 使得 \(U_a\cap V_a=\emptyset\)。集合 \(\{U_a:a\in A\}\) 是 \(A\) 的一个开覆盖。由于 \(A\) 紧致，存在有限子覆盖 \(U_{a_1},\dots,U_{a_n}\)。令
  \[
  U = \bigcup_{i=1}^n U_{a_i},\qquad V = \bigcap_{i=1}^n V_{a_i}.
  \]
  则 \(U\) 是开集且 \(A\subseteq U\)，\(V\) 是开集且 \(x\in V\)。若 \(z\in U\cap V\)，则存在 \(i\) 使 \(z\in U_{a_i}\) 且 \(z\in V\subseteq V_{a_i}\)，这与 \(U_{a_i}\cap V_{a_i}=\emptyset\) 矛盾。因此 \(U\cap V=\emptyset\)。□
\end{proof}

\begin{proposition}[紧致子集必闭]
  \(T_2\) 空间的紧致子空间是闭的。
\end{proposition}

\textbf{证明思路}：取 \(x\notin A\)，由命题1得到开邻域 \(V_x\) 与 \(A\) 不交，故 \(x\) 是 \(A\) 的补集的内点，从而补集开，\(A\) 闭。

\begin{proof}
  设 \(A\) 紧致，\(x\notin A\)。由命题1，存在开集 \(U\ni x\) 使得 \(U\cap A=\emptyset\)，即 \(U\subseteq X\setminus A\)。因此 \(x\) 是 \(X\setminus A\) 的内点，故 \(X\setminus A\) 开，\(A\) 闭。□
\end{proof}

\begin{proposition}[不交紧致集可分离]
  设 \(X\) 是 \(T_2\) 空间，\(A,B\subseteq X\) 紧致且 \(A\cap B=\emptyset\)。则存在不交开集 \(U\supseteq A,\;V\supseteq B\)。
\end{proposition}

\textbf{证明思路}：固定 \(b\in B\)，由命题1，存在不交开集 \(U_b\supseteq A,\;V_b\ni b\)。\(\{V_b:b\in B\}\) 覆盖 \(B\)，取有限子覆盖，对应 \(U_b\) 的交作为 \(A\) 的邻域，\(V_b\) 的并作为 \(B\) 的邻域，它们不交。

\begin{proof}
  对每个 \(b\in B\)，由命题1，存在不交开集 \(U_b\supseteq A,\;V_b\ni b\)。\(\{V_b:b\in B\}\) 是 \(B\) 的一个开覆盖。由于 \(B\) 紧致，存在有限子覆盖 \(V_{b_1},\dots,V_{b_n}\)。令
  \[
  U = \bigcap_{i=1}^n U_{b_i},\qquad V = \bigcup_{i=1}^n V_{b_i}.
  \]
  则 \(U\) 是开集且 \(A\subseteq U\)，\(V\) 是开集且 \(B\subseteq V\)。若 \(z\in U\cap V\)，则存在 \(i\) 使 \(z\in V_{b_i}\) 且 \(z\in U\subseteq U_{b_i}\)，矛盾于 \(U_{b_i}\cap V_{b_i}=\emptyset\)。故 \(U\cap V=\emptyset\)。□
\end{proof}

\begin{proposition}[紧致 \(T_2\) 空间是 \(T_3\) 和 \(T_4\) 的]
  紧致的 \(T_2\) 空间满足 \(T_3\)（正则）和 \(T_4\)（正规）公理。
\end{proposition}

\textbf{证明}：在紧致 \(T_2\) 空间中，闭子集与紧致子集等价（命题2）。因此 \(T_3\) 由命题1直接得到（点视为紧致集），\(T_4\) 由命题3得到（两个不交闭集视为紧致集）。□

\subsection{欧氏空间中的紧致性：Heine–Borel 定理}

这是联系分析学与拓扑学的桥梁。

\begin{theorem}[Heine–Borel 定理]
  \(\RR^n\) 的子集 \(A\) 是紧致的当且仅当 \(A\) 是有界闭集。
\end{theorem}

\textbf{证明思路}：
\begin{itemize}
  \item 必要性（紧致\(\Rightarrow\)有界闭）：紧致空间在 \(T_2\) 空间中闭，故 \(A\) 闭。有界性：用开球覆盖取有限子覆盖。
  \item 充分性（有界闭\(\Rightarrow\)紧致）：有界闭集包含于某个闭方体，而闭方体紧致（由有限区间乘积紧致），闭子集紧致。
\end{itemize}

\begin{proof}
  \textbf{必要性}：设 \(A\subseteq\RR^n\) 紧致。由于 \(\RR^n\) 是 \(T_2\) 空间，由命题2知 \(A\) 闭。再证有界：取定 \(a\in A\)，考虑开球族 \(\{B(a,k):k\in\mathbb{N}\}\)，它们覆盖 \(\RR^n\)，从而覆盖 \(A\)。由紧致性，存在有限个球覆盖 \(A\)，设最大半径为 \(R\)，则 \(A\subseteq B(a,R)\)，故有界。

  \textbf{充分性}：设 \(A\) 有界闭。存在闭方体 \(I=[a_1-r,a_1+r]\times\cdots\times[a_n-r,a_n+r]\) 包含 \(A\)。先证闭区间 \([a,b]\) 在 \(\RR\) 中紧致（标准证明：用区间套定理或直接利用有限覆盖定理）。再由命题4（有限个紧致空间的乘积紧致）知 \(I\) 紧致。而 \(A\) 是 \(I\) 的闭子集，由命题1知 \(A\) 紧致。□
\end{proof}

\textbf{注意}：在一般度量空间中，紧致等价于完备且完全有界（但此时不要求是闭子集，因为整个空间可能不是完备的）。Heine–Borel 定理本质上是利用了 \(\RR^n\) 的完备性和局部紧致性。

\subsection{Lebesgue 引理}

这是紧致度量空间的一个精细性质，常用于证明一致连续性。

\begin{theorem}[Lebesgue 数引理]
  设 \((X,d)\) 是紧致度量空间，\(\{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\) 是 \(X\) 的一个开覆盖。则存在 \(\delta>0\)（称为该覆盖的 Lebesgue 数），使得对任意直径小于 \(\delta\) 的子集 \(S\subseteq X\)，都有某个 \(\lambda\) 满足 \(S\subseteq U_\lambda\)。
\end{theorem}

\textbf{证明思路}：反证法。假设不存在这样的 \(\delta\)，则可取直径趋于 0 的集合 \(S_n\) 不被任何 \(U_\lambda\) 包含。取点 \(x_n\in S_n\)，由紧致性得收敛子列 \(x_n\to x\)。\(x\) 属于某个 \(U_{\lambda_0}\)，利用开性，取足够小的邻域，当 \(n\) 充分大时，\(S_n\) 将落入该邻域，矛盾。

\begin{proof}
  假设结论不成立，则对每个正整数 \(n\)，存在子集 \(S_n\subseteq X\) 满足 \(\diam(S_n)<1/n\) 且 \(S_n\) 不包含于任何 \(U_\lambda\)。选取 \(x_n\in S_n\)。由于 \(X\) 紧致，序列 \(\{x_n\}\) 有收敛子列，不妨设 \(x_n\to x\in X\)。设 \(x\in U_{\lambda_0}\)，因 \(U_{\lambda_0}\) 开，存在 \(\varepsilon>0\) 使得 \(B(x,\varepsilon)\subseteq U_{\lambda_0}\)。取 \(N\) 使得对一切 \(n\ge N\)，有 \(d(x_n,x)<\varepsilon/2\) 且 \(1/n<\varepsilon/2\)。于是对 \(n\ge N\)，对任意 \(y\in S_n\)，有
  \[
  d(y,x)\le d(y,x_n)+d(x_n,x)<\diam(S_n)+\varepsilon/2<1/n+\varepsilon/2<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon,
  \]
  故 \(y\in B(x,\varepsilon)\)，从而 \(S_n\subseteq B(x,\varepsilon)\subseteq U_{\lambda_0}\)，与 \(S_n\) 的取法矛盾。□
\end{proof}

\textbf{直观}：这个引理说，只要集合足够小（直径小于某个正数），它就能完全被覆盖中的一个开集“包住”。这类似于“均匀覆盖”性质，在紧致度量空间中总是成立的。

\subsection{局部紧致与仿紧}

紧致性有时过强，以下两个较弱概念在几何与拓扑中广泛使用。

\begin{definition}[局部紧致]
  拓扑空间 \(X\) 称为\textbf{局部紧致}，若每个点都有一个紧致邻域（即存在紧致集 \(K\) 使得点属于 \(K\) 的内部）。
\end{definition}

\textbf{例子}：\(\RR^n\) 局部紧致但不紧致；有理数 \(\mathbb{Q}\) 不是局部紧致（因为任何紧致邻域内部非空会包含一个区间，而 \(\mathbb{Q}\) 中区间不紧致）。

\begin{definition}[仿紧]
  拓扑空间 \(X\) 称为\textbf{仿紧}，若它的每个开覆盖都有\textbf{局部有限的开加细}：即存在另一个开覆盖 \(\{V_\mu\}\)，满足
  \begin{itemize}
    \item 每个 \(V_\mu\) 包含于某个 \(U_\lambda\)；
    \item 每个点有一个开邻域只与有限个 \(V_\mu\) 相交。
  \end{itemize}
\end{definition}

\textbf{重要性}：仿紧 \(T_2\) 空间是正规的（\(T_4\)），并且允许单位分解的存在，这在微分几何和代数拓扑中至关重要。

\textbf{常见结论}：
\begin{itemize}
  \item 紧致空间显然是仿紧的（有限覆盖本身就是局部有限的加细）。
  \item 度量空间是仿紧的（这是 Stone 定理，较难）。
  \item 局部紧致的 \(T_2\) 空间是 \(T_3\) 的，但不一定仿紧。
\end{itemize}

\section{拓扑空间的连通性}

与紧致性不同，连通性描述的是空间“不断开”的程度，是另一个基本的拓扑不变量。

\subsection{定义与等价条件}

\begin{definition}[连通空间]
  拓扑空间 \(X\) 称为\textbf{连通的}，如果它不能表示为两个非空不交开集的并。等价地，若 \(X=A\cup B\) 且 \(A,B\) 开且 \(A\cap B=\emptyset\)，则 \(A\) 或 \(B\) 必为空。
\end{definition}

\textbf{直观}：一个空间是连通的，意味着它是由一整块“粘”在一起的，不能撕成两个分开的部分。例如，区间 \([0,1]\) 是连通的，而两个不相交的开区间 \((0,1)\cup(2,3)\) 不连通。

\begin{theorem}[连通性的等价条件]
  设 \(X\) 是拓扑空间，以下条件等价：
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
    \item \(X\) 连通；
    \item \(X\) 中既开又闭的子集只有 \(X\) 和 \(\emptyset\)；
    \item \(X\) 不能表示为两个非空不交闭集的并；
    \item 任何连续映射 \(f:X\to\{0,1\}\)（其中 \(\{0,1\}\) 取离散拓扑）必是常值映射。
  \end{enumerate}
\end{theorem}

\textbf{证明思路}：采用循环证明，核心是利用开与闭的互补关系，以及连续映射对开集原像的性质。

\begin{proof}
  \textbf{(i)\(\Rightarrow\)(ii)}：假设存在非空真既开又闭子集 \(A\)。则 \(B=X\setminus A\) 也是非空既开又闭，且 \(X=A\cup B\)，\(A\cap B=\emptyset\)，这与 (i) 矛盾。
  
  \textbf{(ii)\(\Rightarrow\)(iii)}：若 \(X=A\cup B\)，\(A,B\) 非空闭且不交，则 \(A=X\setminus B\) 是闭集的补集，故开，因此 \(A\) 是非空真既开又闭子集，与 (ii) 矛盾。
  
  \textbf{(iii)\(\Rightarrow\)(iv)}：假设存在连续满射 \(f:X\to\{0,1\}\)，则 \(A=f^{-1}(0)\) 和 \(B=f^{-1}(1)\) 都是非空闭集（因为单点集在离散拓扑中既开又闭，原像闭），且 \(A\cap B=\emptyset\)，\(X=A\cup B\)，这与 (iii) 矛盾。
  
  \textbf{(iv)\(\Rightarrow\)(i)}：若 \(X\) 不连通，则存在非空不交开集 \(A,B\) 使得 \(X=A\cup B\)。定义 \(f:X\to\{0,1\}\) 为 \(f(x)=0\) 若 \(x\in A\)，\(f(x)=1\) 若 \(x\in B\)。则 \(f^{-1}(\{0\})=A\) 开，\(f^{-1}(\{1\})=B\) 开，故 \(f\) 连续且是满射，与 (iv) 矛盾。□
\end{proof}

\textbf{直观理解}：条件 (ii) 说，在连通空间中，没有“中间状态”的子集同时是开和闭；条件 (iv) 说，任何把空间映射到两个点的连续函数都必须恒为一点，即无法用连续的方式将空间分成两半。

\subsection{连通空间的基本性质}

\begin{proposition}[连续像连通]
  连通空间在连续映射下的像是连通的。
\end{proposition}

\textbf{证明思路}：若 \(f(X)\) 不连通，则可写成两个不交非空开集之并，其原像将分离 \(X\)，矛盾。

\begin{proof}
  设 \(X\) 连通，\(f:X\to Y\) 连续。若 \(f(X)\) 不连通，则存在非空开集 \(U,V\subseteq Y\)（在子空间拓扑中）使得 \(f(X)\subseteq U\cup V\)，\(U\cap V\cap f(X)=\emptyset\)，且 \(f(X)\cap U\neq\emptyset\)，\(f(X)\cap V\neq\emptyset\)。于是 \(f^{-1}(U)\) 和 \(f^{-1}(V)\) 是 \(X\) 中非空开集，不交且覆盖 \(X\)，与 \(X\) 连通矛盾。□
\end{proof}

\begin{proposition}[实轴上的连通子集]
  \(\RR\) 的连通子集要么是单点，要么是区间（包括各种端点情况）。
\end{proposition}

\textbf{证明思路}：设 \(X\subseteq\RR\) 连通，令 \(a=\inf X,\;b=\sup X\)（可为无穷）。则对任意 \(c\in(a,b)\)，若 \(c\notin X\)，则 \(X\) 可被 \((-\infty,c)\) 和 \((c,\infty)\) 分离，矛盾。因此 \(X\) 包含所有介于 \(a,b\) 之间的点，即 \(X\) 是区间。

\begin{proof}
  设 \(X\subseteq\RR\) 非空连通，令 \(a=\inf X,\;b=\sup X\)（可能取 \(-\infty\) 或 \(+\infty\)）。若 \(a=b\)，则 \(X=\{a\}\) 是单点。若 \(a<b\)，则对任意 \(c\in(a,b)\)，必有 \(c\in X\)。否则，令 \(A=X\cap(-\infty,c)\)，\(B=X\cap(c,\infty)\)，则 \(A,B\) 非空（因为 \(a<c<b\) 且 \(a,b\) 是确界），且都是 \(X\) 的开子集（在子空间拓扑中），不交且覆盖 \(X\)，与连通矛盾。因此 \((a,b)\subseteq X\)，故 \(X\) 是区间（可能包含端点或不含）。□
\end{proof}

\begin{proposition}[闭包连通]
  若 \(A\subseteq X\) 连通，则 \(\cl(A)\) 也连通。
\end{proposition}

\textbf{证明思路}：若 \(\cl(A)\) 被两个不交开集分离，则它们与 \(A\) 的交也会分离 \(A\)，从而 \(A\) 必全落在其中一个中，但另一个若非空会含有 \(A\) 的聚点，矛盾。

\begin{proof}
  假设 \(\cl(A)=U\cup V\)，其中 \(U,V\) 是 \(\cl(A)\) 中的开集（在子空间拓扑中），\(U\cap V=\emptyset\)，且 \(U,V\) 非空。则 \(A=(A\cap U)\cup(A\cap V)\)，且 \(A\cap U\) 与 \(A\cap V\) 是 \(A\) 中的开集（因为 \(U,V\) 在 \(\cl(A)\) 中开，限制到 \(A\) 仍开）。由于 \(A\) 连通，必有其中之一为空，比如 \(A\cap V=\emptyset\)。则 \(A\subseteq U\)。但 \(V\) 非空且 \(V\subseteq\cl(A)\)，故存在点 \(x\in V\)，且 \(x\) 是 \(A\) 的聚点（因为 \(x\in\cl(A)\)）。于是 \(x\) 的任意邻域与 \(A\) 相交。取 \(x\) 在 \(\cl(A)\) 中的开邻域 \(V\)（本身），则 \(V\cap A\neq\emptyset\)，这与 \(A\cap V=\emptyset\) 矛盾。因此 \(\cl(A)\) 连通。□
\end{proof}

\begin{proposition}[乘积连通]
  若 \(X\) 和 \(Y\) 连通，则 \(X\times Y\) 连通。
\end{proposition}

\textbf{证明思路}：常用“十字架”方法：固定 \(x_0\in X\)，对每个 \(y\in Y\)，\(\{x_0\}\times Y\) 连通；对每个 \(x\in X\)，\(X\times\{y\}\) 连通。通过连续的道路连接任意两点，或用开闭集论证。

\begin{proof}
  设 \(X,Y\) 连通。先证对任意 \(x\in X\)，\(\{x\}\times Y\) 连通（同胚于 \(Y\)）。再证对任意 \(y\in Y\)，\(X\times\{y\}\) 连通。现在取任意两点 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\in X\times Y\)。考虑点 \((x_1,y_2)\)。由于 \(\{x_1\}\times Y\) 连通，存在连通子集 \(C_1\) 包含 \((x_1,y_1)\) 和 \((x_1,y_2)\)。由于 \(X\times\{y_2\}\) 连通，存在连通子集 \(C_2\) 包含 \((x_1,y_2)\) 和 \((x_2,y_2)\)。那么 \(C_1\cup C_2\) 连通（因为相交于 \((x_1,y_2)\)），且包含两点。因此任意两点属于同一个连通子集，故整个空间连通。□
\end{proof}

\textbf{注}：这个证明实际上依赖于“并集若交集非空则连通”的性质，以及连通性在乘积中的保持。更严格的论证也可用开闭集法。

\subsection{连通分支与道路连通}

\begin{definition}[连通分支]
  在拓扑空间 \(X\) 中定义关系：\(x\sim y\) 若存在连通子集同时包含 \(x\) 和 \(y\)。这是一个等价关系，每个等价类称为 \(X\) 的一个\textbf{连通分支}。
\end{definition}
连通分支是极大的连通子集，且是闭的（因为闭包仍连通）。\(X\) 是其所有连通分支的不交并。

\begin{definition}[道路连通]
  空间 \(X\) 称为\textbf{道路连通的}，若对任意 \(x,y\in X\)，存在连续映射 \(\gamma:[0,1]\to X\) 使得 \(\gamma(0)=x,\;\gamma(1)=y\)（这样的 \(\gamma\) 称为道路）。
\end{definition}
道路连通性比连通性强：道路连通空间一定是连通的，但反之不一定。经典的例子是“拓扑学家的正弦曲线”：
\[
S = \{(x,\sin\frac{1}{x}):0<x\le1\}\cup\{(0,y):-1\le y\le1\},
\]
它是连通的但不是道路连通的（因为无法用连续道路从曲线部分连接到竖直线部分）。

\textbf{直观}：道路连通意味着空间里任意两点能用一条“连续的线”连起来，而连通性只保证不能分成两个开集，但可能仍然“拧”在一起而无法画出一条连续路径。

\subsection{拓展：连通性在分析中的应用}

连通性在数学分析中最重要的应用之一是**介值定理**：设 \(f:[a,b]\to\RR\) 连续，则 \(f([a,b])\) 是区间。因为 \([a,b]\) 连通，连续像连通，而 \(\RR\) 中的连通子集正是区间。这是证明介值定理的拓扑版本。

\section{总结与延伸}

\begin{itemize}
  \item 紧致性是有限覆盖性质的抽象，在 \(\RR^n\) 中等价于有界闭集。它保证了连续函数的最值性、点列的聚点存在性，并且与分离性结合可得到正则和正规性。
  \item 连通性刻画了空间的整体性，与连续映射配合可以得到介值定理等分析结果。
  \item 两种性质都是拓扑不变量（即同胚空间保持），因此可用于区分不同胚的空间。
  \item 进一步的学习方向：
    \begin{itemize}
      \item 紧致性的变体：可数紧、列紧、伪紧等。
      \item 连通性的加强：局部连通、弧连通、单连通、n-连通等。
      \item 在代数拓扑中，紧致性和连通性是构造同伦群、同调群的基础。
      \item 在微分几何中，紧致流形具有许多整体性质，如闭流形上的调和形式理论。
    \end{itemize}
\end{itemize}

\appendix
\section{习题与思考}

\begin{enumerate}
  \item 证明：若 \(X\) 紧致，\(Y\) 是 \(T_2\) 空间，且 \(f:X\to Y\) 是连续双射，则 \(f\) 是同胚。
  \item 举例说明：紧致空间的连续像不一定紧致？为什么？
  \item 证明：紧致度量空间是完备的。
  \item 证明：若 \(X\) 连通且 \(A\subseteq X\) 既开又闭，则 \(A=\emptyset\) 或 \(A=X\)。
  \item 证明：若 \(X\) 连通且 \(f:X\to\RR\) 连续，则 \(f(X)\) 是区间。
  \item 构造一个连通但不是道路连通的空间，并说明理由。
\end{enumerate}

\end{document}