\documentclass[UTF8,zihao=-4,openany]{ctexbook}

\usepackage[a4paper,top=2.35cm,bottom=2.45cm,left=2.45cm,right=2.45cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,mathtools}
\usepackage{newtxmath}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{microtype}

\definecolor{mainblue}{HTML}{1F4E79}
\definecolor{lightblue}{HTML}{EEF5FB}
\definecolor{deepgreen}{HTML}{2F6B4F}
\definecolor{lightgreen}{HTML}{F1F8F3}
\definecolor{warm}{HTML}{FFF8E8}
\definecolor{linegray}{HTML}{D8DEE9}
\definecolor{textgray}{HTML}{555555}

\hypersetup{
  colorlinks=true,
  linkcolor=mainblue,
  urlcolor=mainblue,
  citecolor=mainblue
}

\titleformat{\chapter}{\Huge\bfseries\color{mainblue}}{\thechapter}{0.8em}{}
\titleformat{\section}{\Large\bfseries\color{mainblue}}{\thesection}{0.75em}{}
\titleformat{\subsection}{\large\bfseries\color{black}}{\thesubsection}{0.65em}{}
\titlespacing*{\chapter}{0pt}{-0.5em}{1.2em}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.2em}{0.55em}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{0.9em}{0.35em}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{15pt}
\fancyhead[L]{调和方程 / Laplace 方程自学讲义}
\fancyhead[R]{Sample}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}

\setlength{\parindent}{2em}
\setlength{\parskip}{0.32em}
\setlist[itemize]{leftmargin=2em,itemsep=0.25em,topsep=0.25em}
\setlist[enumerate]{leftmargin=2.4em,itemsep=0.25em,topsep=0.25em}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
\newcommand{\pd}{\partial}
\newcommand{\bsnu}{\boldsymbol{\nu}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1\right\rvert}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1\right\rVert}
\newcommand{\inner}[2]{\left\langle #1,#2\right\rangle}
\DeclareMathOperator{\diver}{div}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\providecommand{\fint}{\mathop{\ooalign{$\int$\cr$-$}}\nolimits}

\newtcolorbox{guidebox}[1]{
  enhanced,
  breakable,
  colback=warm,
  colframe=orange!55!black,
  title={#1},
  fonttitle=\bfseries,
  boxrule=0.7pt,
  arc=2pt,
  left=1em,
  right=1em,
  top=0.6em,
  bottom=0.6em
}

\newtcbtheorem[number within=chapter]{definition}{定义}{
  enhanced,breakable,
  colback=lightblue,
  colframe=mainblue,
  fonttitle=\bfseries,
  boxrule=0.7pt,
  arc=2pt,
  left=1em,right=1em,top=0.55em,bottom=0.55em
}{def}

\newtcbtheorem[number within=chapter]{theorem}{定理}{
  enhanced,breakable,
  colback=lightgreen,
  colframe=deepgreen,
  fonttitle=\bfseries,
  boxrule=0.7pt,
  arc=2pt,
  left=1em,right=1em,top=0.55em,bottom=0.55em
}{thm}

\newtcbtheorem[number within=chapter]{example}{例题}{
  enhanced,breakable,
  colback=white,
  colframe=linegray,
  coltitle=black,
  fonttitle=\bfseries,
  boxrule=0.7pt,
  arc=2pt,
  left=1em,right=1em,top=0.55em,bottom=0.55em
}{ex}

\newenvironment{solution}{\par\noindent\textbf{解.}}{\hfill$\square$\par}
\newenvironment{proofidea}{\par\noindent\textbf{证明.}}{\hfill$\square$\par}

\begin{document}

\begin{titlepage}
  \centering
  \vspace*{3.4em}
  {\Huge\bfseries 调和方程 / Laplace 方程\par}
  \vspace{0.55em}
  {\LARGE\bfseries 中文自学讲义（Sample）\par}
  \vspace{1.6em}
  {\large 以 Evans 为主线，Strauss 补充计算方法，谷超豪体系补充边值问题与物理背景\par}
  \vfill
  \begin{tcolorbox}[
    enhanced,
    colback=lightblue,
    colframe=mainblue,
    width=0.84\textwidth,
    arc=2pt,
    boxrule=0.7pt
  ]
  \small
  本小样展示最终讲义的写法与排版：不逐句翻译教材，而是按本科生自学与期末复习的逻辑重组。正式版将系统覆盖 Laplace/Poisson 方程来源、调和函数基本性质、基本解与 Green 函数、典型区域显式解、Neumann 问题、弱解和能量方法、常见题型模板。
  \end{tcolorbox}
  \vfill
  {\large \today\par}
\end{titlepage}

\tableofcontents
\clearpage

\chapter*{使用说明}
\addcontentsline{toc}{chapter}{使用说明}
本讲义采用如下结构：先从物理守恒律与边值问题出发，再建立调和函数的一组核心定理，最后把定理落到可计算题型上。阅读时要把两个问题始终放在心里：
\begin{enumerate}
  \item 方程本身告诉我们什么定性信息？例如极值原理、唯一性、比较原理。
  \item 在具体区域上怎样算出解？例如 Poisson 核、分离变量、Green 函数。
\end{enumerate}
Evans 的优势在于把调和函数的结构性质讲得非常清楚；Strauss 的优势在于计算方法和典型边值问题；谷超豪《数学物理方程》的课程体系有助于把 Dirichlet、Neumann、Robin 问题和物理模型放在同一张图里理解。

\chapter{Laplace 方程与 Poisson 方程从哪里来}

\section{符号和基本对象}
设 $\Omega\subset\R^n$ 是一个开集，边界记为 $\pd\Omega$。未知函数记为
\[
  u:\Omega\to\R,\qquad x=(x_1,\dots,x_n)\in\Omega.
\]
若 $u$ 二阶可微，定义 Laplace 算子
\[
  \Delta u=\sum_{i=1}^n \frac{\pd^2u}{\pd x_i^2}.
\]
在边界点上，$\bsnu$ 表示 $\pd\Omega$ 的单位外法向量，法向导数记为
\[
  \frac{\pd u}{\pd \bsnu}=Du\cdot\bsnu,
\]
其中 $Du=(u_{x_1},\dots,u_{x_n})$ 是梯度。

\section{三类物理来源}
\subsection{稳态热传导}
令 $u(x)$ 表示温度。Fourier 定律说热流密度
\[
  q=-kDu,\qquad k>0,
\]
即热量从高温流向低温。在无热源的稳态情形，任意小体积内热量不再积累，因而
\[
  \diver q=0.
\]
若 $k$ 为常数，则得到
\[
  -k\Delta u=0,\qquad \text{即}\quad \Delta u=0.
\]
若存在体热源 $F(x)$，守恒律变为 $\diver q=F$，于是
\[
  -\Delta u=f,\qquad f=\frac{F}{k}.
\]

\subsection{静电势}
令 $u$ 表示电势，电场 $E=-Du$。Gauss 定律给出
\[
  \diver E=\rho,
\]
其中 $\rho$ 是电荷密度。代入 $E=-Du$ 后得到
\[
  -\Delta u=\rho.
\]
没有电荷时即为 Laplace 方程。

\subsection{稳态扩散}
令 $u$ 表示浓度，Fick 定律说扩散通量 $J=-D_0Du$。稳态且无反应时 $\diver J=0$，因此仍得到 $\Delta u=0$。有源项或反应项时会得到 Poisson 型方程或更一般的椭圆方程。

\begin{guidebox}{这一节的核心记忆}
Laplace 方程表示“没有内部源”的稳态平衡；Poisson 方程表示“内部源项 $f$ 驱动的稳态平衡”。二者的差别不是形式上的一个 $f$，而是物理上有没有体源，以及数学上极值原理、表示公式和能量估计怎样被源项修正。
\end{guidebox}

\section{四种常见边值问题}
\begin{definition}{Dirichlet、Neumann 与 Robin 问题}{boundary-problems}
设 $\Omega\subset\R^n$ 为有界区域，$f$ 为区域内给定函数，$g,h,\alpha,\beta$ 为边界上的给定函数。
\begin{enumerate}
  \item Dirichlet 问题：给定边界值
  \[
    \begin{cases}
      -\Delta u=f, & x\in\Omega,\\
      u=g, & x\in\pd\Omega.
    \end{cases}
  \]
  \item Neumann 问题：给定法向通量
  \[
    \begin{cases}
      -\Delta u=f, & x\in\Omega,\\
      \dfrac{\pd u}{\pd\bsnu}=h, & x\in\pd\Omega.
    \end{cases}
  \]
  \item Robin 问题：给定边界值与法向导数的线性组合
  \[
    \begin{cases}
      -\Delta u=f, & x\in\Omega,\\
      \alpha u+\beta\dfrac{\pd u}{\pd\bsnu}=g, & x\in\pd\Omega.
    \end{cases}
  \]
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{guidebox}{什么时候用，怎么用}
\textbf{Dirichlet} 适合边界温度或电势已知；做唯一性时直接比较两个解的差。\\
\textbf{Neumann} 适合边界热流或电通量已知；先检查兼容条件，再记住解只差一个常数。\\
\textbf{Robin} 适合边界与外界交换热量，如 Newton 冷却律；通常出现在能量法或 Sturm--Liouville 分离变量中。
\end{guidebox}

\chapter{调和函数的基本性质}

\section{定义与第一批例子}
\begin{definition}{调和函数}{harmonic}
设 $\Omega\subset\R^n$ 为开集。若 $u\in C^2(\Omega)$ 且
\[
  \Delta u=0\qquad \text{在 }\Omega\text{ 中成立},
\]
则称 $u$ 在 $\Omega$ 中为调和函数。
\end{definition}

\begin{example}{判断函数是否调和}{check-harmonic}
判断下列函数在其定义域内是否调和：
\[
  u_1(x,y)=x^2-y^2,\qquad
  u_2(x,y)=x^2+y^2,\qquad
  u_3(x)=\frac{1}{\abs{x}}\quad (x\in\R^3\setminus\{0\}).
\]
\end{example}

\begin{solution}
对 $u_1$，有 $u_{xx}=2,\ u_{yy}=-2$，故 $\Delta u_1=0$，所以调和。对 $u_2$，有 $\Delta u_2=2+2=4$，所以不调和。对 $u_3$，令 $r=\abs{x}$，在 $\R^3\setminus\{0\}$ 中
\[
  \Delta(r^{-1})=\frac{1}{r^2}\frac{\dd}{\dd r}\left(r^2\frac{\dd}{\dd r}r^{-1}\right)
  =\frac{1}{r^2}\frac{\dd}{\dd r}(-1)=0,
\]
所以 $u_3$ 在去掉原点后调和。
\end{solution}

\begin{guidebox}{题型模板：判断是否调和}
先确认定义域，再算二阶偏导并相加。若函数含 $r=\abs{x}$，优先使用径向函数公式
\[
  \Delta v(r)=v''(r)+\frac{n-1}{r}v'(r)\qquad (r>0).
\]
不要忘记奇点：$\abs{x}^{2-n}$ 在 $\R^n\setminus\{0\}$ 调和，但在原点不是经典调和函数。
\end{guidebox}

\section{平均值公式}
\begin{theorem}{球面平均值公式}{mean-sphere}
设 $u\in C^2(\Omega)$ 且 $\Delta u=0$。若闭球 $\overline{B(x,r)}\subset\Omega$，则
\[
  u(x)=\fint_{\pd B(x,r)}u(y)\dd S(y)
  =\frac{1}{\abs{\pd B(x,r)}}\int_{\pd B(x,r)}u(y)\dd S(y).
\]
\end{theorem}

\begin{proofidea}
为简洁起见取 $x=0$。记
\[
  \phi(r)=\fint_{\pd B(0,r)}u(y)\dd S(y)
       =\fint_{\pd B(0,1)}u(rz)\dd S(z).
\]
对 $r$ 求导并用散度定理：
\[
  \phi'(r)=\fint_{\pd B(0,1)}Du(rz)\cdot z\dd S(z)
  =\frac{1}{\abs{\pd B(0,r)}}\int_{\pd B(0,r)}\frac{\pd u}{\pd\bsnu}\dd S
  =\frac{1}{\abs{\pd B(0,r)}}\int_{B(0,r)}\Delta u\dd y=0.
\]
所以 $\phi(r)$ 与 $r$ 无关。令 $r\to0^+$，由 $u$ 连续得 $\phi(r)\to u(0)$，结论成立。
\end{proofidea}

\begin{guidebox}{什么时候用，怎么用}
\textbf{什么时候用：} 题目给出球面或圆周上的值，要求球心值；或者需要证明调和函数的定性性质，如极值原理、Liouville 定理。\\
\textbf{怎么用：} 先确认整个闭球包含在区域中，再把中心点值替换成边界平均。若不是球心，通常先平移坐标；若是圆盘或球内任意点的值，往往要用 Poisson 公式而不是简单平均。
\end{guidebox}

\begin{example}{用平均值公式求点值}{mean-example}
设 $u$ 在 $\R^2$ 中调和，且在圆周 $x^2+y^2=4$ 上满足
\[
  u(x,y)=3+x^2-y.
\]
求 $u(0,0)$。
\end{example}

\begin{solution}
由圆周平均值公式，
\[
  u(0,0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}
  \left(3+4\cos^2\theta-2\sin\theta\right)\dd\theta.
\]
因为 $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\dd\theta=\frac12$，且 $\int_0^{2\pi}\sin\theta\dd\theta=0$，所以
\[
  u(0,0)=3+4\cdot\frac12=5.
\]
\end{solution}

\section{极值原理与唯一性}
\begin{theorem}{弱极值原理}{maximum-principle}
设 $\Omega\subset\R^n$ 为有界连通开集，$u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ 且 $\Delta u=0$。则
\[
  \max_{\overline{\Omega}}u=\max_{\pd\Omega}u,\qquad
  \min_{\overline{\Omega}}u=\min_{\pd\Omega}u.
\]
\end{theorem}

\begin{proofidea}
平均值公式表明：调和函数在任意小球中心的值等于周围球面的平均值。若内部某点达到严格最大值，则周围球面平均也必须等于该最大值，这迫使球面上处处都取最大值。沿连通区域逐步传播，可知 $u$ 为常数。非严格情形可对 $u_\eps(x)=u(x)+\eps\abs{x}^2$ 使用 $\Delta u_\eps=2n\eps>0$ 后令 $\eps\to0^+$。
\end{proofidea}

\begin{guidebox}{什么时候用，怎么用}
\textbf{什么时候用：} 证明解不可能超过边界数据；证明 Dirichlet 问题唯一；排除内部正最大或负最小。\\
\textbf{怎么用：} 对原函数用极值原理得到上下界；证明唯一性时令 $w=u-v$，则 $\Delta w=0$ 且边界 $w=0$，于是 $w\le0$ 且 $-w\le0$，所以 $w=0$。
\end{guidebox}

\begin{theorem}{Dirichlet 问题的唯一性}{dirichlet-unique}
设 $\Omega$ 有界。若 $u,v\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ 都满足
\[
  \begin{cases}
    -\Delta u=f, & x\in\Omega,\\
    u=g, & x\in\pd\Omega,
  \end{cases}
  \qquad
  \begin{cases}
    -\Delta v=f, & x\in\Omega,\\
    v=g, & x\in\pd\Omega,
  \end{cases}
\]
则 $u=v$。
\end{theorem}

\begin{proofidea}
令 $w=u-v$。则
\[
  \Delta w=0\quad\text{于 }\Omega,\qquad w=0\quad\text{于 }\pd\Omega.
\]
由极值原理，
\[
  \max_{\overline\Omega}w=\max_{\pd\Omega}w=0,\qquad
  \min_{\overline\Omega}w=\min_{\pd\Omega}w=0.
\]
故 $w\equiv0$，即 $u=v$。
\end{proofidea}

\chapter{典型区域上的显式解}

\section{单位圆盘上的 Poisson 公式}
设
\[
  D=\{(r,\theta):0\le r<1,\ 0\le\theta<2\pi\}
\]
为单位圆盘。若边界值
\[
  u(1,\theta)=g(\theta)
\]
给定，则单位圆盘 Dirichlet 问题
\[
  \begin{cases}
    \Delta u=0, & 0\le r<1,\\
    u(1,\theta)=g(\theta)
  \end{cases}
\]
的解可写为
\[
  u(r,\theta)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}
  P_r(\theta-\varphi)g(\varphi)\dd\varphi,
\]
其中
\[
  P_r(t)=\frac{1-r^2}{1-2r\cos t+r^2},\qquad 0\le r<1,
\]
称为 Poisson 核。

\begin{guidebox}{什么时候用，怎么用}
\textbf{什么时候用：} 区域是圆盘，给定圆周上的 Dirichlet 数据，要求圆盘内调和函数。\\
\textbf{怎么用：} 若 $g$ 是三角多项式，优先用 Fourier 形式：
\[
  g(\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos k\theta+b_k\sin k\theta),
\]
则
\[
  u(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}r^k(a_k\cos k\theta+b_k\sin k\theta).
\]
若 $g$ 较复杂，再使用积分形式。
\end{guidebox}

\begin{example}{圆盘 Dirichlet 问题}{disk-dirichlet}
求单位圆盘中满足
\[
  \Delta u=0,\qquad u(1,\theta)=2+\cos 3\theta-4\sin 2\theta
\]
的调和函数。
\end{example}

\begin{solution}
边界数据已经是 Fourier 形式。根据圆盘内调和函数的径向衰减规律，$\cos k\theta$ 与 $\sin k\theta$ 项在内部对应乘上 $r^k$，所以
\[
  u(r,\theta)=2+r^3\cos3\theta-4r^2\sin2\theta.
\]
这比直接代 Poisson 积分更快，也是 Strauss 风格计算题中最常用的处理方式。
\end{solution}

\chapter{常见题型模板（样张）}

\section{极值原理证明唯一性}
\begin{guidebox}{模板}
若 $u,v$ 是同一 Dirichlet 问题的两个经典解：
\begin{enumerate}
  \item 令 $w=u-v$；
  \item 写出 $\Delta w=0$ 与 $w|_{\pd\Omega}=0$；
  \item 用极值原理得 $w\le0$；
  \item 对 $-w$ 再用极值原理得 $w\ge0$；
  \item  conclude $w\equiv0$。
\end{enumerate}
对于 Poisson 方程，源项相同才能直接相减为调和方程；若源项不同，则转为比较原理。
\end{guidebox}

\section{Neumann 兼容条件预告}
Neumann 问题
\[
  \begin{cases}
    -\Delta u=f, & x\in\Omega,\\
    \dfrac{\pd u}{\pd\bsnu}=h, & x\in\pd\Omega
  \end{cases}
\]
不能任意给定 $f$ 与 $h$。若存在足够光滑的解，则由散度定理
\[
  \int_\Omega f\dd x
  =\int_\Omega(-\Delta u)\dd x
  =-\int_{\pd\Omega}\frac{\pd u}{\pd\bsnu}\dd S
  =-\int_{\pd\Omega}h\dd S.
\]
因此必要条件为
\[
  \boxed{\int_\Omega f\dd x+\int_{\pd\Omega}h\dd S=0.}
\]
这也解释了为什么 Neumann 问题的解至多只差一个常数：边界只规定法向导数，不能决定电势或温度的零点。

\begin{guidebox}{正式版会继续补全}
完整讲义中，本节后面将加入 Green 函数、矩形分离变量、弱解与能量方法，并在末章集中给出十类常见题型的“识别信号、解题步骤、易错点”。
\end{guidebox}

\end{document}
