\clearpage
\clearpage
\section{2.2\quad 拉普拉斯方程}
所有偏微分方程中最重要的无疑是拉普拉斯方程


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0013.png}
\end{center}
和Poisson 方程$*$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0014.png}
\end{center}
$*$ 我更喜欢将$(2)$写成带负号，以与一般二阶的表示法保持一致


第 $6$ 章中的椭圆运算符。


在$(1)$和$(2)$中，$x$ $\in$ $U$，未知数为$u:U$̄ $\to$ $R,$ $u$ $=$ $u(x)$，其中$U$ $\subset$ $\mathbb{R}^{n}$ 是给定的开集。 $(2)$ 中还给出了函数 $f$ $:$ $U$ $\to$ $R$。请记住 \S\{\}A$.3$ 中 $u$ 的拉普拉斯算子是 $n$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0015.png}
\end{center}
$i=1$


定义。满足 $(1)$ 的 $C$ $2$ 函数 $u$ 称为调和函数。


物理解释。拉普拉斯方程出现在各种物理环境中。在典型的解释中，$u$ 表示平衡状态下某个量（例如化学浓度）的密度。那么若 $V$ 是 $U$ 内的任何平滑子区域，则 $u$ 到 $\partial V$ 的净通量为零：



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0016.png}
\end{center}
$\partial V$ F 表示通量密度，$\nu$ 表示单位外法线场。鉴于高斯$-$格林定理（\S\{\}C$.2$），我们有



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0017.png}
\end{center}
$V$ $\partial V$ 因此 $(3)$ div F $=$ $0$ in $U$，因为 $V$ 是任意的。在许多情况下，假设通量 F 与梯度 $Du$ 成正比但指向相反方向（因为流动是从浓度较高的区域流向浓度较低的区域），这在物理上是合理的。因此


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0018.png}
\end{center}
代入式$(3)$，可得拉普拉斯方程


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0019.png}
\end{center}
若 $u$ 表示  化学浓度温度   静电势，则方程（$4$）为  菲克扩散定律 傅立叶导热定律   欧姆导电定律。请参阅 Feynman–Leighton–Sands $[$F$-$L$-$S，第 $12$ 章$]$，了解数学物理中拉普拉斯方程的普遍性。拉普拉斯方程出现


以及解析函数的研究和布朗运动的概率研究。


\subsection{2.2.1\quad 基本解}
一个。基本解的推导。研究任何偏微分方程的一个好策略是首先确定一些显式解，于是，如果偏微分方程是线性的，则从前面提到的特定解中组合出更复杂的解。此外，在寻找显式解时，将注意力限制在具有某些对称性的函数类别上通常是明智的。由于拉普拉斯方程在旋转下不变（问题 $2$），因此似乎建议首先搜索径向解，即 $r$ $=$ $|x|$ 的函数。于是，让我们尝试于 $U$ $=$ $\mathbb{R}^{n}$ 中找到拉普拉斯方程 $(1)$ 的解 $u$，其形式为


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0020.png}
\end{center}
其中 $r$ $=$ $|x|$ $=$ $(x12$ $+$ $\cdot s$ $+$ $xn2$ $)1/2$ 和 $v$ 被选择（如果可能），使得 $\Delta u$ $=$ $0$ 成立。第一个注释为 $i$ $=$ $1$，$.$ 。 。 $,$ $n$ 那个


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0021.png}
\end{center}
因此我们有


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0022.png}
\end{center}
$n-1$ $'$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0023.png}
\end{center}
$r$ 因此 $\Delta u$ $=$ $0$ 当且仅当$n-1$ $'$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0024.png}
\end{center}
$r$ 若 $v'$ $\ne$ $0$，我们推出


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0025.png}
\end{center}
$'$ $=$ $,$ $v$ $r$ $a$，因此对于某个常数 $a$，$v'$ $(r)$ $=$ $rn-1$。于是，若 $r$ $>$ $0$，我们有



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0026.png}
\end{center}
其中 $b$ 和 $c$ 是常数。这些考虑因素激发了以下因素


定义。功能


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0027.png}
\end{center}
$(n$ $\ge$ $3)$，定义为 $x$ $\in$ $\mathbb{R}^{n}$ ，$x$ $\ne$ $0$，是拉普拉斯方程的基本解。


$(6)$ 中常数的特定选择的原因很快就会显而易见。 （回想一下\S\{\}A$.2$，$\alpha(n)$ 表示 $\mathbb{R}^{n}$ 中单位球的体积。）我们有时会稍微滥用符号并写成 $\Phi(x)$ $=$ $\Phi(|x|)$ 来强调基本解是径向的。另请注意，我们有估计值 $C$ $C$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0028.png}
\end{center}
对于某个常数 $C$ $>$ $0$。Poisson 方程。通过构造函数 $x$ $\mapsto$ $\Phi(x)$ 对于 $x$ $\ne$ $0$ 是调和的。如果我们将原点移至新点 $y$，则偏微分方程 $(1)$ 不变；因此 $x$ $\mapsto$ $\Phi(x$ $-$ $y)$ 也是 $x$ 的调和函数，$x$ $\ne$ $y$。现在让我们以 $f$ $:$ $\mathbb{R}^{n}$ $\to$ $R$ 为例，并注意映射 $x$ $\mapsto$ $\Phi(x$ $-$ $y)f(y)$ $(x$ $\ne$ $y)$ 对于每个点 $y$ $\in$ $\mathbb{R}^{n}$ 是调和的，因此为不同点构建的有限多个此类表达式的总和也是如此$y$。这个推理可能表明卷积



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0029.png}
\end{center}
$\mathbb{R}^{n}$ $(8)$ $1$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0030.png}
\end{center}
\[
\in t
\]

\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0031.png}
\end{center}
将求解拉普拉斯方程（$1$）。然而，这是错误的。事实上，正如估计 $(7)$ 所暗示的，$D2$ $\Phi(x$ $-$ $y)$ 在 $y$ $=$ $x$ 处的奇点附近不可求和，因此通过积分符号进行朴素微分是不合理的（并且是不正确的）。我们必须更加仔细地计算 $\Delta u$。为了简单起见，现在让我们设 $f$ $\in$ $Cc2$ $(\mathbb{R}^{n}$ $)$；也就是说，$f$ 是两次连续可导的，具有紧支持。定理 $1$（求解Poisson 方程）。由 $(8)$ 定义 $u$。然后


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0032.png}
\end{center}
于是，我们看到 $(8)$ 为我们提供了 $\mathbb{R}^{n}$ 中Poisson 方程 $(2)$ 的解的公式。


证明$.$ $1.$我们有



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0033.png}
\end{center}
因此


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0034.png}
\end{center}
$h$ $\mathbb{R}^{n}$ $h$ 其中 $h$ $\ne$ $0$ 且 $e$ $i$ $=$ $(0,$ $.$ $.$ $.$ $,$ $1,$ $.$ $.$ $.$ $,$ $0)$，第 $i$ 个时隙中的 $1$。但


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0035.png}
\end{center}
$h$ 于 $\mathbb{R}^{n}$ 上一致为 $h$ $\to$ $0$，因此



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0036.png}
\end{center}
$\mathbb{R}^{n}$ 同样



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0037.png}
\end{center}
$\mathbb{R}^{n}$ 由于$(10)$右边的表达式在变量中是连续的


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0038.png}
\end{center}
$2.$ 由于 $\Phi$ 在 $0$ 处爆炸，我们需要进行后续计算来将这个奇点隔离在一个小球内。所以修复 $\varepsilon$ $>$ $0$。然后



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0039.png}
\end{center}
$\coloneqq$ $I\varepsilon$ $+$ $J\varepsilon$ 。现在


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0040.png}
\end{center}
$B(0,\varepsilon)$ $C\varepsilon$ $(n$ $\ge$ $3)$。分部积分（参见\S\{\}C$.2$）得出



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0041.png}
\end{center}
$\partial f$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0042.png}
\end{center}
$\partial B(0,\varepsilon)$ $\partial\nu$ $\coloneqq$ $K$ $\varepsilon$ $+$ $L\varepsilon$ $,$


$\nu$ 表示沿 $\partial B(0,$ $\varepsilon)$ 法向的向内指向单元。我们很容易检查



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0043.png}
\end{center}
$\partial B(0,\varepsilon)$ $C\varepsilon$ $(n$ $\ge$ $3)$。


$3.$ 我们继续在 $K\varepsilon$ 项中再次进行分段积分，以发现 $\partial\Phi$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0044.png}
\end{center}
$\partial\nu\partial\Phi$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0045.png}
\end{center}
$\partial B(0,\varepsilon)$ $\partial\nu$


$-1$ $y$ 因为 $\Phi$ 是远离原点的谐波。现在 $D\Phi(y)$ $=$ $n\alpha(n)$ $|y|n$ $(y$ $\ne$ $0)$ 并且


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0046.png}
\end{center}
$\nu$ $=$ $|y|$ $=$ $-$ $\varepsilon$ 于 $\partial B(0,$ $\varepsilon)$。于是，在 $\partial B(0,$ $\varepsilon)$ 上有 $\partial\nu$ $(y)$ $=$ $\nu$ $\cdot$ $D\Phi(y)$ $=$ $n\alpha(n)\varepsilon n-1$。由于 $n\alpha(n)\varepsilon n-1$ 是球体 $\partial B(0,$ $\varepsilon)$ 的表面积，我们有



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0047.png}
\end{center}
$(15)$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0048.png}
\end{center}
$\partial B(x,\varepsilon)$


（请记住，\S\{\}A$.3$ 中，穿过积分符号的斜杠表示平均值。） $4.$ 现在组合 $(11)$–$(15)$ 并令 $\varepsilon$ $\to$ $0$，我们发现 $-\Delta u(x)$ $=$ $f(x)$，如所断言。                                                                $\square$


事实上，定理 $1$ 在 $f$ 的平滑度要求不那么严格的情况下是有效的：参见 Gilbarg–Trudinger $[$G$-$T$]$。基本解的解读。我们有时会写



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0049.png}
\end{center}
$\delta0$ 表示 $\mathbb{R}^{n}$ 上的狄拉克测度，给出点 $0$ 的单位质量。采用这种表示法，我们可以正式计算



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0050.png}
\end{center}
$\mathbb{R}^{n}$



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0051.png}
\end{center}
$\mathbb{R}^{n}$


根据定理 $1$。


\subsection{2.2.2\quad 平均值公式}
姿态 $u$ 是 $U$ 内的调和函数。接下来我们推导重要的平均值公式，它声明 $u(x)$ 等于球体 $\partial B(x,$ $r)$ 上 $u$ 的平均值和整个球 $B(x,$ $r)$ 上 $u$ 的平均值，前提是 $B(x,$ $r)$ $\subset$ $U$。正如我们稍后将看到的，这些涉及 $u$ 的隐式公式会产生大量后果。


定理 $2$（拉普拉斯方程的平均值公式）。若 $u$ $\in$ $C$ $2$ $(U)$ 是调和的，那么



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0052.png}
\end{center}
对于每个球 $B(x,$ $r)$ $\subset$ $U$。


证明$.$ $1.$ 设置



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0053.png}
\end{center}
$\partial B(x,r)$ $\partial B(0,1)$


然后


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0054.png}
\end{center}
$\partial B(0,1)$


于是，使用\S\{\}C$.2$中的格林公式，我们计算


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0055.png}
\end{center}
$\partial B(x,r)$ $r$ $\partial u$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0056.png}
\end{center}
$\partial B(x,r)$ $\partial\nu$ $r$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0057.png}
\end{center}
因此 $\phi$ 是常数，所以



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0058.png}
\end{center}
$\partial B(x,t)$


$2.$ 接下来观察我们使用极坐标，如\S\{\}C$.3$，给出$r$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0059.png}
\end{center}
$r$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0060.png}
\end{center}
定理 $3$（与均值性质相反）。若 $u$ $\in$ $C$ $2$ $(U)$ 满足



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0061.png}
\end{center}
$\partial B(x,r)$


对于每个球 $B(x,$ $r)$ $\subset$ $U$，则 $u$ 是调和的。


证明$.$若 $\Delta u$ $\not\equiv$ $0$，则存在某个球 $B(x,$ $r)$ $\subset$ $U$，例如，于 $B(x,$ $r)$ 内 $\Delta u$ $>$ $0$。但对于上面的$\phi$，$r$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0062.png}
\end{center}
矛盾。                                                                $\square$


\subsection{2.2.3\quad 调和函数的性质}
关于调和函数的有趣推论，全部基于平均值公式。假设以下 $U$ $\subset$ $\mathbb{R}^{n}$ 开且有界。一个。极大值原理性强，唯一性。我们首先断言调和函数必须在边界上达到最大值，并且不能在连通区域的内部达到最大值，除非它是常数。定理 $4$（强极大值原理）。设 $u$ $\in$ $C$ $2$ $(U)$ $\cap$ $C(U)$̄ 是 $U$ 内的调和。 （一）然后


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0063.png}
\end{center}
$U$̄$\partial U$


$($ii$)$ 此外，若 $U$ 是连通的并且存在一个点 $x0$ $\in$ $U$ 使得


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0064.png}
\end{center}
$U$̄


那么 $u$ 于 $U$ 内是常数。


断言 $($i$)$ 是拉普拉斯方程的极大值原理，$($ii$)$ 是强极大值原理。用 $-u$ 替换 $u$，我们也用“min”替换“max”恢复了类似的断言。


证明$.$假设存在一个点 $x0$ $\in$ $U$，且 $u(x0$ $)$ $=$ $M$ $\coloneqq$ max$U$̄ $u$。于是，对于 $0$ $<$ $r$ $<$ dist$(x0$ $,$ $\partial U)$，均值属性断言



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0065.png}
\end{center}
$B(x0,r)$


由于仅当 $u$ $\equiv$ $M$ 于 $B(x0$ $,$ $r)$ 内时等式才成立，因此对于所有 $y$ $\in$ $B(x0$ $,$ $r)$，我们看到 $u(y)$ $=$ $M$。因此集合 \{ $x$ $\in$ $U$ $\mid$ $u(x)$ $=$ $M$ \} 既是开集又是相对闭集


于 $U$ 中，因此若 $U$ 已连通，则等于 $U$。这证明了断言$($ii$)$，由此得出$($i$)$。                                                                   $\square$


积极性。强极大值原理特别断言，若 $U$ 连通且 $u$ $\in$ $C$ $2$ $(U)$ $\cap$ $C(U)$̄ 满足



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0066.png}
\end{center}
\[
\lbrace 
\]

\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0067.png}
\end{center}
其中 $g$ $\ge$ $0$，若 $g$ 在 $\partial U$ 上的某处为正，则 $u$ 于 $U$ 中的所有位置都为正。极大值原理的一个重要应用是确定Poisson 方程某些边值问题解的唯一性。


定理 $5$（唯一性）。设 $g$ $\in$ $C(\partial U),$ $f$ $\in$ $C(U)$。那么边值问题最多存在一个解 $u$ $\in$ $C$ $2$ $(U)$ $\cap$ $C(U)$̄



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0068.png}
\end{center}
$(17)$ \{


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0069.png}
\end{center}
证明$.$若 $u$ 和 $u$̃ 都满足 $(17)$，则将定理 $4$ 应用于调和函数


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0070.png}
\end{center}
b$.$规律性。接下来我们证明，若 $u$ $\in$ $C$ $2$ 是调和的，那么必然 $u$ $\in$ $C$ Infini 。因此调和函数自动无限可微。这种断言称为正则定理。有趣的一点是$n$，拉普拉斯方程 $\Delta u$ $=$ $\Sigma i=1$ $uxi$ $xi$ $=$ $0$ 的代数结构导致解析推论$u$ 的所有偏导数都存在，即使是那些没有出现在偏微分方程中的偏导数。


定理 $6$（平滑度）。若 $u$ $\in$ $C(U)$ 满足每个球 $B(x,$ $r)$ $\subset$ $U$ 的均值属性 $(16)$，则



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0071.png}
\end{center}
请仔细注意，直到 $\partial U$ 为止，$u$ 可能不平滑，甚至不连续。


证明$.$令 $\eta$ 为标准缓和器，如\S\{\}C$.5$ 中所述，并回想一下 $\eta$ 是径向函数。设 $u\varepsilon$ $\coloneqq$ $\eta\varepsilon$ $*$ $u$ 于 $U\varepsilon$ $=$ \{ $x$ $\in$ $U$ $\mid$ dist$(x,$ $\partial U)$ $>$ $\varepsilon$ \}。如图所示


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0072.png}
\end{center}
我们将通过证明事实上 $u$ $\equiv$ $u\varepsilon$ 于 $U\varepsilon$ 上证明 $u$ 是平滑的。事实上，若 $x$ $\in$ $U\varepsilon$ ，那么



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0073.png}
\end{center}
$U$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0074.png}
\end{center}
$\varepsilon$ $B(x,\varepsilon)$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $1$ $r$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0075.png}
\end{center}
$\varepsilon$ $0$ $\varepsilon$ $\partial B(x,r)$ $\varepsilon$ $1$ $r$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0076.png}
\end{center}
$\varepsilon$ $0$ $\varepsilon$



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0077.png}
\end{center}
$B(0,\varepsilon)$


因此 $u\varepsilon$ $\equiv$ $u$ 于 $U\varepsilon$ 中，因此对于每个 $\varepsilon$ $>$ $0$，$u$ $\in$ $C$ Infini $(U\varepsilon$ $)$。 $\square$


c$.$调和函数的局部估计。现在我们使用平均值公式来对调和函数的各种偏导数进行仔细估计。当我们证明分析性时，下面将需要这些估计的精确结构。


定理 $7$（导数估计）。设 $u$ 于 $U$ 中是调和的。然后$Ck$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0078.png}
\end{center}
对于每个球 $B(x0$ $,$ $r)$ $\subset$ $U$ 以及顺序为 $|\alpha|$ 的每个多重索引 $\alpha$ $=$ $k$。这里


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0079.png}
\end{center}
$\alpha(n)$ $\alpha(n)$


证明$.$ $1.$ 我们通过对 $k$ 进行归纳，建立 $(18)$、$(19)$，其中 $k$ $=$ $0$ 的情况直接来自平均值公式 $(16)$。对于 $k$ $=$ $1$，我们在对拉普拉斯方程微分时注意到 $uxi$ $(i$ $=$ $1,$ $\ldots,$ $n)$ 是调和的。最后



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0080.png}
\end{center}
$n$ $(20)$ $2$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0081.png}
\end{center}
$2n$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0082.png}
\end{center}
$r2$


现在，若 $x$ $\in$ $\partial B(x0$ $,$ $r/2)$，则 $B(x,$ $r/2)$ $\subset$ $B(x0$ $,$ $r)$ $\subset$ $U$，依此类推 $1$ $2$ $n$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0083.png}
\end{center}
$\alpha(n)$ $r$ 通过 $(18),$ $(19)$ 得到 $k$ $=$ $0$。结合上面的不等式，我们推出


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0084.png}
\end{center}
如果$|\alpha|$ $=$ $1.$ 这验证 $(18),$ $(19)$ 使得 $k$ $=$ $1$。 $2.$ 现在设 $k$ $\ge$ $2$ 且 $(18),$ $(19)$ 对于 $U$ 中的所有球以及阶数小于或等于 $k$ $-$ $1$ 的每个多重索引均有效。修复 $B(x0$ $,$ $r)$ $\subset$ $U$ 并让$\alpha$ 是具有 $|\alpha|$ 的多重索引$=$ $k$。那么对于某些 $i$ $\in$ \{$1,$ $.$ 。 。 $,$ $n$\}$,$ $|\beta|$ $=$ $k$ $-$ $1.$ 通过类似于 $(20)$ 的计算，我们得出 $nk$ $\beta$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0085.png}
\end{center}
$rk$



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0086.png}
\end{center}
$r$）$\subset B$（$x0$，$r$）$\subset U$。因此 $(18),$ $(19)$ 对于 $k-1$ 意味着


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0087.png}
\end{center}
$k-1$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0088.png}
\end{center}
结合之前的两个估计得出界限


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0089.png}
\end{center}
这证实了 $|\alpha|$ 的 $(18),$ $(19)$ $=$ $k$。                                              $\square$


d$.$Liouville定理。我们现在断言所有 $\mathbb{R}^{n}$ 上不存在非平凡有界调和函数。定理 $8$（Liouville定理）。设 $u$ $:$ $\mathbb{R}^{n}$ $\to$ $R$ 是调和且有界的。那么 $u$ 是常数。


证明$.$固定 $x0$ $\in$ $\mathbb{R}^{n}$ $,$ $r$ $>$ $0$，并将定理 $7$ 应用于 $B(x0$ $,$ $r)$： $\sqrt nC1$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0090.png}
\end{center}
$r$ 为 $r$ $\to$ $\infty$。因此 $Du$ $\ne$ $0$，因此 $u$ 是常数。                                       $\square$ 定理 $9$（表示公式）。设 $f$ $\in$ $Cc2$ $(\mathbb{R}^{n}$ $),$ $n$ $\ge$ $3$。则任意有界解


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0091.png}
\end{center}
有形式


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0092.png}
\end{center}
$\mathbb{R}^{n}$ 表示某个常数 $C$。


证明$.$由于 $\Phi(x)$ $\to$ $0$ 为 $|x|$ $\to$ $\infty$ 对于 $n$ $\ge$ $3$，$u(x)$̃ $\coloneqq$ $\int \mathbb{R}^{n}$ $\Phi(x$ $-$ $y)f(y)$ $dy$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中 $-\Delta u$ $=$ $f$ 的有界解。若 $u$ 是另一个解，根据Liouville定理，$w$ $\coloneqq$ $u$ $-$ $u$̃ 是常数。                                $\square$ 注$.$若 $n$ $=$ $2$，则 $\Phi(x)$ $=$ $-$ $2\pi$ log $|x|$是无界的 $|x|$ $\to$ 无穷大，所以可能


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0093.png}
\end{center}
e$.$分析性。我们改进定理 $6$：定理 $10$（分析性）。设 $u$ 于 $U$ 中是调和的。那么 $u$ 于 $U$ 中解析。


证明$.$ $1.$ 固定任意点$x0$ $\in$ $U$。我们必须证明 $u$ 可以由 $x0$ 的某个邻域内的收敛幂级数表示。 $1$ $1$ 设 $r$ $\coloneqq$ $4$ dist$(x0$ $,$ $\partial U)$。那么 $M$ $\coloneqq$ $\alpha(n)rn$ $\|u\|L1$ $(B(x0$ $,2r))$ $<$ $\infty$。 $2.$ 由于 $B(x,$ $r)$ $\subset$ $B(x0$ $,$ $2r)$ $\subset$ $U$ 对于每个 $x$ $\in$ $B(x0$ $,$ $r)$，定理 $7$ 提供了界限 $|\alpha|$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0094.png}
\end{center}
$rkk$现在$k$！ $<$ $ek$ 对于所有正整数 $k$，因此


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0095.png}
\end{center}
对于所有多重索引 $\alpha$。此外，多项式定理（\S\{\}$1.5$）意味着$|\alpha|$！


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0096.png}
\end{center}
$\alpha$！


何处


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0097.png}
\end{center}
结合之前的不等式得出估计 $|\alpha|$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0098.png}
\end{center}
$r$ $3.$ $u$ 在 $x0$ 处的泰勒级数为 $D\alpha$ $u(x0$ $)$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0099.png}
\end{center}
$\alpha\alpha$！


所有多重指数的总和。我们断言这个幂级数收敛，前提是$r$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0100.png}
\end{center}
为了验证这一点，让我们计算每个 $N$ 的余项：$N-1$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0101.png}
\end{center}
$\alpha$！


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0102.png}
\end{center}
$=$ $\Sigma$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0103.png}
\end{center}
$\alpha$！


对于某些 $0$ $\le$ $t$ $\le$ $1$，$t$ 取决于 $x$。我们通过写出第一个 $N$ 项以及对于一个变量 $g(t)$ $\coloneqq$ $u(x0$ $+$ $t(x$ $-$ $x0$ $))$ 的函数，在 $t$ $=$ $1$ 时泰勒展开式中关于 $0$ 的误差来建立该公式。采用 $(22),$ $(23)$，我们可以估计 $N$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0104.png}
\end{center}
$1$ $M$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0105.png}
\end{center}
$(2n)N$ $2$


有关解析函数和偏微分方程的更多信息，请参见\S\{\}$4.6.2$。 f$.$Harnack不等式。回想一下\S\{\}A$.2$，我们写 $V$ $\Subset$ $U$ 表示 $V$ $\subset$ $V$̄ $\subset$ $U$ 并且 $V$ ̄ 是紧凑的。


定理 $11$（Harnack不等式）。对于每个连通开集 $V$ $\Subset$ $U$，存在一个正常数 $C$，仅取决于 $V$，使得



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0106.png}
\end{center}
$VV$


对于 $U$ 中的所有非负调和函数 $u$。


因此特别是


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0107.png}
\end{center}
$C$ 对于所有点 $x,$ $y$ $\in$ $V$。这些不等式断言 $V$ 内的非负调和函数的值都是可比较的：$u$ 在 $V$ 的任何点都不能非常小（或非常大），除非 $u$ 在 $V$ 中的任何地方都非常小（或非常大）。直观的想法是，由于 $V$ 与 $\partial U$ 的距离为正，因此“拉普拉斯方程的平均效应有发生的空间”。


证明$.$设 $r$ $\coloneqq$ $4$ dist$(V,$ $\partial U)$。选择 $x,$ $y$ $\in$ $V,$ $|x$ $-$ $y|$ $\le$ $r$。然后



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0108.png}
\end{center}
$B(x,2r)$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0109.png}
\end{center}
$1$ $1$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0110.png}
\end{center}
由于 $V$ 是连通的并且 $V$ ̄ 是紧致的，我们可以用有限的 $r$ 链来覆盖 $V$ ̄


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0111.png}
\end{center}
$i=1$ ，每个半径为 $2$ 且 $Bi$ $\cap Bi-1$ $\ne$ $\emptyset$ 对于 $i$ $=$ $2$，$.$ 。 。 ，$N$。然后


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0112.png}
\end{center}
\subsection{2.2.4\quad 格林函数}
$C$ $1$ $.$接下来我们建议获得Poisson 方程解的通用表示公式


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0113.png}
\end{center}
符合规定的边界条件


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0114.png}
\end{center}
一个。Green 函数的推导。设 $u$ $\in$ $C$ $2$ $(U)$̄ 是任意函数。固定 $x$ $\in$ $U$，选择 $\varepsilon$ $>$ $0$ 如此小，使得 $B(x,$ $\varepsilon)$ $\subset$ $U$，并在区域 $V\varepsilon$ $\coloneqq$ $U$ $-$ $B(x,$ $\varepsilon)$ 到 $u(y)$ 上应用\S\{\}C$.2$ 中的格林公式，并且$\Phi(y-x)$。由此我们计算出



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0115.png}
\end{center}
$V\varepsilon$ $(24)$ $\partial\Phi$ $\partial u$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0116.png}
\end{center}
$\partial V\varepsilon$ $\partial\nu$ $\partial\nu$


$\nu$ 表示 $\partial V\varepsilon$ 上的外部单位法向量。回想下一个 $\Delta\Phi(x$ $-$ $y)$ $=$ $0$，因为 $x$ $\ne$ $y$。我们还观察到$\partial u$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0117.png}
\end{center}
$\partial B(x,\varepsilon)$ $\partial\nu$ $\partial B(0,\varepsilon)$


为 $\varepsilon$ $\to$ $0$。此外，定理 $1$ 证明中的计算表明 $\partial\Phi$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0118.png}
\end{center}
$\partial B(x,\varepsilon)$ $\partial\nu$ $\partial B(x,\varepsilon)$


因为 $\varepsilon$ $\to$ $0$。于是，我们在 $(24)$ 中发送 $\varepsilon$ $\to$ $0$ 得出公式 $\partial u$ $\partial\Phi$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0119.png}
\end{center}
$\partial U\partial\nu\partial\nu$ $(25)$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0120.png}
\end{center}
$U$ ̄ 此恒等式对于任何点 $x$ $\in$ $U$ 和任何函数 $u$ $\in$ $C$ $2$ $(U)$ 都有效。现在，如果我们知道 $U$ 内的 $\Delta u$ 值以及沿 $\partial U$ 的 $u$、$\partial u/\partial\nu$ 值，公式 $(25)$ 将允许我们求解 $u(x)$。然而，对于我们对具有规定的 $u$ 边界值的Poisson 方程的应用，沿 $\partial U$ 的法态导数 $\partial u/\partial\nu$ 对我们来说是未知的。于是，我们必须以某种方式修改（$25$）以删除该术语。现在的想法是为固定$x$引入校正器函数$\phi x$ $=$ $\phi x$ $(y)$，求解边值问题


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0121.png}
\end{center}
让我们再次应用格林公式来计算 $\partial\phi x$ $\partial u$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0122.png}
\end{center}
$U$ $\partial U$ $\partial\nu$ $\partial\nu$ $(27)$ $\partial\phi x$ $\partial u$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0123.png}
\end{center}
$\partial U$ $\partial\nu$ $\partial\nu$ 接下来我们介绍这个定义。区域 $U$ 的Green 函数为


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0124.png}
\end{center}
采用这个术语并将（$27$）添加到（$25$），我们发现$\partial G$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0125.png}
\end{center}
$\partial U\partial\nu U$哪里$\partial G$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0126.png}
\end{center}
$\partial\nu$ 是 $G$ 对于变量 $y$ 的外正规导数。观察到项 $\partial u/\partial\nu$ 没有出现在方程（$28$）中：我们引入校正器 $\phi x$ 正是为了实现这一点。假设现在 $u$ $\in$ $C$ $2$ $(U)$̄ 求解了边值问题


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0127.png}
\end{center}
$(29)$ \{


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0128.png}
\end{center}
对于给定的连续函数 $f,$ $g$。代入$(28)$，我们得到定理 $12$（使用Green 函数的表示公式）。若 $u$ $\in$ $C$ $2$ $(U)$̄ 求解问题 $(29)$，则 $\partial G$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0129.png}
\end{center}
$\partial U\partial\nu U$


这里我们有一个求解边值问题（$29$）的公式，只要我们可以为给定域 $U$ 构造Green 函数 $G$。这通常是一件困难的事情，只有当 $U$ 具有简单的几何形状时才能完成。后续小节确定了一些可以显式计算 $G$ 的特殊情况。解释Green 函数。修复 $x$ $\in$ $U$。那么将$G$视为$y$的函数，我们可以象征性地写成


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0130.png}
\end{center}
\{ $\partial U$ 上的 $G$ $=$ $0$，$\delta x$ 表示狄拉克测度，为点 $x$ 提供单位质量。在继续具体示例之前，让我们记录一下 $G$ 在变量 $x$ 和 $y$ 中对称的一般断言：定理 $13$（Green 函数的对称性）。对于所有 $x,$ $y$ $\in$ $U,$ $x$ $\ne$ $y$，我们有


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0131.png}
\end{center}
证明$.$修复 $x$，$y$ $\in$ $U$，$x$ $\ne$ $y$。写


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0132.png}
\end{center}
那么 $\Delta v(z)$ $=$ $0$ $(z$ $\ne$ $x)$，$\Delta w(z)$ $=$ $0$ $(z$ $\ne$ $y)$ 且 $\partial U$ 上的 $w$ $=$ $v$ $=$ $0$。于是，我们在 $V$ $\coloneqq$ $U$ $-$ $[B(x,$ $\varepsilon)$ $\cup$ $B(y,$ $\varepsilon)]$ 上应用格林恒等式，对于足够小的 $\varepsilon$ $>$ $0$ 产生


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0133.png}
\end{center}
$\partial B(x,\varepsilon)$ $\partial\nu$ $\partial\nu$ $\partial B(y,\varepsilon)$ $\partial\nu$ $\partial\nu$ $\nu$ 表示 $\partial B(x,$ $\varepsilon)$ 上的向内指向单位向量场$\cup\partial B$（$y$，$\varepsilon$）。现在 $w$ 在 $x$ 附近是平滑的，从那里 $\partial w$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0134.png}
\end{center}
$\partial B(x,\varepsilon)$ $\partial\nu$ $\partial B(x,\varepsilon)$


另一方面，$v(z)$ $=$ $\Phi(z$ $-$ $x)$ $-$ $\phi x$ $(z)$，其中$\phi x$ 于 $U$ 中是平滑的。因此 $\partial v$ $\partial\Phi$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0135.png}
\end{center}
$\varepsilon\to0$ $\partial B(x,\varepsilon)$ $\partial\nu$ $\varepsilon\to0$ $\partial B(x,\varepsilon)$ $\partial\nu$


通过定理 $1$ 证明中的计算。于是，$(31)$ 的左侧收敛于 $w(x)$，因为 $\varepsilon$ $\to$ $0$。同样，右侧收敛于 $v(y)$。最后


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0136.png}
\end{center}
b$.$半空间的Green 函数。在本节和下一小节中，我们将为两个具有简单几何形状的区域构建Green 函数，即半空间 $\mathbb{R}^{n}+$ 和单位球 $B(0,$ $1)$。一切都取决于我们在这些区域中明确求解校正器问题（$26$），而这又取决于一些巧妙的几何反射技巧。首先我们考虑半空间


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0137.png}
\end{center}
尽管该区域是无界的，因此上一节中的计算并不直接适用，但我们将尝试使用之前提出的想法来构建Green 函数。当然，稍后我们必须直接检查相应的表示公式是否有效。定义。若 $x$ $=$ $(x1$ $,$ $.$ $.$ $.$ $,$ $xn-1$ $,$ $xn$ $)$ $\in$ $\mathbb{R}^{n}+$ ，则其在平面 $\partial \mathbb{R}^{n}+$ 中的反射就是该点


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0138.png}
\end{center}
我们将通过设置来求解半空间的问题（$26$）


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0139.png}
\end{center}
这个想法是，校正器 $\phi x$ 是通过“反映奇点”从 $\Phi$ 构建的，从 $x$ $\in$ $\mathbb{R}^{n}+$ 到 $x$̃ $\notin$ $\mathbb{R}^{n}+$ 。我们注意到


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0140.png}
\end{center}
因此


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0141.png}
\end{center}
\{ $x$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0142.png}
\end{center}
根据需要。定义。半空间 $\mathbb{R}^{n}+$ 的Green 函数为


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0143.png}
\end{center}
然后


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0144.png}
\end{center}
$=$ $[-]$。


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0145.png}
\end{center}
因此若 $y$ $\in$ $\partial \mathbb{R}^{n}+$ $,$ $\partial G$ $2xn$ $1$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0146.png}
\end{center}
假设现在 $u$ 求解了边值问题


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0147.png}
\end{center}
$(32)$ \{


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0148.png}
\end{center}
然后从 $(30)$ 我们期望


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0149.png}
\end{center}
\[
+
\]

是我们解的表示公式。函数 $2xn$ $1$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0150.png}
\end{center}
是 $\mathbb{R}^{n}+$ 的泊松核，$(33)$ 是Poisson 公式。现在我们必须直接检查公式（$33$）确实为我们提供了边值问题（$32$）的解。


定理 $14$（半空间Poisson 公式）。假设$g$ $\in$ $C(\mathbb{R}^{n}-1$ $)$ $\cap$ $L\infty$ $(\mathbb{R}^{n}-1$ $)$，并通过$(33)$定义$u$。然后


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0151.png}
\end{center}
$($iii$)$ lim$0$ $u(x)$ $=$ $g(x0$ $)$ 对于每个点 $x0$ $\in$ $\partial \mathbb{R}^{n}+$ 。


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0152.png}
\end{center}
\[
+
\]

证明$.$ $1.$ 对于每个固定 $x$，映射 $y$ $\mapsto$ $G(x,$ $y)$ 是调和的，除了 $y$ $=$ $x$。由于 $G(x,$ $y)$ $=$ $G(y,$ $x)$，所以 $x$ $\mapsto$ $G(x,$ $y)$ 是调和的，除了 $x$ $=$ $y$。因此 $x$ $\mapsto$ $\partial G$ $-$ $\partial y$ $(x,$ $y)$ $=$ $K(x,$ $y)$ 是 $x$ $\in$ $\mathbb{R}^{n}+$ $,$ $y$ $\in$ $\partial \mathbb{R}^{n}+$ 的调和。 $n$


$2.$ 直接计算（我们省略其细节）验证



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0153.png}
\end{center}
$\partial \mathbb{R}^{n}$ $+$


对于每个 $x$ $\in$ $\mathbb{R}^{n}+$ 。由于 $g$ 有界，由 $(33)$ 定义的 $u$ 同样有界。由于 $x$ $\mapsto$ $K(x,$ $y)$ 对于 $x$ $\ne$ $y$ 是平滑的，我们也可以轻松验证 $u$ $\in$ $C$ $\infty$ $(\mathbb{R}^{n}+$ $)$，



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0154.png}
\end{center}
$\partial \mathbb{R}^{n}$ $+$


$3.$ 现在修复 $x0$ $\in$ $\partial \mathbb{R}^{n}+$ $,$ $\varepsilon$ $>$ $0$。选择 $\delta$ $>$ $0$ 如此小，使得


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0155.png}
\end{center}
$\delta$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0156.png}
\end{center}
\[
|                           |
\]

\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0157.png}
\end{center}
$\partial R+$



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0158.png}
\end{center}
$\partial \mathbb{R}^{n}$ $0$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0159.png}
\end{center}
$\coloneqq I+J$。现在 $(34),$ $(35)$ 意味着



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0160.png}
\end{center}
$\partial \mathbb{R}^{n}$ $+$


$\delta$ 此外，若 $|x$ $-$ $x0$ $|$ $\le$ $2$ 且 $|y$ $-$ $x0$ $|$ $\ge$ $\delta$，我们有 $\delta$ $1$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0161.png}
\end{center}
$2$ $2$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0162.png}
\end{center}
$\partial \mathbb{R}^{n}$ $0$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0163.png}
\end{center}
\[
+
\]


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0164.png}
\end{center}
将此计算与估计 $(36)$ 相结合，我们推导出 $|u(x)$ $-$ $g(x0$ $)|$ $\le$ $2\varepsilon$，设 $|x$ $-$ $x0$ $|$足够小。                                   $\square$


c$.$球的Green 函数。为了构造单位球 $B(0,$ $1)$ 的Green 函数，我们将再次使用一种反射，这次是通过球体 $\partial B(0,$ $1)$。


定义。若 $x$ $\in$ $\mathbb{R}^{n}$ $-$ \{$0$\}，则点 $x$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0165.png}
\end{center}
称为 $x$ 关于 $\partial B(0,$ $1)$ 的对偶点。映射 $x$ $\mapsto$ $x$̃ 是通过单位球体 $\partial B(0,$ $1)$ 进行反转。


现在，我们通过球体进行反演来计算单位球的Green 函数 $U$ $=$ $B$ $0$ $(0,$ $1)$。固定 $x$ $\in$ $B$ $0$ $(0,$ $1)$。请记住，我们必须找到一个校正函数 $\phi x$ $=$ $\phi x$ $(y)$ 求解


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0166.png}
\end{center}
那么Green 函数就是


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0167.png}
\end{center}
现在的想法是“反转奇点”，从 $x$ $\in$ $B$ $0$ $(0,$ $1)$ 到 $x$̃ $\notin$ $B(0,$ $1)$。暂时设 $n$ $\ge$ $3$。现在映射 $y$ $\mapsto$ $\Phi(y$ $-$ $x)$̃ 是 $y$ $\ne$ $x$ 的调和。̃ 因此 $y$ $\mapsto$ $|x|2-n$ $\Phi(y$ $-$ $x)$̃ 是 $y$ $\ne$ 的调和。 $x$、̃ 等等


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0168.png}
\end{center}
̃ 于 $U$ 中是谐音。此外，若 $y$ $\in$ $\partial B(0,$ $1)$ 且 $x$ $\ne$ $0$，


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0169.png}
\end{center}
̃ $-(n-2)$ $=$ $|x$ $-$ $y|-(n-2)$ 。最后


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0170.png}
\end{center}
根据需要。定义。单位球的Green 函数为 $(41)$ ̃


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0171.png}
\end{center}
相同的公式对于 $n$ $=$ $2$ 也有效。现在设 $u$ 求解了边值问题


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0172.png}
\end{center}
$(42)$ \{


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0173.png}
\end{center}
然后使用 $(30)$，我们看到 $\partial G$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0174.png}
\end{center}
$\partial B(0,1)$ $\partial\nu$ 根据公式$(41)$，


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0175.png}
\end{center}
但


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0176.png}
\end{center}
而且此外


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0177.png}
\end{center}
̃ $n$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0178.png}
\end{center}
若 $y$ $\in$ $\partial B(0,$ $1)$。因此$n\partial G$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0179.png}
\end{center}
$\partial\nu$ $i=1$ $n$ $-1$ $1$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0180.png}
\end{center}
$=$ 。


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0181.png}
\end{center}
因此式$(43)$可得表示式


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0182.png}
\end{center}
假设现在代替 $(42)$ $u$ 求解边值问题


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0183.png}
\end{center}
$(44)$ \{


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0184.png}
\end{center}
\[
\tilde{}
\]

\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0185.png}
\end{center}
$=$ $u(rx)$ 求解 $(42)$，用 $g(x)$ $=$ $g(rx)$ 替换 $g$。我们改变变量以获得Poisson 公式


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0186.png}
\end{center}
功能


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0187.png}
\end{center}
是球 $B(0,$ $r)$ 的泊松核。我们在（$44$）存在平滑解的假设下建立了（$45$）。接下来我们断言这个公式实际上给出了一个解：定理 $15$（球的Poisson 公式）。设 $g$ $\in$ $C(\partial B(0,$ $r))$ 并通过 $(45)$ 定义 $u$。然后


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0188.png}
\end{center}
$($iii$)$ 对于每个点 $x0$ $\in$ $\partial B(0,$ $r)$，lim $u(x)$ $=$ $g(x0$ $)$。


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0189.png}
\end{center}
证明与定理 $14$ 类似，留作练习。


\subsection{2.2.5\quad 能量方法}
依赖于相当明确的表示公式，其中包含基本解、Green 函数等。在本结论小节中，我们将说明一些“能量”方法，也就是说涉及各种表达式的 $L2$ 范数的技术。这些想法预示了第二部分和第三部分后来的理论发展。一个。独特性。首先考虑边值问题


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0190.png}
\end{center}
$(46)$ \{


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0191.png}
\end{center}
我们已经在\S\{\}$2.2.3$中使用了极大值原理来证明唯一性，但现在我们提出一个简单的替代证明$.$设 $U$ 是开集、有界的，并且 $\partial U$ 是 $C$ $1$ 。


定理 $16$（唯一性）。 $(46)$ 至多存在一个解 $u$ $\in$ $C$ $2$ $(U)$̄。


证明$.$设 $u$̃ 是另一个解，并设置 $w$ $\coloneqq$ $u$ $-$ $u.$̃ 则 $U$ 中的 $\Delta w$ $=$ $0$，因此分部积分显示



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0192.png}
\end{center}
$UU$


因此 $U$ 中的 $Dw$ $\ne$ $0$，并且由于 $\partial U$ 上的 $w$ $=$ $0$，我们推导出 $U$ 中的 $w$ $=$ $u$ $-$ $u$̃ $\equiv$ $0$。         $\square$


b$.$Dirichlet原理。接下来让我们证明Poisson 方程的边值问题 $(46)$ 的解可以表征为适当泛函的最小值。为此，我们定义能量泛函


\begin{center}
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\end{center}
$U$ $w$ 属于可接受集合


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0194.png}
\end{center}
定理 $17$（Dirichlet原理）。设 $u$ $\in$ $C$ $2$ $(U)$̄ 求解 $(46)$。然后


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0195.png}
\end{center}
相反，若 $u$ $\in$ $\mathcal{A}$ 满足 $(47)$，则 $u$ 求解边值问题 $(46)$。


换句话说，若 $u$ $\in$ $\mathcal{A}$，则 PDE $-\Delta u$ $=$ $f$ 等价于$u$ 最小化 $\mathcal{A}$ 中函数的能量 $I[$ $\cdot$ $]$。


证明$.$ $1.$ 选择$w$ $\in$ $\mathcal{A}$。那么 $(46)$ 意味着



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0196.png}
\end{center}
$U$


零件集成产生



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0197.png}
\end{center}
$U$


并且不存在边界项，因为 $\partial U$ 上的 $u$ $-$ $w$ $=$ $g$ $-$ $g$ $\equiv$ $0$。因此



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0198.png}
\end{center}
$U$ $U$ $1$ $1$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0199.png}
\end{center}
$U$ $2$ $U$ 我们采用了估计值 $1$ $1$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0200.png}
\end{center}
$2$ $2$ 根据柯西$-$施瓦茨和柯西不等式 $($\S\{\}B$.2)$。重新整理一下，我们得出结论


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0201.png}
\end{center}
由于 $u$ $\in$ $\mathcal{A}$，$(47)$ 由 $(48)$ 推出。 $2.$ 现在，相反，设 $(47)$ 成立。修复任意 $v$ $\in$ $Cc\infty$ $(U)$ 并写出


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0202.png}
\end{center}
由于对于每个 $u$ $+$ $\tau v$ $\in$ $\mathcal{A}$，标量函数 $i(\cdot)$ 的最小值为零，因此 $d$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0203.png}
\end{center}
$d\tau$ 前提是该导数存在。但


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0204.png}
\end{center}
$U$ $1$ $\tau2$


\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0205.png}
\end{center}
$U$ $2$ $2$ 因此



\begin{center}
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{evans_formula_crops/formula_xmlgroup_0206.png}
\end{center}
$UU$


该恒等式对于每个函数 $v$ $\in$ $Cc\infty$ $(U)$ 都有效，因此 $U$ 中的 $-\Delta u$ $=$ $f$。   $\square$


Dirichlet原理是变分法应用于拉普拉斯方程的一个实例。更多信息请参见第 $8$ 章。


