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\providecommand{\fint}{\mathop{\ooalign{$\int$\cr$-$}}\nolimits}

\begin{document}

\begin{center}
  {\Huge\bfseries 第 2 章\quad 四个重要的线性偏微分方程}\par
  \vspace{1em}
  {\large Lawrence C. Evans, \emph{Partial Differential Equations}, Second Edition}
\end{center}


\tableofcontents
\newpage
在本章中，我们介绍四个基本的线性偏微分方程，对它们可以写出各种显式解公式。它们是
\[
\begin{aligned}
&\text{输运方程} && u_t+b\cdot Du=0 &&(\S 2.1),\\
&\text{Laplace 方程} && \Delta u=0 &&(\S 2.2),\\
&\text{热方程} && u_t-\Delta u=0 &&(\S 2.3),\\
&\text{波方程} && u_{tt}-\Delta u=0 &&(\S 2.4).
\end{aligned}
\]

在继续之前，读者应先回顾附录 B 和 C 中关于不等式、分部积分、Green 公式、卷积等内容的讨论，并在需要时随时回查。

\section{2.1. 输运方程}

最简单的偏微分方程之一，是具有常系数的输运方程。它是偏微分方程
\begin{equation}
  u_t+b\cdot Du=0 \qquad \text{于 } \R^n\times(0,\infty),
\end{equation}
其中 $b$ 是 $\R^n$ 中的一个固定向量，
\[
  b=(b_1,\ldots,b_n),
\]
而 $u:\R^n\times[0,\infty)\to\R$ 是未知函数，$u=u(x,t)$。这里
$x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n$ 表示空间中的典型点，$t\ge0$ 表示典型时间。我们记
\[
  Du=D_xu=(u_{x_1},\ldots,u_{x_n})
\]
为 $u$ 关于空间变量 $x$ 的梯度。

哪些函数 $u$ 求解 (1)？为了回答这个问题，先暂时假定我们已经有一个光滑解 $u$，并试图把它计算出来。首先要注意，偏微分方程 (1) 断言 $u$ 的某个方向导数为零。固定任意点
$(x,t)\in\R^n\times(0,\infty)$，并定义
\[
  z(s)\coloneqq u(x+sb,t+s)\qquad (s\in\R).
\]
于是
\[
  \dot z(s)
  =Du(x+sb,t+s)\cdot b+u_t(x+sb,t+s)=0
  \qquad
  \left(\dot z=\frac{dz}{ds}\right),
\]
其中第二个等号由 (1) 得出。因此 $z(\cdot)$ 是 $s$ 的常数函数。于是，对每个点 $(x,t)$，函数 $u$ 在经过 $(x,t)$ 且方向为 $(b,1)\in\R^{n+1}$ 的直线上为常数。因此，只要知道每条这样的直线上任一点处 $u$ 的值，就知道了 $u$ 在整个 $\R^n\times(0,\infty)$ 中的值。

\subsection{2.1.1. 初值问题}

为确定起见，考虑初值问题
\begin{equation}
\begin{cases}
u_t+b\cdot Du=0, & \text{于 } \R^n\times(0,\infty),\\
u=g,             & \text{于 } \R^n\times\{t=0\}.
\end{cases}
\end{equation}
这里 $b\in\R^n$ 和 $g:\R^n\to\R$ 已知，问题是求 $u$。给定如上的 $(x,t)$，经过 $(x,t)$ 且方向为 $(b,1)$ 的直线可参数化为
\[
  (x+sb,t+s)\qquad (s\in\R).
\]
当 $s=-t$ 时，这条直线在点 $(x-tb,0)$ 处与平面
\[
  \Gamma\coloneqq \R^n\times\{t=0\}
\]
相交。由于 $u$ 在该直线上为常数，且
\[
  u(x-tb,0)=g(x-tb),
\]
我们推出
\begin{equation}
  u(x,t)=g(x-tb)\qquad (x\in\R^n,\ t\ge0).
\end{equation}
所以，若 (2) 有足够正则的解 $u$，它必定由 (3) 给出。反过来，直接检验也很容易：若 $g$ 属于 $C^1$，则由 (3) 定义的 $u$ 确实是 (2) 的解。

\paragraph{弱解.}
若 $g$ 不是 $C^1$，则 (2) 显然没有 $C^1$ 解。但即便在这种情形下，公式 (3) 仍然给出一个强有力的、事实上也是唯一合理的解候选。因此，即使 $g$ 不是 $C^1$，我们仍可以非正式地称
\[
  u(x,t)=g(x-tb)\qquad (x\in\R^n,\ t\ge0)
\]
为 (2) 的弱解。即使 $g$ 以及 $u$ 不连续，这个说法仍有意义。一个非光滑、甚至不连续的函数有时也可以求解偏微分方程；稍后在第 3.4 节研究非线性输运现象时，我们还会再次遇到这一观念。

\subsection{2.1.2. 非齐次问题}

下面考察相应的非齐次问题
\begin{equation}
\begin{cases}
u_t+b\cdot Du=f, & \text{于 } \R^n\times(0,\infty),\\
u=g,             & \text{于 } \R^n\times\{t=0\}.
\end{cases}
\end{equation}
像前面一样固定 $(x,t)\in\R^n\times(0,\infty)$。受上述计算启发，令
\[
  z(s)\coloneqq u(x+sb,t+s)\qquad (s\in\R).
\]
则
\[
  \dot z(s)
  =Du(x+sb,t+s)\cdot b+u_t(x+sb,t+s)
  =f(x+sb,t+s).
\]
因此
\[
\begin{aligned}
u(x,t)-g(x-tb)
  &=z(0)-z(-t)\\
  &=\int_{-t}^{0}\dot z(s)\,ds\\
  &=\int_{-t}^{0}f(x+sb,t+s)\,ds\\
  &=\int_{0}^{t}f(x+(s-t)b,s)\,ds.
\end{aligned}
\]
于是
\begin{equation}
  u(x,t)=g(x-tb)+\int_0^t f(x+(s-t)b,s)\,ds
  \qquad (x\in\R^n,\ t\ge0)
\end{equation}
求解初值问题 (4)。

稍后在第 2.4.1 节中，我们将使用这个公式来求解一维波方程。

\paragraph{注.}
注意，我们推导 (3)、(5) 中的解，实质上是把偏微分方程化成了常微分方程。这个过程是特征线方法的一个特例；该方法将在第 3.2 节中展开。

\section{2.2. Laplace 方程}

在所有偏微分方程中，最重要的无疑包括 Laplace 方程
\begin{equation}
  \Delta u=0
  \tag{1}
\end{equation}
和 Poisson 方程\footnote{我宁愿在 (2) 中写上负号，以便同第 6 章中一般二阶椭圆算子的记号保持一致。}
\begin{equation}
  -\Delta u=f.
  \tag{2}
\end{equation}
在 (1) 和 (2) 中，$x\in U$，未知函数为
\[
  u:\overline U\to\R,\qquad u=u(x),
\]
其中 $U\subset\R^n$ 是给定的开集。在 (2) 中，函数
$f:U\to\R$ 也是给定的。回忆第 A.3 节中 $u$ 的 Laplace 算子定义为
\[
  \Delta u\coloneqq \sum_{i=1}^n u_{x_i x_i}.
\]

\paragraph{定义.}
满足 (1) 的 $C^2$ 函数 $u$ 称为调和函数。

\paragraph{物理解释.}
Laplace 方程出现在各种各样的物理背景中。一个典型解释是，$u$ 表示某种处于平衡状态的量（例如化学浓度）的密度。那么若 $V$ 是 $U$ 内任一光滑子区域，$u$ 通过 $\partial V$ 的净通量为零：
\[
  \int_{\partial V} F\cdot\bsnu\,\dd S=0,
\]
其中 $F$ 表示通量密度，$\bsnu$ 表示单位外法向量场。由 Gauss--Green 定理（第 C.2 节）可知
\[
  \int_V \operatorname{div}F\,\dd x
  =\int_{\partial V}F\cdot\bsnu\,\dd S=0,
\]
于是
\begin{equation}
  \operatorname{div}F=0\qquad \text{于 }U,
  \tag{3}
\end{equation}
因为 $V$ 是任意的。在许多情形下，从物理上说，假设通量 $F$ 与梯度 $Du$ 成比例但方向相反是合理的（因为流动从较高浓度区域流向较低浓度区域）。因此
\begin{equation}
  F=-aDu\qquad (a>0).
  \tag{4}
\end{equation}
代入 (3)，便得到 Laplace 方程
\[
  \operatorname{div}(Du)=\Delta u=0.
\]
若 $u$ 表示
\[
\begin{cases}
\text{化学浓度},\\
\text{温度},\\
\text{静电势},
\end{cases}
\]
则方程 (4) 分别是
\[
\begin{cases}
\text{Fick 扩散定律},\\
\text{Fourier 热传导定律},\\
\text{Ohm 电传导定律}.
\end{cases}
\]
关于 Laplace 方程在数学物理中的普遍性，可参见 Feynman--Leighton--Sands [F--L--S, Chapter 12] 的讨论。Laplace 方程同样出现在解析函数研究以及 Brownian 运动的概率研究中。

\subsection{2.2.1. 基本解}

\paragraph{a. 基本解的推导.}
研究任何偏微分方程的一个好策略，是先找出若干显式解；然后在偏微分方程是线性的前提下，把较复杂的解由这些已经找到的特殊解组合出来。此外，在寻找显式解时，通常明智的做法是把注意力限制在具有某些对称性的函数类上。由于 Laplace 方程在旋转下不变（问题 2），因此似乎应当首先寻找径向解，也就是 $r=|x|$ 的函数。

所以我们尝试在 $U=\R^n$ 中寻找 Laplace 方程 (1) 的一个解 $u$，其形式为
\[
  u(x)=v(r),
\]
其中
\[
  r=|x|=(x_1^2+\cdots+x_n^2)^{1/2},
\]
而 $v$ 待选取，使得（若可能）$\Delta u=0$ 成立。首先注意到，对于 $i=1,\ldots,n$，
\[
  \frac{\partial r}{\partial x_i}
  =\frac12(x_1^2+\cdots+x_n^2)^{-1/2}2x_i
  =\frac{x_i}{r}\qquad (x\ne0).
\]
因此
\[
  u_{x_i}=v'(r)\frac{x_i}{r},\qquad
  u_{x_i x_i}=v''(r)\frac{x_i^2}{r^2}
  +v'(r)\left(\frac1r-\frac{x_i^2}{r^3}\right),
\]
对 $i=1,\ldots,n$ 成立，从而
\[
  \Delta u=v''(r)+\frac{n-1}{r}v'(r).
\]
于是 $\Delta u=0$ 当且仅当
\begin{equation}
  v''+\frac{n-1}{r}v'=0.
  \tag{5}
\end{equation}
若 $v'\ne0$，则推出
\[
  \bigl(\log |v'|\bigr)'=\frac{v''}{v'}=\frac{1-n}{r},
\]
因而对于某个常数 $a$，
\[
  v'(r)=\frac{a}{r^{\,n-1}}.
\]
所以若 $r>0$，则
\[
  v(r)=
  \begin{cases}
    b\log r+c, & n=2,\\[0.4em]
    \dfrac{b}{r^{\,n-2}}+c, & n\ge3,
  \end{cases}
\]
其中 $b,c$ 为常数。

这些考察引出如下定义。

\paragraph{定义.}
函数
\begin{equation}
  \Phi(x)\coloneqq
  \begin{cases}
    -\dfrac1{2\pi}\log |x|, & n=2,\\[0.8em]
    \dfrac1{n(n-2)\alpha(n)}\dfrac1{|x|^{\,n-2}}, & n\ge3,
  \end{cases}
  \tag{6}
\end{equation}
定义在 $x\in\R^n,\ x\ne0$ 上，称为 Laplace 方程的基本解。

(6) 中常数的特殊选取，马上就会显出其原因。（回忆第 A.2 节，$\alpha(n)$ 表示 $\R^n$ 中单位球的体积。）有时我们会稍微滥用记号，写作 $\Phi(x)=\Phi(|x|)$，以强调基本解是径向的。还要注意，对某个常数 $C>0$，有估计
\begin{equation}
  |D\Phi(x)|\le \frac{C}{|x|^{\,n-1}},\qquad
  |D^2\Phi(x)|\le \frac{C}{|x|^{\,n}}
  \qquad (x\ne0).
  \tag{7}
\end{equation}

\paragraph{b. Poisson 方程.}
按构造，函数 $x\mapsto \Phi(x)$ 在 $x\ne0$ 处是调和的。若把原点平移到一个新点 $y$，偏微分方程 (1) 不变；所以作为 $x$ 的函数，$x\mapsto\Phi(x-y)$ 在 $x\ne y$ 处也调和。现在取 $f:\R^n\to\R$，并注意到对每个点 $y\in\R^n$，映射
\[
  x\mapsto\Phi(x-y)f(y)\qquad (x\ne y)
\]
是调和的；因此，由不同点 $y$ 构造出的有限多个这样的表达式之和仍然调和。

这个推理可能暗示，卷积
\begin{equation}
\begin{aligned}
  u(x)
    &=\int_{\R^n}\Phi(x-y)f(y)\,\dd y                                      \\
    &=
    \begin{cases}
      -\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int_{\R^2}\log(|x-y|)f(y)\,\dd y,
        & n=2,\\[1.1em]
      \dfrac1{n(n-2)\alpha(n)}
      \displaystyle\int_{\R^n}\dfrac{f(y)}{|x-y|^{\,n-2}}\,\dd y,
        & n\ge3
    \end{cases}
\end{aligned}
\tag{8}
\end{equation}
会求解 Laplace 方程 (1)。然而，这是错误的。事实上，如估计 (7) 所提示的，$D^2\Phi(x-y)$ 在奇点 $y=x$ 附近不可积，因此朴素地在积分号下求导并没有根据（而且是不正确的）。在计算 $\Delta u$ 时，我们必须更加小心。

为简单起见，现在假设 $f\in C_c^2(\R^n)$；也就是说，$f$ 二阶连续可微并且具有紧支集。

\paragraph{定理 1（Poisson 方程的求解）.}
由 (8) 定义 $u$。那么
\[
  \text{(i) }u\in C^2(\R^n),\qquad
  \text{(ii) }-\Delta u=f\quad\text{于 }\R^n.
\]
于是我们看到，(8) 给出了 $\R^n$ 中 Poisson 方程 (2) 的一个解的公式。

\paragraph{证明.}
1. 我们有
\begin{equation}
  u(x)=\int_{\R^n}\Phi(x-y)f(y)\,\dd y
      =\int_{\R^n}\Phi(y)f(x-y)\,\dd y;
  \tag{9}
\end{equation}
因此
\[
  \frac{u(x+he_i)-u(x)}{h}
  =\int_{\R^n}\Phi(y)
  \left[
    \frac{f(x+he_i-y)-f(x-y)}{h}
  \right]\dd y,
\]
其中 $h\ne0$，而 $e_i=(0,\ldots,1,\ldots,0)$，$1$ 位于第 $i$ 个分量。可是
\[
  \frac{f(x+he_i-y)-f(x-y)}{h}\to f_{x_i}(x-y)
\]
当 $h\to0$ 时在 $\R^n$ 上一致成立，于是
\[
  u_{x_i}(x)=\int_{\R^n}\Phi(y)f_{x_i}(x-y)\,\dd y
  \qquad (i=1,\ldots,n).
\]
类似地，
\begin{equation}
  u_{x_i x_j}(x)=
  \int_{\R^n}\Phi(y)f_{x_i x_j}(x-y)\,\dd y
  \qquad (i,j=1,\ldots,n).
  \tag{10}
\end{equation}
(10) 右端关于变量 $x$ 连续，因此 $u\in C^2(\R^n)$。

2. 由于 $\Phi$ 在 $0$ 处发散，后面的计算需要把这个奇点隔离在一个小球内。固定 $\varepsilon>0$。那么
\begin{equation}
\begin{aligned}
  \Delta u(x)
    &=
    \int_{B(0,\varepsilon)}\Phi(y)\Delta_x f(x-y)\,\dd y
    +\int_{\R^n-B(0,\varepsilon)}\Phi(y)\Delta_x f(x-y)\,\dd y  \\
    &\coloneqq I_\varepsilon+J_\varepsilon .
\end{aligned}
\tag{11}
\end{equation}
现在
\begin{equation}
  |I_\varepsilon|
  \le C\|D^2f\|_{L^\infty(\R^n)}
      \int_{B(0,\varepsilon)}|\Phi(y)|\,\dd y
  \le
  \begin{cases}
    C\varepsilon^2|\log\varepsilon|, & n=2,\\
    C\varepsilon^2, & n\ge3.
  \end{cases}
  \tag{12}
\end{equation}
一次分部积分（见第 C.2 节）给出
\begin{equation}
\begin{aligned}
  J_\varepsilon
    &=
    \int_{\R^n-B(0,\varepsilon)}\Phi(y)\Delta_y f(x-y)\,\dd y \\
    &=
    -\int_{\R^n-B(0,\varepsilon)}D\Phi(y)\cdot D_y f(x-y)\,\dd y
    +\int_{\partial B(0,\varepsilon)}
      \Phi(y)\frac{\partial f}{\partial\nu}(x-y)\,\dd S(y)\\
    &\coloneqq K_\varepsilon+L_\varepsilon,
\end{aligned}
\tag{13}
\end{equation}
其中 $\bsnu$ 表示沿 $\partial B(0,\varepsilon)$ 指向内部的单位法向量。容易检查
\begin{equation}
  |L_\varepsilon|
  \le \|Df\|_{L^\infty(\R^n)}
      \int_{\partial B(0,\varepsilon)}|\Phi(y)|\,\dd S(y)
  \le
  \begin{cases}
    C\varepsilon|\log\varepsilon|, & n=2,\\
    C\varepsilon, & n\ge3.
  \end{cases}
  \tag{14}
\end{equation}

3. 我们继续对 $K_\varepsilon$ 再做一次分部积分，得到
\[
\begin{aligned}
  K_\varepsilon
    &=
    \int_{\R^n-B(0,\varepsilon)}\Delta\Phi(y)f(x-y)\,\dd y
    -\int_{\partial B(0,\varepsilon)}
      \frac{\partial\Phi}{\partial\nu}(y)f(x-y)\,\dd S(y)\\
    &=
    -\int_{\partial B(0,\varepsilon)}
      \frac{\partial\Phi}{\partial\nu}(y)f(x-y)\,\dd S(y),
\end{aligned}
\]
因为 $\Phi$ 在远离原点处调和。又
\[
  D\Phi(y)=-\frac1{n\alpha(n)}\frac{y}{|y|^n}\qquad (y\ne0),
  \qquad
  \bsnu=-\frac{y}{|y|}=-\frac{y}{\varepsilon}
\]
在 $\partial B(0,\varepsilon)$ 上成立。因此
\[
  \frac{\partial\Phi}{\partial\nu}(y)
  =\bsnu\cdot D\Phi(y)
  =\frac1{n\alpha(n)\varepsilon^{\,n-1}}
  \qquad\text{于 }\partial B(0,\varepsilon).
\]
由于 $n\alpha(n)\varepsilon^{n-1}$ 正是球面 $\partial B(0,\varepsilon)$ 的面积，我们有
\begin{equation}
\begin{aligned}
  K_\varepsilon
    &=
    -\frac1{n\alpha(n)\varepsilon^{\,n-1}}
      \int_{\partial B(0,\varepsilon)}f(x-y)\,\dd S(y)\\
    &=
    -\fint_{\partial B(x,\varepsilon)}f(y)\,\dd S(y)
      \to -f(x)
      \qquad \text{当 }\varepsilon\to0.
\end{aligned}
\tag{15}
\end{equation}
（回忆第 A.3 节，积分号上的斜线表示平均值。）

4. 现在合并 (11)--(15)，并令 $\varepsilon\to0$，便得到 $-\Delta u(x)=f(x)$，如所断言。$\square$

事实上，定理 1 在远弱于上述假设的 $f$ 的光滑性条件下仍然成立；参见 Gilbarg--Trudinger [G--T]。

\paragraph{基本解的解释.}
我们有时写
\[
  -\Delta\Phi=\delta_0\qquad\text{于 }\R^n,
\]
其中 $\delta_0$ 表示 $\R^n$ 上在点 $0$ 赋予单位质量的 Dirac 测度。采用这个记号，可以形式地计算
\[
\begin{aligned}
  -\Delta u(x)
  &=\int_{\R^n}-\Delta_x\Phi(x-y)f(y)\,\dd y\\
  &=\int_{\R^n}\delta_x f(y)\,\dd y
   =f(x)\qquad (x\in\R^n),
\end{aligned}
\]
这同定理 1 一致。

\subsection{2.2.2. 平均值公式}

现在考虑开集 $U\subset\R^n$，并设 $u$ 是 $U$ 内的调和函数。下面我们推导重要的平均值公式，它们断言：只要
$B(x,r)\subset U$，则 $u(x)$ 等于 $u$ 在球面 $\partial B(x,r)$ 上的平均值，也等于 $u$ 在整个球 $B(x,r)$ 上的平均值。正如我们马上会看到的，这些涉及 $u$ 的隐式公式会产生大量后果。

\paragraph{定理 2（Laplace 方程的平均值公式）.}
若 $u\in C^2(U)$ 是调和的，那么
\begin{equation}
  u(x)=\fint_{\partial B(x,r)}u\,\dd S
      =\fint_{B(x,r)}u\,\dd y
  \tag{16}
\end{equation}
对每个球 $B(x,r)\subset U$ 成立。

\paragraph{证明.}
1. 设
\[
  \phi(r)\coloneqq \fint_{\partial B(x,r)}u(y)\,\dd S(y)
  =\fint_{\partial B(0,1)}u(x+rz)\,\dd S(z).
\]
于是
\[
  \phi'(r)=
  \fint_{\partial B(0,1)}Du(x+rz)\cdot z\,\dd S(z),
\]
从而利用第 C.2 节中的 Green 公式，我们计算得到
\[
\begin{aligned}
  \phi'(r)
  &=
  \fint_{\partial B(x,r)}
  Du(y)\cdot\frac{y-x}{r}\,\dd S(y)\\
  &=
  \fint_{\partial B(x,r)}
  \frac{\partial u}{\partial\nu}\,\dd S(y)\\
  &=
  \frac{r}{n}\fint_{B(x,r)}\Delta u(y)\,\dd y
  =0.
\end{aligned}
\]
因此 $\phi$ 是常数，所以
\[
  \phi(r)=\lim_{t\to0}\phi(t)
  =\lim_{t\to0}\fint_{\partial B(x,t)}u(y)\,\dd S(y)
  =u(x).
\]

2. 接着注意，像第 C.3 节那样使用极坐标，可得
\[
\begin{aligned}
  \int_{B(x,r)}u\,\dd y
  &=
  \int_0^r
    \left(\int_{\partial B(x,s)}u\,\dd S\right)\dd s\\
  &=
  u(x)\int_0^r n\alpha(n)s^{n-1}\,\dd s\\
  &=
  \alpha(n)r^n u(x).
\end{aligned}
\]
这就证明了第二个平均值公式。$\square$

\paragraph{定理 3（平均值性质的逆命题）.}
若 $u\in C^2(U)$ 满足
\[
  u(x)=\fint_{\partial B(x,r)}u\,\dd S
\]
对每个球 $B(x,r)\subset U$ 成立，那么 $u$ 是调和的。

\paragraph{证明.}
若 $\Delta u\not\equiv0$，则存在某个球 $B(x,r)\subset U$，使得例如 $\Delta u>0$ 于 $B(x,r)$ 内。可是对上面定义的 $\phi$，有
\[
  0=\phi'(r)
  =\frac{r}{n}\fint_{B(x,r)}\Delta u(y)\,\dd y
  >0,
\]
矛盾。$\square$

\subsection{2.2.3. 调和函数的性质}

现在我们给出关于调和函数的一系列有趣推论，它们都基于平均值公式。以下假设 $U\subset\R^n$ 是有界开集。

\paragraph{a. 强极大值原理，唯一性.}
我们首先断言：调和函数必在边界上取得最大值；并且，除非它是常数，否则不能在连通区域的内部取得最大值。

\paragraph{定理 4（强极大值原理）.}
设 $u\in C^2(U)\cap C(\overline U)$ 在 $U$ 内调和。

(i) 那么
\[
  \max_{\overline U}u=\max_{\partial U}u.
\]

(ii) 进一步，若 $U$ 连通，并且存在一点 $x_0\in U$ 使得
\[
  u(x_0)=\max_{\overline U}u,
\]
则
\[
  u\ \text{在 }U\text{ 内为常数}.
\]

断言 (i) 是 Laplace 方程的极大值原理，(ii) 是强极大值原理。把 $u$ 换成 $-u$，也可得到把 ``max'' 换成 ``min'' 的类似断言。

\paragraph{证明.}
假设存在点 $x_0\in U$，使得
\[
  u(x_0)=M\coloneqq \max_{\overline U}u.
\]
那么对 $0<r<\operatorname{dist}(x_0,\partial U)$，平均值性质断言
\[
  M=u(x_0)=\fint_{B(x_0,r)}u\,\dd y\le M.
\]
等号只有在 $u\equiv M$ 于 $B(x_0,r)$ 内成立时才可能成立，因此对所有 $y\in B(x_0,r)$，有 $u(y)=M$。于是集合
\[
  \{x\in U\mid u(x)=M\}
\]
在 $U$ 中既是开集又是相对闭集；若 $U$ 连通，它便等于 $U$。这证明了断言 (ii)，而 (i) 随之成立。$\square$

\paragraph{正性.}
强极大值原理特别断言：若 $U$ 连通，且 $u\in C^2(U)\cap C(\overline U)$ 满足
\[
\begin{cases}
\Delta u=0, & \text{于 }U,\\
u=g, & \text{于 }\partial U,
\end{cases}
\]
其中 $g\ge0$，那么只要 $g$ 在 $\partial U$ 的某处为正，$u$ 就在 $U$ 的每一点为正。

极大值原理的一个重要应用，是证明 Poisson 方程某些边值问题解的唯一性。

\paragraph{定理 5（唯一性）.}
设 $g\in C(\partial U)$，$f\in C(U)$。那么边值问题
\begin{equation}
\begin{cases}
-\Delta u=f, & \text{于 }U,\\
u=g, & \text{于 }\partial U
\end{cases}
\tag{17}
\end{equation}
至多有一个解 $u\in C^2(U)\cap C(\overline U)$。

\paragraph{证明.}
若 $u$ 和 $\tilde u$ 都满足 (17)，则把定理 4 应用于调和函数
\[
  w\coloneqq \pm(u-\tilde u).
\]
于是 $u-\tilde u$ 的最大值和最小值都只能为零，故 $u=\tilde u$。$\square$

\paragraph{b. 正则性.}
下面我们证明：若 $u\in C^2$ 是调和的，则必有 $u\in C^\infty$。因此调和函数自动无穷次可微。这类断言称为正则性定理。有趣之处在于，Laplace 方程
\[
  \Delta u=\sum_{i=1}^n u_{x_i x_i}=0
\]
的代数结构，导出了一个解析上的结论：$u$ 的所有偏导数都存在，甚至包括那些没有出现在该偏微分方程中的偏导数。

\paragraph{定理 6（光滑性）.}
若 $u\in C(U)$ 对每个球 $B(x,r)\subset U$ 都满足平均值性质 (16)，那么
\[
  u\in C^\infty(U).
\]
请仔细注意，$u$ 在 $\partial U$ 上未必光滑，甚至未必连续。

\paragraph{证明.}
令 $\eta$ 为第 C.5 节所述的标准磨光核，并回忆 $\eta$ 是径向函数。在
\[
  U_\varepsilon\coloneqq
  \{x\in U\mid \operatorname{dist}(x,\partial U)>\varepsilon\}
\]
内设
\[
  u^\varepsilon\coloneqq \eta_\varepsilon*u.
\]
如第 C.5 节所示，$u^\varepsilon\in C^\infty(U_\varepsilon)$。

我们将证明事实上 $u\equiv u^\varepsilon$ 于 $U_\varepsilon$ 上，从而证明 $u$ 光滑。的确，若 $x\in U_\varepsilon$，则
\[
\begin{aligned}
  u^\varepsilon(x)
  &=
  \int_U \eta_\varepsilon(x-y)u(y)\,\dd y\\
  &=
  \frac1{\varepsilon^n}
  \int_{B(x,\varepsilon)}
  \eta\!\left(\frac{|x-y|}{\varepsilon}\right)u(y)\,\dd y\\
  &=
  \frac1{\varepsilon^n}
  \int_0^\varepsilon
  \eta\!\left(\frac r\varepsilon\right)
  \left(\int_{\partial B(x,r)}u\,\dd S\right)\dd r\\
  &=
  \frac1{\varepsilon^n}u(x)
  \int_0^\varepsilon
  \eta\!\left(\frac r\varepsilon\right)n\alpha(n)r^{n-1}\,\dd r
  \qquad\text{由 }(16)\\
  &=
  u(x)\int_{B(0,\varepsilon)}\eta_\varepsilon\,\dd y
  =u(x).
\end{aligned}
\]
因此 $u^\varepsilon\equiv u$ 于 $U_\varepsilon$ 上，所以对每个 $\varepsilon>0$，有 $u\in C^\infty(U_\varepsilon)$。$\square$

\paragraph{c. 调和函数的局部估计.}
现在我们使用平均值公式，推导调和函数各阶偏导数的精细估计。稍后证明解析性时，将需要这些估计的精确结构。

\paragraph{定理 7（导数估计）.}
设 $u$ 在 $U$ 中调和。那么对每个球 $B(x_0,r)\subset U$ 和每个阶数为 $|\alpha|=k$ 的多重指标 $\alpha$，有
\begin{equation}
  |D^\alpha u(x_0)|
  \le
  \frac{C_k}{r^{n+k}}\,
  \|u\|_{L^1(B(x_0,r))}.
  \tag{18}
\end{equation}
这里
\begin{equation}
  C_0=\frac1{\alpha(n)},\qquad
  C_k=\frac{(2^{n+1}nk)^k}{\alpha(n)}
  \qquad (k=1,\ldots).
  \tag{19}
\end{equation}

\paragraph{证明.}
1. 我们对 $k$ 归纳证明 (18)、(19)。$k=0$ 的情形直接来自平均值公式 (16)。当 $k=1$ 时，对 Laplace 方程求导可知 $u_{x_i}$（$i=1,\ldots,n$）是调和函数。因此
\begin{equation}
\begin{aligned}
  |u_{x_i}(x_0)|
  &=
  \left|\fint_{B(x_0,r/2)}u_{x_i}\,\dd x\right|\\
  &=
  \left|
  \frac{2^n}{\alpha(n)r^n}
  \int_{\partial B(x_0,r/2)}u\nu_i\,\dd S
  \right|\\
  &\le
  \frac{2n}{r}\,
  \|u\|_{L^\infty(\partial B(x_0,r/2))}.
\end{aligned}
\tag{20}
\end{equation}
现在若 $x\in\partial B(x_0,r/2)$，则
\[
  B(x,r/2)\subset B(x_0,r)\subset U.
\]
于是由 $k=0$ 情形的 (18)、(19)，
\[
  |u(x)|
  \le
  \frac1{\alpha(n)}
  \left(\frac2r\right)^n
  \|u\|_{L^1(B(x_0,r))}.
\]
合并上述不等式可得，当 $|\alpha|=1$ 时，
\[
  |D^\alpha u(x_0)|
  \le
  \frac{2^{n+1}n}{\alpha(n)}
  \frac1{r^{n+1}}
  \|u\|_{L^1(B(x_0,r))}.
\]
这就验证了 $k=1$ 时的 (18)、(19)。

2. 现在设 $k\ge2$，并假设 (18)、(19) 对 $U$ 中所有球以及所有阶数小于或等于 $k-1$ 的多重指标均成立。固定球 $B(x_0,r)\subset U$，并令 $\alpha$ 是满足 $|\alpha|=k$ 的多重指标。那么对某个 $i\in\{1,\ldots,n\}$ 和某个 $|\beta|=k-1$ 的多重指标 $\beta$，有
\[
  D^\alpha u=(D^\beta u)_{x_i}.
\]
与 (20) 中类似的计算给出
\[
  |D^\alpha u(x_0)|
  \le
  \frac{nk}{r}
  \|D^\beta u\|_{L^\infty(\partial B(x_0,r/k))}.
\]
若 $x\in\partial B(x_0,r/k)$，则
\[
  B\!\left(x,\frac{k-1}{k}r\right)\subset B(x_0,r)\subset U.
\]
因此由 $k-1$ 情形的 (18)、(19) 推出
\[
  |D^\beta u(x)|
  \le
  \frac{(2^{n+1}n(k-1))^{k-1}}
       {\alpha(n)\left(\frac{k-1}{k}r\right)^{n+k-1}}
  \|u\|_{L^1(B(x_0,r))}.
\]
把前两个估计合并，就得到
\begin{equation}
  |D^\alpha u(x_0)|
  \le
  \frac{(2^{n+1}nk)^k}
       {\alpha(n)r^{n+k}}
  \|u\|_{L^1(B(x_0,r))}.
  \tag{21}
\end{equation}
这证实了 $|\alpha|=k$ 时的 (18)、(19)。$\square$



\paragraph{d. Liouville 定理.}
现在我们断言，在整个 $\R^n$ 上不存在非平凡的有界调和函数。

\paragraph{定理 8（Liouville 定理）.}
设 $u:\R^n\to\R$ 调和且有界。那么 $u$ 是常数。

\paragraph{证明.}
固定 $x_0\in\R^n$、$r>0$，并在 $B(x_0,r)$ 上应用定理 7：
\[
  |Du(x_0)|
  \le
  \frac{\sqrt n\,C_1}{r^{n+1}}\,
  \|u\|_{L^1(B(x_0,r))}
  \le
  \frac{\sqrt n\,C_1\alpha(n)}{r}\,
  \|u\|_{L^\infty(\R^n)}
  \to0,
\]
当 $r\to\infty$。于是 $Du\equiv0$，所以 $u$ 是常数。$\square$

\paragraph{定理 9（表示公式）.}
设 $f\in C_c^2(\R^n)$，$n\ge3$。那么
\[
  -\Delta u=f\qquad \text{于 }\R^n
\]
的任一有界解都具有形式
\[
  u(x)=\int_{\R^n}\Phi(x-y)f(y)\,\dd y+C
  \qquad (x\in\R^n),
\]
其中 $C$ 是某个常数。

\paragraph{证明.}
由于当 $n\ge3$ 时 $\Phi(x)\to0$（$|x|\to\infty$），
\[
  \widetilde u(x)\coloneqq\int_{\R^n}\Phi(x-y)f(y)\,\dd y
\]
是 $\R^n$ 中 $-\Delta u=f$ 的一个有界解。若 $u$ 是另一个解，则
$w\coloneqq u-\widetilde u$ 调和且有界；由 Liouville 定理，$w$ 为常数。$\square$

\paragraph{注.}
若 $n=2$，则
\[
  \Phi(x)=-\frac1{2\pi}\log |x|
\]
在 $|x|\to\infty$ 时无界，因而
$\int_{\R^2}\Phi(x-y)f(y)\,\dd y$ 也可能无界。

\paragraph{e. 解析性.}
我们细化定理 6：

\paragraph{定理 10（解析性）.}
若 $u$ 在 $U$ 中调和，则 $u$ 在 $U$ 中解析。

\paragraph{证明.}
1. 固定任意点 $x_0\in U$。我们必须证明 $u$ 可在 $x_0$ 的某个邻域内表示为收敛幂级数。
令
\[
  r\coloneqq \frac14\operatorname{dist}(x_0,\partial U),
  \qquad
  M\coloneqq \frac1{\alpha(n)r^n}\|u\|_{L^1(B(x_0,2r))}<\infty .
\]

2. 对每个 $x\in B(x_0,r)$，有 $B(x,r)\subset B(x_0,2r)\subset U$。定理 7 因而给出
\[
  \|D^\alpha u\|_{L^\infty(B(x_0,r))}
  \le
  M\left(\frac{2^{n+1}n}{r}\right)^{|\alpha|}|\alpha|^{|\alpha|}.
\]
现在对每个正整数 $k$ 有 $k^k<e^k k!$，所以
\[
  |\alpha|^{|\alpha|}
  \le e^{|\alpha|}|\alpha|!.
\]
另一方面，由多项式定理，
\[
  n^k=(1+\cdots+1)^k
  =\sum_{|\alpha|=k}\frac{k!}{\alpha!},
\]
故 $|\alpha|!\le n^{|\alpha|}\alpha!$。合并这些不等式，得到
\begin{equation}
  \|D^\alpha u\|_{L^\infty(B(x_0,r))}
  \le
  M\left(\frac{2^{n+1}n^2e}{r}\right)^{|\alpha|}\alpha!.
  \tag{22}
\end{equation}

3. $u$ 在 $x_0$ 处的 Taylor 级数为
\[
  \sum_\alpha
  \frac{D^\alpha u(x_0)}{\alpha!}(x-x_0)^\alpha,
\]
其中求和遍及所有多重指标。我们断言该幂级数在
\begin{equation}
  |x-x_0|<\frac{r}{2^{n+2}n^3e}
  \tag{23}
\end{equation}
时收敛。为验证这一点，对每个 $N$ 写余项
\[
  R_N(x)\coloneqq
  u(x)-\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{|\alpha|=k}
  \frac{D^\alpha u(x_0)}{\alpha!}(x-x_0)^\alpha .
\]
把一元函数
\[
  g(t)\coloneqq u(x_0+t(x-x_0))
\]
在 $t=0$ 处展开到 $N-1$ 阶并在 $t=1$ 处取值，可得对某个 $0\le t\le1$，
\[
  R_N(x)=
  \sum_{|\alpha|=N}
  \frac{D^\alpha u(x_0+t(x-x_0))(x-x_0)^\alpha}{\alpha!}.
\]
利用 (22)、(23)，
\[
\begin{aligned}
  |R_N(x)|
  &\le
  M\sum_{|\alpha|=N}
  \left(\frac{2^{n+1}n^2e}{r}\right)^N
  \left(\frac{r}{2^{n+2}n^3e}\right)^N  \\
  &\le
  M n^N\left(\frac1{2n}\right)^N
  =\frac{M}{2^N}\to0
  \qquad (N\to\infty).
\end{aligned}
\]
故 Taylor 级数确实收敛到 $u$。$\square$

关于解析函数与偏微分方程的更多内容，参见第 4.6.2 节。

\paragraph{f. Harnack 不等式.}
回忆第 A.2 节中的记号：$V\Subset U$ 表示 $V\subset\overline V\subset U$ 且 $\overline V$ 紧。

\paragraph{定理 11（Harnack 不等式）.}
对每个连通开集 $V\Subset U$，存在只依赖于 $V$ 的正常数 $C$，使得
\[
  \sup_V u\le C\inf_V u
\]
对 $U$ 中所有非负调和函数 $u$ 均成立。

于是特别地，
\[
  \frac1C u(y)\le u(x)\le C u(y)
\]
对所有 $x,y\in V$ 成立。这些不等式说明，非负调和函数在 $V$ 内的各个值都是可比较的：除非 $u$ 在 $V$ 中处处很小（或很大），否则它不能在 $V$ 的某一点特别小（或特别大）。直观地说，这是因为 $V$ 离 $\partial U$ 有正距离，因而“Laplace 方程的平均作用有发生的空间”。

\paragraph{证明.}
令
\[
  r\coloneqq\frac14\operatorname{dist}(V,\partial U).
\]
取 $x,y\in V$ 且 $|x-y|\le r$。由平均值公式，
\[
\begin{aligned}
  u(x)
  &=\fint_{B(x,2r)}u\,\dd z
  \ge \frac1{\alpha(n)2^n r^n}\int_{B(y,r)}u\,\dd z  \\
  &=\frac1{2^n}\fint_{B(y,r)}u\,\dd z
  =\frac1{2^n}u(y).
\end{aligned}
\]
交换 $x,y$，得
\[
  2^{-n}u(y)\le u(x)\le 2^n u(y)
\]
只要 $x,y\in V$ 且 $|x-y|\le r$。

由于 $V$ 连通且 $\overline V$ 紧，可以用有限条相交的半径为 $r/2$ 的球链连接 $V$ 中任意两点。于是存在整数 $N$，使得对所有 $x,y\in V$，
\[
  u(x)\ge 2^{-n(N+1)}u(y).
\]
这正是所需结论。$\square$

\subsection{2.2.4. Green 函数}
现在设 $U\subset\R^n$ 开、有界，并且 $\partial U$ 为 $C^1$。我们接下来要为 Poisson 方程
\[
  -\Delta u=f\qquad\text{于 }U
\]
在给定边界条件
\[
  u=g\qquad\text{于 }\partial U
\]
时的解，得到一个一般表示公式。

\paragraph{a. Green 函数的推导.}
设 $u\in C^2(\overline U)$ 为任意函数。固定 $x\in U$，选取 $\varepsilon>0$ 足够小，使 $B(x,\varepsilon)\subset U$，并在
\[
  V_\varepsilon\coloneqq U-B(x,\varepsilon)
\]
上对 $u(y)$ 与 $\Phi(y-x)$ 使用第 C.2 节中的 Green 公式。于是
\begin{equation}
\begin{aligned}
  &\int_{V_\varepsilon}
  \bigl(u(y)\Delta\Phi(y-x)-\Phi(y-x)\Delta u(y)\bigr)\,\dd y  \\
  &\qquad =
  \int_{\partial V_\varepsilon}
  \left[
    u(y)\frac{\partial\Phi}{\partial\nu}(y-x)
    -\Phi(y-x)\frac{\partial u}{\partial\nu}(y)
  \right]\dd S(y),
\end{aligned}
\tag{24}
\end{equation}
其中 $\nu$ 表示 $\partial V_\varepsilon$ 上的单位外法向量。回忆当 $x\ne y$ 时 $\Delta\Phi(x-y)=0$。还注意到
\[
  \left|
  \int_{\partial B(x,\varepsilon)}
  \Phi(y-x)\frac{\partial u}{\partial\nu}(y)\,\dd S(y)
  \right|
  \le C\varepsilon^{n-1}\max_{\partial B(0,\varepsilon)}|\Phi|
  =o(1),
\]
当 $\varepsilon\to0$。此外，定理 1 证明中的计算表明
\[
  \int_{\partial B(x,\varepsilon)}
  u(y)\frac{\partial\Phi}{\partial\nu}(y-x)\,\dd S(y)
  =
  \fint_{\partial B(x,\varepsilon)}u(y)\,\dd S(y)
  \to u(x)
\]
当 $\varepsilon\to0$。因此令 $\varepsilon\to0$ 于 (24)，得到公式
\begin{equation}
\begin{aligned}
  u(x)
  &=
  \int_{\partial U}
  \left[
    \Phi(y-x)\frac{\partial u}{\partial\nu}(y)
    -u(y)\frac{\partial\Phi}{\partial\nu}(y-x)
  \right]\dd S(y)  \\
  &\qquad
  -\int_U \Phi(y-x)\Delta u(y)\,\dd y .
\end{aligned}
\tag{25}
\end{equation}
这个恒等式对每个 $x\in U$ 和每个 $u\in C^2(\overline U)$ 都成立。

公式 (25) 表明，如果我们知道 $U$ 内 $\Delta u$ 的值，以及 $\partial U$ 上 $u$ 和 $\partial u/\partial\nu$ 的值，就能求出 $u(x)$。然而在 Poisson 方程的 Dirichlet 问题中，我们知道的是 $u$ 的边界值，$\partial u/\partial\nu$ 并不知道。因此必须设法修改 (25)，去掉这个法向导数项。

其想法是：对固定的 $x$ 引入校正函数 $\phi^x=\phi^x(y)$，使它求解边值问题
\begin{equation}
\begin{cases}
\Delta\phi^x=0, & \text{于 }U,\\
\phi^x=\Phi(y-x), & \text{于 }\partial U.
\end{cases}
\tag{26}
\end{equation}
再应用一次 Green 公式，得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
  -\int_U \phi^x(y)\Delta u(y)\,\dd y
  &=
  \int_{\partial U}
  \left[
    u(y)\frac{\partial\phi^x}{\partial\nu}(y)
    -\phi^x(y)\frac{\partial u}{\partial\nu}(y)
  \right]\dd S(y)  \\
  &=
  \int_{\partial U}
  \left[
    u(y)\frac{\partial\phi^x}{\partial\nu}(y)
    -\Phi(y-x)\frac{\partial u}{\partial\nu}(y)
  \right]\dd S(y).
\end{aligned}
\tag{27}
\end{equation}

\paragraph{定义.}
区域 $U$ 的 Green 函数为
\[
  G(x,y)\coloneqq \Phi(y-x)-\phi^x(y)
  \qquad (x,y\in U,\ x\ne y).
\]

采用这一术语，并把 (27) 加到 (25) 上，得到
\begin{equation}
  u(x)=
  -\int_{\partial U}u(y)\frac{\partial G}{\partial\nu}(x,y)\,\dd S(y)
  -\int_U G(x,y)\Delta u(y)\,\dd y
  \qquad (x\in U),
  \tag{28}
\end{equation}
其中
\[
  \frac{\partial G}{\partial\nu}(x,y)
  =
  D_yG(x,y)\cdot\nu(y)
\]
表示 $G$ 关于变量 $y$ 的外法向导数。注意，$\partial u/\partial\nu$ 不再出现在 (28) 中：我们正是为此引入校正函数 $\phi^x$。

现在设 $u\in C^2(\overline U)$ 求解
\begin{equation}
\begin{cases}
-\Delta u=f, & \text{于 }U,\\
u=g, & \text{于 }\partial U,
\end{cases}
\tag{29}
\end{equation}
其中 $f,g$ 为给定连续函数。代入 (28)，得到：

\paragraph{定理 12（用 Green 函数表示的公式）.}
若 $u\in C^2(\overline U)$ 求解问题 (29)，则
\begin{equation}
  u(x)=
  -\int_{\partial U}g(y)\frac{\partial G}{\partial\nu}(x,y)\,\dd S(y)
  +\int_U f(y)G(x,y)\,\dd y
  \qquad (x\in U).
  \tag{30}
\end{equation}

只要能为给定区域 $U$ 构造 Green 函数 $G$，这就是边值问题 (29) 的解公式。一般来说，这是一件困难的事，只有当 $U$ 的几何形状简单时才可能完成。下面几个小节给出一些能够显式计算 $G$ 的特殊情形。

\paragraph{Green 函数的解释.}
固定 $x\in U$。把 $G$ 看作 $y$ 的函数时，可以象征性地写为
\[
\begin{cases}
-\Delta G=\delta_x, & \text{于 }U,\\
G=0, & \text{于 }\partial U,
\end{cases}
\]
其中 $\delta_x$ 表示在点 $x$ 处具有单位质量的 Dirac 测度。

在进入具体例子之前，先记录 $G$ 关于变量 $x,y$ 对称的一般结论：

\paragraph{定理 13（Green 函数的对称性）.}
对所有 $x,y\in U$、$x\ne y$，有
\[
  G(y,x)=G(x,y).
\]

\paragraph{证明.}
固定 $x,y\in U$，$x\ne y$。写
\[
  v(z)\coloneqq G(x,z),\qquad w(z)\coloneqq G(y,z)
  \qquad (z\in U).
\]
则 $\Delta v(z)=0$（$z\ne x$），$\Delta w(z)=0$（$z\ne y$），并且 $v=w=0$ 于 $\partial U$。在
\[
  V\coloneqq U-[B(x,\varepsilon)\cup B(y,\varepsilon)]
\]
上应用 Green 恒等式，其中 $\varepsilon>0$ 足够小，得到
\begin{equation}
  \int_{\partial B(x,\varepsilon)}
  \left(w\frac{\partial v}{\partial\nu}
  -v\frac{\partial w}{\partial\nu}\right)\dd S
  =
  \int_{\partial B(y,\varepsilon)}
  \left(v\frac{\partial w}{\partial\nu}
  -w\frac{\partial v}{\partial\nu}\right)\dd S,
  \tag{31}
\end{equation}
其中 $\nu$ 表示 $\partial B(x,\varepsilon)\cup\partial B(y,\varepsilon)$ 上指向球内的单位向量场。

现在 $w$ 在 $x$ 附近光滑，因此
\[
  \left|
  \int_{\partial B(x,\varepsilon)}
  v\frac{\partial w}{\partial\nu}\,\dd S
  \right|
  \le C\varepsilon^{n-1}\sup_{\partial B(x,\varepsilon)}|v|
  =o(1).
\]
另一方面，$v(z)=\Phi(z-x)-\phi^x(z)$，而 $\phi^x$ 在 $U$ 中光滑。由定理 1 证明中的同类计算，
\[
  \lim_{\varepsilon\to0}
  \int_{\partial B(x,\varepsilon)}
  w\frac{\partial v}{\partial\nu}\,\dd S
  =w(x).
\]
故 (31) 左端趋于 $w(x)$。同理右端趋于 $v(y)$。因此
\[
  G(y,x)=w(x)=v(y)=G(x,y).
\]
$\square$

\paragraph{b. 半空间的 Green 函数.}
在本小节和下一小节中，我们将为两个几何形状简单的区域构造 Green 函数，即半空间 $\R^n_+$ 与单位球 $B(0,1)$。一切都取决于在这些区域中显式求解校正问题 (26)，而这又依赖于一些巧妙的几何反射技巧。

首先考虑半空间
\[
  \R^n_+=\{x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\mid x_n>0\}.
\]
尽管该区域无界，所以前一小节中的计算不能直接适用，我们仍将尝试用前面的思想构造 Green 函数。当然，稍后必须直接检验相应的表示公式确实成立。

\paragraph{定义.}
若 $x=(x_1,\ldots,x_{n-1},x_n)\in\R^n_+$，它关于平面 $\partial\R^n_+$ 的反射点为
\[
  \widetilde x=(x_1,\ldots,x_{n-1},-x_n).
\]

对半空间，我们通过设
\[
  \phi^x(y)\coloneqq \Phi(y-\widetilde x)
  =
  \Phi(y_1-x_1,\ldots,y_{n-1}-x_{n-1},y_n+x_n)
\]
来求解问题 (26)。其思想是从 $\Phi$ 出发，把奇点从 $x\in\R^n_+$ “反射”到 $\widetilde x\notin\R^n_+$。注意当 $y\in\partial\R^n_+$ 时，
\[
  \phi^x(y)=\Phi(y-x),
\]
因此
\[
\begin{cases}
\Delta\phi^x=0, & \text{于 }\R^n_+,\\
\phi^x=\Phi(y-x), & \text{于 }\partial\R^n_+,
\end{cases}
\]
正如所需。

\paragraph{定义.}
半空间 $\R^n_+$ 的 Green 函数为
\[
  G(x,y)\coloneqq \Phi(y-x)-\Phi(y-\widetilde x)
  \qquad (x,y\in\R^n_+,\ x\ne y).
\]

于是
\[
  G_{y_n}(x,y)
  =
  \Phi_{y_n}(y-x)-\Phi_{y_n}(y-\widetilde x)
  =
  -\frac1{n\alpha(n)}
  \left[
  \frac{y_n-x_n}{|y-x|^n}
  -
  \frac{y_n+x_n}{|y-\widetilde x|^n}
  \right].
\]
因此若 $y\in\partial\R^n_+$，则
\[
  \frac{\partial G}{\partial\nu}(x,y)
  =
  -G_{y_n}(x,y)
  =
  -\frac{2x_n}{n\alpha(n)}\frac1{|x-y|^n}.
\]
设现在 $u$ 求解边值问题
\begin{equation}
\begin{cases}
\Delta u=0, & \text{于 }\R^n_+,\\
u=g, & \text{于 }\partial\R^n_+.
\end{cases}
\tag{32}
\end{equation}
由 (30) 我们期待
\begin{equation}
  u(x)=
  \frac{2x_n}{n\alpha(n)}
  \int_{\partial\R^n_+}\frac{g(y)}{|x-y|^n}\,\dd y
  \qquad (x\in\R^n_+)
  \tag{33}
\end{equation}
是解的表示公式。函数
\[
  K(x,y)\coloneqq
  \frac{2x_n}{n\alpha(n)}\frac1{|x-y|^n}
  \qquad (x\in\R^n_+,\ y\in\partial\R^n_+)
\]
称为 $\R^n_+$ 的 Poisson 核，(33) 称为 Poisson 公式。

现在必须直接检查公式 (33) 的确给出边值问题 (32) 的一个解。

\paragraph{定理 14（半空间的 Poisson 公式）.}
设 $g\in C(\R^{n-1})\cap L^\infty(\R^{n-1})$，并由 (33) 定义 $u$。那么
\[
\begin{array}{ll}
\text{(i)} & u\in C^\infty(\R^n_+)\cap L^\infty(\R^n_+),\\
\text{(ii)} & \Delta u=0\quad\text{于 }\R^n_+,\\
\text{(iii)} & \displaystyle\lim_{\substack{x\to x_0\\ x\in\R^n_+}}u(x)=g(x_0)
    \quad\text{对每个 }x_0\in\partial\R^n_+.
\end{array}
\]

\paragraph{证明.}
1. 对每个固定 $x$，映射 $y\mapsto G(x,y)$ 在 $y\ne x$ 处调和。由于 $G(x,y)=G(y,x)$，映射 $x\mapsto G(x,y)$ 在 $x\ne y$ 处调和。因此
\[
  x\mapsto -\frac{\partial G}{\partial y_n}(x,y)=K(x,y)
\]
对 $x\in\R^n_+$、$y\in\partial\R^n_+$ 调和。

2. 直接计算（细节略）验证
\begin{equation}
  1=\int_{\partial\R^n_+}K(x,y)\,\dd y
  \tag{34}
\end{equation}
对每个 $x\in\R^n_+$ 成立。由于 $g$ 有界，由 (33) 定义的 $u$ 也有界。又因 $x\mapsto K(x,y)$ 在 $x\ne y$ 时光滑，容易验证
\[
  u\in C^\infty(\R^n_+),\qquad
  \Delta u(x)=\int_{\partial\R^n_+}\Delta_xK(x,y)g(y)\,\dd y=0.
\]

3. 固定 $x_0\in\partial\R^n_+$、$\varepsilon>0$。选取 $\delta>0$ 使得
\begin{equation}
  |g(y)-g(x_0)|<\varepsilon
  \quad\text{若 } |y-x_0|<\delta,\ y\in\partial\R^n_+ .
  \tag{35}
\end{equation}
若 $|x-x_0|<\delta/2$ 且 $x\in\R^n_+$，则由 (34)，
\[
\begin{aligned}
  |u(x)-g(x_0)|
  &\le
  \int_{\partial\R^n_+\cap B(x_0,\delta)}
  K(x,y)|g(y)-g(x_0)|\,\dd y  \\
  &\quad+
  \int_{\partial\R^n_+-B(x_0,\delta)}
  K(x,y)|g(y)-g(x_0)|\,\dd y
  \eqqcolon I+J .
\end{aligned}
\tag{36}
\]
由 (34)、(35)，$I\le\varepsilon$。此外，当 $|x-x_0|\le\delta/2$ 且 $|y-x_0|\ge\delta$ 时，
\[
  |y-x|\ge \frac12|y-x_0|.
\]
所以
\[
  J\le
  C\|g\|_{L^\infty}x_n
  \int_{\partial\R^n_+-B(x_0,\delta)}
  |y-x_0|^{-n}\,\dd y
  \to0
  \qquad (x_n\to0^+).
\]
合并这个估计与 (36)，只要 $|x-x_0|$ 足够小，就有
$|u(x)-g(x_0)|\le2\varepsilon$。$\square$

\paragraph{c. 球的 Green 函数.}
为构造单位球 $B(0,1)$ 的 Green 函数，我们将再次使用一种反射，不过这次是通过球面 $\partial B(0,1)$ 反射。

\paragraph{定义.}
若 $x\in\R^n-\{0\}$，点
\[
  \widetilde x=\frac{x}{|x|^2}
\]
称为 $x$ 关于 $\partial B(0,1)$ 的对偶点。映射 $x\mapsto\widetilde x$ 称为通过单位球面的反演。

现在用球面反演来计算单位球 $U=B^0(0,1)$ 的 Green 函数。固定 $x\in B^0(0,1)$。记住，我们需要找校正函数 $\phi^x=\phi^x(y)$ 求解
\begin{equation}
\begin{cases}
\Delta\phi^x=0, & \text{于 }B^0(0,1),\\
\phi^x=\Phi(y-x), & \text{于 }\partial B(0,1);
\end{cases}
\tag{37}
\end{equation}
于是 Green 函数为
\begin{equation}
  G(x,y)=\Phi(y-x)-\phi^x(y).
  \tag{38}
\end{equation}

现在的想法是把奇点从 $x\in B^0(0,1)$ “反演”到 $\widetilde x\notin B(0,1)$。先假设 $n\ge3$。映射 $y\mapsto\Phi(y-\widetilde x)$ 在 $y\ne\widetilde x$ 时调和。因此
\[
  y\mapsto |x|^{2-n}\Phi(y-\widetilde x)
\]
在 $y\ne\widetilde x$ 时调和，于是
\begin{equation}
  \phi^x(y)\coloneqq \Phi\bigl(|x|(y-\widetilde x)\bigr)
  \tag{39}
\end{equation}
在 $U$ 中调和。此外，若 $y\in\partial B(0,1)$ 且 $x\ne0$，则
\[
\begin{aligned}
  |x|^2|y-\widetilde x|^2
  &=
  |x|^2\left(|y|^2-2\frac{y\cdot x}{|x|^2}+\frac1{|x|^2}\right)\\
  &=
  |x|^2-2y\cdot x+1
  =
  |x-y|^2.
\end{aligned}
\]
因此
\[
  \bigl(|x||y-\widetilde x|\bigr)^{-(n-2)}
  =
  |x-y|^{-(n-2)}.
\]
从而
\begin{equation}
  \phi^x(y)=\Phi(y-x)
  \qquad (y\in\partial B(0,1)),
  \tag{40}
\end{equation}
正合所需。

\paragraph{定义.}
单位球的 Green 函数为
\begin{equation}
  G(x,y)\coloneqq
  \Phi(y-x)-\Phi\bigl(|x|(y-\widetilde x)\bigr)
  \qquad (x,y\in B(0,1),\ x\ne y).
  \tag{41}
\end{equation}
同一公式在 $n=2$ 时也成立。

现在设 $u$ 求解
\begin{equation}
\begin{cases}
\Delta u=0, & \text{于 }B^0(0,1),\\
u=g, & \text{于 }\partial B(0,1).
\end{cases}
\tag{42}
\end{equation}
由 (30)，
\begin{equation}
  u(x)=
  -\int_{\partial B(0,1)}
  g(y)\frac{\partial G}{\partial\nu}(x,y)\,\dd S(y).
  \tag{43}
\end{equation}
利用公式 (41)，若 $y\in\partial B(0,1)$，可算得
\[
  \frac{\partial G}{\partial\nu}(x,y)
  =
  -\frac1{n\alpha(n)}
  \frac{1-|x|^2}{|x-y|^n}.
\]
因此 (43) 给出表示公式
\[
  u(x)=
  \frac{1-|x|^2}{n\alpha(n)}
  \int_{\partial B(0,1)}
  \frac{g(y)}{|x-y|^n}\,\dd S(y).
\]

现在若 $u$ 改为求解半径为 $r>0$ 的球上的边值问题
\begin{equation}
\begin{cases}
\Delta u=0, & \text{于 }B^0(0,r),\\
u=g, & \text{于 }\partial B(0,r),
\end{cases}
\tag{44}
\end{equation}
通过变量替换得到 Poisson 公式
\begin{equation}
  u(x)=
  \frac{r^2-|x|^2}{n\alpha(n)r}
  \int_{\partial B(0,r)}
  \frac{g(y)}{|x-y|^n}\,\dd S(y)
  \qquad (x\in B^0(0,r)).
  \tag{45}
\end{equation}
函数
\[
  K(x,y)\coloneqq
  \frac{r^2-|x|^2}{n\alpha(n)r}
  \frac1{|x-y|^n}
  \qquad (x\in B^0(0,r),\ y\in\partial B(0,r))
\]
称为球 $B(0,r)$ 的 Poisson 核。

我们在假定 (44) 的光滑解存在时推得了 (45)。下面断言该公式事实上给出一个解：

\paragraph{定理 15（球的 Poisson 公式）.}
设 $g\in C(\partial B(0,r))$，并由 (45) 定义 $u$。则
\[
\begin{array}{ll}
\text{(i)} & u\in C^\infty(B^0(0,r)),\\
\text{(ii)} & \Delta u=0\quad\text{于 }B^0(0,r),\\
\text{(iii)} &
\displaystyle\lim_{\substack{x\to x_0\\ x\in B^0(0,r)}}u(x)=g(x_0)
\quad\text{对每个 }x_0\in\partial B(0,r).
\end{array}
\]
证明与定理 14 的证明类似，留作练习。

\subsection{2.2.5. 能量方法}
到目前为止，我们对调和函数的大部分分析依赖于相当显式的表示公式，其中涉及基本解、Green 函数等。在这个收尾小节中，我们说明一些“能量”方法，也就是涉及各种表达式的 $L^2$ 范数的技术。这些思想预示着第二、三部分后续理论的发展。

\paragraph{a. 唯一性.}
先考虑边值问题
\begin{equation}
\begin{cases}
-\Delta u=f, & \text{于 }U,\\
u=g, & \text{于 }\partial U.
\end{cases}
\tag{46}
\end{equation}
我们已经在第 2.2.3 节中用极大值原理证明了唯一性；现在给出一个简单的替代证明。假设 $U$ 开、有界，且 $\partial U$ 为 $C^1$。

\paragraph{定理 16（唯一性）.}
(46) 至多有一个解 $u\in C^2(\overline U)$。

\paragraph{证明.}
设 $\widetilde u$ 是另一个解，并令 $w\coloneqq u-\widetilde u$。则 $\Delta w=0$ 于 $U$，于是分部积分给出
\[
  0=-\int_U w\Delta w\,\dd x
  =
  \int_U |Dw|^2\,\dd x.
\]
因此 $Dw\equiv0$ 于 $U$。又因 $w=0$ 于 $\partial U$，推出
$w=u-\widetilde u\equiv0$ 于 $U$。$\square$

\paragraph{b. Dirichlet 原理.}
接下来说明，Poisson 方程边值问题 (46) 的解可以刻画为适当泛函的极小元。为此定义能量泛函
\[
  I[w]\coloneqq
  \int_U \frac12|Dw|^2-wf\,\dd x,
\]
其中 $w$ 属于可容许集
\[
  \mathcal A\coloneqq
  \{w\in C^2(\overline U)\mid w=g\text{ 于 }\partial U\}.
\]

\paragraph{定理 17（Dirichlet 原理）.}
若 $u\in C^2(\overline U)$ 求解 (46)，则
\begin{equation}
  I[u]=\min_{w\in\mathcal A}I[w].
  \tag{47}
\end{equation}
反过来，若 $u\in\mathcal A$ 满足 (47)，则 $u$ 求解边值问题 (46)。

换言之，若 $u\in\mathcal A$，则偏微分方程 $-\Delta u=f$ 等价于说 $u$ 在 $\mathcal A$ 中使能量 $I[\cdot]$ 取最小。

\paragraph{证明.}
1. 取 $w\in\mathcal A$。由 (46)，
\[
  0=\int_U(-\Delta u-f)(u-w)\,\dd x.
\]
分部积分得到
\[
  0=\int_U Du\cdot D(u-w)-f(u-w)\,\dd x,
\]
没有边界项，因为 $u-w=g-g\equiv0$ 于 $\partial U$。于是
\[
\begin{aligned}
  \int_U |Du|^2-uf\,\dd x
  &=
  \int_U Du\cdot Dw-wf\,\dd x  \\
  &\le
  \int_U \frac12|Du|^2\,\dd x
  +\int_U\frac12|Dw|^2-wf\,\dd x,
\end{aligned}
\]
其中使用了由 Cauchy--Schwarz 不等式和 Cauchy 不等式推出的估计
\[
  |Du\cdot Dw|\le |Du||Dw|
  \le \frac12|Du|^2+\frac12|Dw|^2.
\]
整理即得
\begin{equation}
  I[u]\le I[w]\qquad (w\in\mathcal A).
  \tag{48}
\end{equation}
由于 $u\in\mathcal A$，(47) 由 (48) 得出。

2. 反过来，设 (47) 成立。固定任意 $v\in C_c^\infty(U)$，并写
\[
  i(\tau)\coloneqq I[u+\tau v]\qquad (\tau\in\R).
\]
由于对每个 $\tau$ 都有 $u+\tau v\in\mathcal A$，一元函数 $i(\cdot)$ 在 $0$ 处取最小，因此
\[
  i'(0)=0.
\]
而
\[
\begin{aligned}
  i(\tau)
  &=
  \int_U
  \frac12|Du+\tau Dv|^2-(u+\tau v)f\,\dd x  \\
  &=
  \int_U
  \frac12|Du|^2+\tau Du\cdot Dv+\frac{\tau^2}{2}|Dv|^2-(u+\tau v)f\,\dd x.
\end{aligned}
\]
故
\[
  0=i'(0)
  =
  \int_U Du\cdot Dv-vf\,\dd x
  =
  \int_U(-\Delta u-f)v\,\dd x.
\]
该恒等式对每个 $v\in C_c^\infty(U)$ 成立，因此 $-\Delta u=f$ 于 $U$。$\square$

Dirichlet 原理是变分法应用于 Laplace 方程的一个例子。更多内容见第 8 章。

\section{2.3. 热方程}
接下来研究热方程
\begin{equation}
  u_t-\Delta u=0
  \tag{1}
\end{equation}
以及非齐次热方程
\begin{equation}
  u_t-\Delta u=f,
  \tag{2}
\end{equation}
并配以适当的初始条件和边界条件。这里 $t>0$ 且 $x\in U$，其中 $U\subset\R^n$ 为开集。未知函数为
\[
  u:\overline U\times[0,\infty)\to\R,\qquad u=u(x,t),
\]
而 Laplace 算子 $\Delta$ 是关于空间变量 $x=(x_1,\ldots,x_n)$ 取的：
\[
  \Delta u=\Delta_xu=\sum_{i=1}^n u_{x_ix_i}.
\]
在 (2) 中，函数 $f:U\times[0,\infty)\to\R$ 为给定函数。

一个指导原则是：关于调和函数的任何论断，都会给出关于热方程解的类似（但更复杂）论断。因此下面的发展基本上与 Laplace 方程的相应理论平行。

\paragraph{物理解释.}
热方程也称扩散方程；在典型应用中，它描述热量、化学浓度等某种量的密度 $u$ 随时间的演化。若 $V\subset U$ 是任意光滑子区域，则 $V$ 内总量的变化率等于穿过 $\partial V$ 的净通量的负值：
\[
  \frac{d}{dt}\int_V u\,\dd x
  =
  -\int_{\partial V}F\cdot\nu\,\dd S,
\]
其中 $F$ 是通量密度。因此
\begin{equation}
  u_t=-\operatorname{div}F,
  \tag{3}
\end{equation}
因为 $V$ 是任意的。在许多情形中，$F$ 与 $u$ 的梯度成比例但方向相反（因为流动从较高浓度区域流向较低浓度区域）：
\[
  F=-aDu\qquad (a>0).
\]
代入 (3)，得到偏微分方程
\[
  u_t=a\operatorname{div}(Du)=a\Delta u,
\]
当 $a=1$ 时，这就是热方程。

热方程也出现在布朗运动的研究中。

\subsection{2.3.1. 基本解}

\paragraph{a. 基本解的推导.}
如第 2.2.1 节所指出的，研究任何偏微分方程时，一个重要的第一步常常是找出一些具体解。

注意热方程对时间变量 $t$ 含有一阶导数，而对空间变量 $x_i$（$i=1,\ldots,n$）含有二阶导数。因此，若 $u$ 求解 (1)，则 $u(\lambda x,\lambda^2t)$ 也求解 (1)。这一缩放表明比值 $r^2/t$（$r=|x|$）对热方程很重要，并提示我们寻找形如
\[
  u(x,t)=v\!\left(\frac{r^2}{t}\right)
  =
  v\!\left(\frac{|x|^2}{t}\right)
  \qquad (t>0,\ x\in\R^n)
\]
的解，其中 $v$ 尚待确定。

虽然这种方法最终会导向我们所需的结果（见习题 13），但更快的做法是寻找具有特殊结构
\begin{equation}
  u(x,t)=\frac1{t^\alpha}v\!\left(\frac{x}{t^\beta}\right)
  \qquad (x\in\R^n,\ t>0)
  \tag{4}
\end{equation}
的解，其中常数 $\alpha,\beta$ 和函数 $v:\R^n\to\R$ 待定。若寻找在伸缩变换
\[
  u(x,t)\mapsto \lambda^\alpha u(\lambda^\beta x,\lambda t)
\]
下不变的热方程解，就会得到 (4)。也就是说，我们要求
\[
  u(x,t)=\lambda^\alpha u(\lambda^\beta x,\lambda t)
\]
对所有 $\lambda>0$、$x\in\R^n$、$t>0$ 成立。取 $\lambda=t^{-1}$，并令 $v(y)\coloneqq u(y,1)$，即得 (4)。

把 (4) 代入 (1)，对
\[
  y\coloneqq t^{-\beta}x
\]
计算，得到
\begin{equation}
  \alpha t^{-(\alpha+1)}v(y)
  +\beta t^{-(\alpha+1)}y\cdot Dv(y)
  +t^{-(\alpha+2\beta)}\Delta v(y)=0.
  \tag{5}
\end{equation}
为了把 (5) 化为只含变量 $y$ 的表达式，取 $\beta=1/2$。于是各项中 $t$ 的幂相同，(5) 化为
\begin{equation}
  \alpha v+\frac12 y\cdot Dv+\Delta v=0.
  \tag{6}
\end{equation}
进一步猜测 $v$ 是径向的，即 $v(y)=w(|y|)$。于是 (6) 变为
\[
  \alpha w+\frac12rw'+w''+\frac{n-1}{r}w'=0
  \qquad (r=|y|).
\]
若取 $\alpha=n/2$，这可化为
\[
  (r^{n-1}w')'+\frac12(r^nw)'=0.
\]
因此
\[
  r^{n-1}w'+\frac12r^nw=a
\]
对某个常数 $a$ 成立。假设 $w,w'\to0$ 足够快（$r\to\infty$），则 $a=0$，从而
\[
  w'=-\frac12rw.
\]
于是对某个常数 $b$，
\begin{equation}
  w=be^{-r^2/4}.
  \tag{7}
\end{equation}
把 (4)、(7) 以及 $\alpha=n/2$、$\beta=1/2$ 合并，可知
\[
  \frac{b}{t^{n/2}}e^{-|x|^2/(4t)}
\]
求解热方程 (1)。

这一计算引出如下定义。

\paragraph{定义.}
函数
\[
  \Phi(x,t)\coloneqq
  \begin{cases}
  \displaystyle \frac1{(4\pi t)^{n/2}}e^{-|x|^2/(4t)}, & x\in\R^n,\ t>0,\\[1ex]
  0, & x\in\R^n,\ t<0,
  \end{cases}
\]
称为热方程的基本解。

注意 $\Phi$ 在点 $(0,0)$ 奇异。我们有时写 $\Phi(x,t)=\Phi(|x|,t)$，以强调基本解关于空间变量 $x$ 是径向的。归一化常数 $(4\pi)^{-n/2}$ 的选择由下面引理决定。

\paragraph{引理（基本解的积分）.}
对每个 $t>0$，
\[
  \int_{\R^n}\Phi(x,t)\,\dd x=1.
\]

\paragraph{证明.}
计算得
\[
\begin{aligned}
  \int_{\R^n}\Phi(x,t)\,\dd x
  &=
  \frac1{(4\pi t)^{n/2}}
  \int_{\R^n}e^{-|x|^2/(4t)}\,\dd x  \\
  &=
  \frac1{\pi^{n/2}}\int_{\R^n}e^{-|z|^2}\,\dd z
  =
  \frac1{\pi^{n/2}}\prod_{i=1}^n
  \int_{-\infty}^{\infty}e^{-z_i^2}\,\dd z_i
  =1.
\end{aligned}
\]
$\square$

第 4.3.1 节给出了热方程基本解的另一种推导。

\paragraph{b. 初值问题.}
现在用 $\Phi$ 构造初值问题（或 Cauchy 问题）
\begin{equation}
\begin{cases}
u_t-\Delta u=0, & \text{于 }\R^n\times(0,\infty),\\
u=g, & \text{于 }\R^n\times\{t=0\}
\end{cases}
\tag{8}
\end{equation}
的解。注意函数 $(x,t)\mapsto\Phi(x,t)$ 在奇点 $(0,0)$ 之外求解热方程，因此对每个固定的 $y\in\R^n$，$(x,t)\mapsto\Phi(x-y,t)$ 也求解热方程。于是卷积
\begin{equation}
\begin{aligned}
  u(x,t)
  &=
  \int_{\R^n}\Phi(x-y,t)g(y)\,\dd y  \\
  &=
  \frac1{(4\pi t)^{n/2}}
  \int_{\R^n}e^{-|x-y|^2/(4t)}g(y)\,\dd y
  \qquad (x\in\R^n,\ t>0)
\end{aligned}
\tag{9}
\end{equation}
也应当是一个解。

\paragraph{定理 1（初值问题的解）.}
设 $g\in C(\R^n)\cap L^\infty(\R^n)$，并由 (9) 定义 $u$。那么
\[
\begin{array}{ll}
\text{(i)} & u\in C^\infty(\R^n\times(0,\infty)),\\
\text{(ii)} & u_t(x,t)-\Delta u(x,t)=0\quad (x\in\R^n,\ t>0),\\
\text{(iii)} &
\displaystyle\lim_{\substack{(x,t)\to(x_0,0)\\ x\in\R^n,\ t>0}}
u(x,t)=g(x_0)
\quad\text{对每个 }x_0\in\R^n.
\end{array}
\]

\paragraph{证明.}
1. 函数 $t^{-n/2}e^{-|x|^2/(4t)}$ 在 $\R^n\times[\delta,\infty)$ 上对每个 $\delta>0$ 都无穷可微，且各阶导数一致有界，所以
$u\in C^\infty(\R^n\times(0,\infty))$。此外
\begin{equation}
\begin{aligned}
  u_t(x,t)-\Delta u(x,t)
  &=
  \int_{\R^n}
  [(\Phi_t-\Delta_x\Phi)(x-y,t)]g(y)\,\dd y\\
  &=0
  \qquad (x\in\R^n,\ t>0),
\end{aligned}
\tag{10}
\end{equation}
因为 $\Phi$ 本身求解热方程。

2. 固定 $x_0\in\R^n$、$\varepsilon>0$。选取 $\delta>0$ 使得
\begin{equation}
  |g(y)-g(x_0)|<\varepsilon
  \quad\text{若 }|y-x_0|<\delta,\ y\in\R^n.
  \tag{11}
\end{equation}
若 $|x-x_0|<\delta/2$，由上面的引理，
\[
\begin{aligned}
  |u(x,t)-g(x_0)|
  &=
  \left|
  \int_{\R^n}\Phi(x-y,t)[g(y)-g(x_0)]\,\dd y
  \right| \\
  &\le
  \int_{B(x_0,\delta)}
  \Phi(x-y,t)|g(y)-g(x_0)|\,\dd y \\
  &\quad+
  \int_{\R^n-B(x_0,\delta)}
  \Phi(x-y,t)|g(y)-g(x_0)|\,\dd y
  \eqqcolon I+J .
\end{aligned}
\]
由 (11) 和引理，$I\le\varepsilon$。另一方面，若 $|x-x_0|\le\delta/2$ 且 $|y-x_0|\ge\delta$，则
\[
  |y-x|\ge\frac12|y-x_0|.
\]
因此
\[
\begin{aligned}
  J
  &\le
  2\|g\|_{L^\infty}
  \int_{\R^n-B(x_0,\delta)}\Phi(x-y,t)\,\dd y\\
  &\le
  \frac{C}{t^{n/2}}
  \int_{\R^n-B(x_0,\delta)}
  e^{-|y-x_0|^2/(16t)}\,\dd y\\
  &=
  C\int_{\R^n-B(0,\delta/\sqrt t)}
  e^{-|z|^2/16}\,\dd z\to0
  \qquad (t\to0^+).
\end{aligned}
\]
因此当 $|x-x_0|<\delta/2$ 且 $t>0$ 足够小时，
$|u(x,t)-g(x_0)|<2\varepsilon$。$\square$

\paragraph{基本解的解释.}
由定理 1，我们有时写
\[
\begin{cases}
\Phi_t-\Delta\Phi=0, & \text{于 }\R^n\times(0,\infty),\\
\Phi=\delta_0, & \text{于 }\R^n\times\{t=0\},
\end{cases}
\]
其中 $\delta_0$ 表示 $\R^n$ 上在点 $0$ 处具有单位质量的 Dirac 测度。

\paragraph{无限传播速度.}
注意若 $g$ 有界、连续，$g\ge0$ 且 $g\not\equiv0$，则
\[
  u(x,t)=
  \frac1{(4\pi t)^{n/2}}
  \int_{\R^n}e^{-|x-y|^2/(4t)}g(y)\,\dd y
\]
事实上对所有点 $x\in\R^n$ 和所有时间 $t>0$ 都为正。我们把这一观察解释为：热方程迫使扰动具有无限传播速度。若初始温度非负且在某处为正，那么任意稍后的时刻温度处处为正。（第 2.4.3 节会看到，相比之下波方程支持扰动的有限传播速度。）

\paragraph{c. 非齐次问题.}
现在转向非齐次初值问题
\begin{equation}
\begin{cases}
u_t-\Delta u=f, & \text{于 }\R^n\times(0,\infty),\\
u=0, & \text{于 }\R^n\times\{t=0\}.
\end{cases}
\tag{12}
\end{equation}
怎样给出解公式？回忆导出 (9) 的动机，还应注意：对给定的 $y\in\R^n$、$0<s<t$，映射
\[
  (x,t)\mapsto\Phi(x-y,t-s)
\]
求解热方程。对固定 $s$，函数
\[
  u=u(x,t;s)
  =
  \int_{\R^n}\Phi(x-y,t-s)f(y,s)\,\dd y
\]
求解
\[
\begin{cases}
u_t(\cdot;s)-\Delta u(\cdot;s)=0, & \text{于 }\R^n\times(s,\infty),\\
u(\cdot;s)=f(\cdot,s), & \text{于 }\R^n\times\{t=s\}.
\end{cases}
\]
这只是 (8) 形式的初值问题，其中起始时间 $t=0$ 被 $t=s$ 替代，$g$ 被 $f(\cdot,s)$ 替代。因此 $u(\cdot;s)$ 本身当然不是 (12) 的解。

然而 Duhamel 原理断言，可以通过对 $s$ 积分，从这些问题的解构造出 (12) 的解。其想法是考虑
\[
  u(x,t)=\int_0^t u(x,t;s)\,\dd s
  \qquad (x\in\R^n,\ t\ge0).
\]
也就是
\begin{equation}
\begin{aligned}
  u(x,t)
  &=
  \int_0^t\int_{\R^n}
  \Phi(x-y,t-s)f(y,s)\,\dd y\,\dd s  \\
  &=
  \int_0^t\frac1{(4\pi(t-s))^{n/2}}
  \int_{\R^n}
  e^{-|x-y|^2/[4(t-s)]}f(y,s)\,\dd y\,\dd s,
\end{aligned}
\tag{13}
\end{equation}
其中 $x\in\R^n$、$t>0$。

Duhamel 原理广泛适用于线性 ODE 和 PDE，并不依赖热方程的特殊结构。例如它也给出第 2.1.2 节用另一种方法得到的非齐次输运方程的解。第 2.4.2 节中我们还会对波方程使用 Duhamel 原理。

为了确认公式 (13) 有效，为简单起见假设
$f\in C_1^2(\R^n\times[0,\infty))$，并且 $f$ 关于变量 $x$ 有紧支集。

\paragraph{定理 2（非齐次问题的解）.}
由 (13) 定义 $u$。那么
\[
\begin{array}{ll}
\text{(i)} & u\in C_1^2(\R^n\times(0,\infty)),\\
\text{(ii)} & u_t(x,t)-\Delta u(x,t)=f(x,t)\quad (x\in\R^n,\ t>0),\\
\text{(iii)} &
\displaystyle\lim_{\substack{(x,t)\to(x_0,0)\\ x\in\R^n,\ t>0}}u(x,t)=0
\quad\text{对每个 }x_0\in\R^n.
\end{array}
\]

\paragraph{证明.}
1. 因为 $\Phi$ 在 $(0,0)$ 有奇性，不能直接把积分号下求导合理化。我们改用与第 2.2.1 节定理 1 证明中类似的办法。

先换元，写成
\[
  u(x,t)=
  \int_0^t\int_{\R^n}
  \Phi(y,s)f(x-y,t-s)\,\dd y\,\dd s.
\]
由于 $f\in C_1^2$ 且关于 $x$ 有紧支集，而 $\Phi=\Phi(y,s)$ 在 $s=t>0$ 附近光滑，可以计算
\[
\begin{aligned}
  u_t(x,t)
  &=
  \int_0^t\int_{\R^n}
  \Phi(y,s)f_t(x-y,t-s)\,\dd y\,\dd s  \\
  &\quad+
  \int_{\R^n}\Phi(y,t)f(x-y,0)\,\dd y,
\end{aligned}
\]
以及
\[
  u_{x_ix_j}(x,t)
  =
  \int_0^t\int_{\R^n}
  \Phi(y,s)f_{x_ix_j}(x-y,t-s)\,\dd y\,\dd s .
\]
因此 $u_t$、$D_x^2u$，以及 $u,D_xu$ 都属于 $C(\R^n\times(0,\infty))$。

2. 接着计算。对 $0<\varepsilon<t$，把 $[0,t]$ 中的积分分成 $[0,\varepsilon]$ 与 $[\varepsilon,t]$，并对后一部分分部积分。利用 $\Phi_s-\Delta_y\Phi=0$，得到
\[
\begin{aligned}
  u_t(x,t)-\Delta u(x,t)
  &=
  \lim_{\varepsilon\to0}
  \int_{\R^n}
  \Phi(y,\varepsilon)f(x-y,t-\varepsilon)\,\dd y\\
  &=f(x,t),
\end{aligned}
\]
其中最后的极限同定理 1 证明中的计算。最后注意
\[
  \|u(\cdot,t)\|_{L^\infty}
  \le t\|f\|_{L^\infty}\to0 .
\]
$\square$

\paragraph{一般初值下非齐次问题的解.}
当然可以把定理 1 和定理 2 合并，得到在上述关于 $g$ 与 $f$ 的假设下，
\begin{equation}
\begin{aligned}
  u(x,t)
  &=
  \int_{\R^n}\Phi(x-y,t)g(y)\,\dd y  \\
  &\quad+
  \int_0^t\int_{\R^n}
  \Phi(x-y,t-s)f(y,s)\,\dd y\,\dd s
\end{aligned}
\tag{17}
\end{equation}
求解
\begin{equation}
\begin{cases}
u_t-\Delta u=f, & \text{于 }\R^n\times(0,\infty),\\
u=g, & \text{于 }\R^n\times\{t=0\}.
\end{cases}
\tag{18}
\end{equation}

\subsection{2.3.2. 平均值公式}
先回忆第 A.2 节中的一些有用记号。设 $U\subset\R^n$ 开且有界，并固定时间 $T>0$。

\paragraph{定义.}
\[
  U_T\coloneqq U\times(0,T]
\]
称为抛物柱体，而
\[
  \Gamma_T\coloneqq \overline U_T-U_T
\]
称为 $U_T$ 的抛物边界。

我们把 $U_T$ 看作 $\overline U\times[0,T]$ 的抛物内部：注意 $U_T$ 包含顶部 $U\times\{t=T\}$。抛物边界 $\Gamma_T$ 由 $U\times[0,T]$ 的底部和垂直侧面组成，但不包含顶部。

下面要推导一种热方程版本的平均值性质，类似于第 2.2.2 节中调和函数的平均值性质。但这里没有那么简单的公式。不过要观察到：对固定 $x$，球面 $\partial B(x,r)$ 是 Laplace 方程基本解 $\Phi(x-y)$ 的水平集。这提示我们，对固定的 $(x,t)$，热方程基本解 $\Phi(x-y,t-s)$ 的水平集也许相关。

\paragraph{定义.}
对固定的 $x\in\R^n$、$t\in\R$、$r>0$，定义
\[
  E(x,t;r)\coloneqq
  \left\{(y,s)\in\R^{n+1}\mid s\le t,\ 
  \Phi(x-y,t-s)\ge\frac1{r^n}\right\}.
\]
这是时空中的一个区域，其边界是 $\Phi(x-y,t-s)$ 的水平集。点 $(x,t)$ 是其顶部中心。$E(x,t;r)$ 有时称为“热球”。

\paragraph{定理 3（热方程的平均值性质）.}
设 $u\in C_1^2(U_T)$ 求解热方程。则
\begin{equation}
  u(x,t)=
  \frac1{4r^n}
  \iint_{E(x,t;r)}
  u(y,s)\frac{|x-y|^2}{(t-s)^2}\,\dd y\,\dd s
  \tag{19}
\end{equation}
对每个 $E(x,t;r)\subset U_T$ 成立。

公式 (19) 是热方程关于 Laplace 方程平均值公式的一种类比。注意右端只涉及 $s\le t$ 时刻的 $u(y,s)$。这是合理的，因为 $u(x,t)$ 的值不应依赖未来时刻。

\paragraph{证明.}
平移空间和时间坐标，可设 $x=0$、$t=0$。必要时先磨光，从而假设 $u$ 光滑。写 $E(r)=E(0,0;r)$，并令
\begin{equation}
\begin{aligned}
  \phi(r)
  &\coloneqq
  \frac1{r^n}\iint_{E(r)}
  u(y,s)\frac{|y|^2}{s^2}\,\dd y\,\dd s  \\
  &=
  \iint_{E(1)}
  u(ry,r^2s)\frac{|y|^2}{s^2}\,\dd y\,\dd s .
\end{aligned}
\tag{20}
\end{equation}
计算得到
\[
  \phi'(r)=
  \frac1{r^{n+1}}\iint_{E(r)}
  \sum_{i=1}^n u_{y_i}y_i\frac{|y|^2}{s^2}
  +2r u_s\frac{|y|^2}{s}\,\dd y\,\dd s
  \eqqcolon A+B .
\]
引入函数
\begin{equation}
  \psi\coloneqq
  -\frac n2\log(-4\pi s)+\frac{|y|^2}{4s}+n\log r .
  \tag{21}
\end{equation}
由于在 $\partial E(r)-\{(0,0)\}$ 上 $\Phi(y,-s)=r^{-n}$，故 $\psi=0$ 于该边界。利用 (21) 并分部积分；边界项因 $\psi=0$ 消失。再在 $s$ 方向分部积分，并使用 $u_s=\Delta u$，可得 $B=-A$。因此 $\phi'(r)=0$，所以 $\phi$ 为常数。令 $r\to0$，由连续性得
\[
  \lim_{r\to0}\phi(r)=4u(0,0),
\]
从而 (19) 成立。$\square$

\subsection{2.3.3. 解的性质}
本小节记录热方程解的若干基本性质，它们与调和函数的性质平行。

\paragraph{a. 极大值原理.}
由于热方程中的时间具有方向性，极大值原理也必须相应改变：最大值发生在抛物边界，而不是顶部。

\paragraph{定理 4（热方程的极大值原理）.}
设 $u\in C_1^2(U_T)\cap C(\overline U_T)$ 求解
\[
  u_t-\Delta u=0\qquad\text{于 }U_T .
\]
则
\[
  \max_{\overline U_T}u=\max_{\Gamma_T}u .
\]

\paragraph{证明.}
先设 $u_t-\Delta u<0$ 于 $U_T$。若 $u$ 在某点 $(x_0,t_0)\in U_T$ 取得 $\overline U_T$ 上最大值，且该点不在 $\Gamma_T$ 上，则 $t_0>0$。在空间变量上有 $Du(x_0,t_0)=0$、$\Delta u(x_0,t_0)\le0$，并且由时间方向可得 $u_t(x_0,t_0)\ge0$。于是
\[
  u_t-\Delta u\ge0,
\]
矛盾。一般情形令 $u^\varepsilon(x,t)\coloneqq u(x,t)-\varepsilon t$，则
$u^\varepsilon_t-\Delta u^\varepsilon=-\varepsilon<0$。对 $u^\varepsilon$ 应用已证情形，再令 $\varepsilon\to0$ 即得。$\square$

把 $u$ 换成 $-u$，也得到相应的最小值原理。

极大值原理的一个重要应用是下面的唯一性结论。

\paragraph{定理 5（有界区域上的唯一性）.}
设 $g\in C(\Gamma_T)$、$f\in C(U_T)$。则初边值问题
\begin{equation}
\begin{cases}
u_t-\Delta u=f, & \text{于 }U_T,\\
u=g, & \text{于 }\Gamma_T
\end{cases}
\tag{22}
\end{equation}
至多有一个解 $u\in C_1^2(U_T)\cap C(\overline U_T)$。

\paragraph{证明.}
若 $u$ 与 $\widetilde u$ 是 (22) 的两个解，对
$w=\pm(u-\widetilde u)$ 应用定理 4。$\square$

接下来把唯一性结论推广到 Cauchy 问题，即 $U=\R^n$ 的初值问题。由于不再处于有界区域上，必须对 $|x|$ 很大时解的行为加以控制。

\paragraph{定理 6（Cauchy 问题的极大值原理）.}
设
\[
  u\in C_1^2(\R^n\times(0,T])\cap C(\R^n\times[0,T])
\]
求解
\begin{equation}
\begin{cases}
u_t-\Delta u=0, & \text{于 }\R^n\times(0,T),\\
u=g, & \text{于 }\R^n\times\{t=0\},
\end{cases}
\tag{23}
\end{equation}
并满足增长估计
\begin{equation}
  u(x,t)\le Ae^{a|x|^2}
  \qquad (x\in\R^n,\ 0\le t\le T)
  \tag{24}
\end{equation}
其中 $A,a>0$ 为常数。那么
\[
  \sup_{\R^n\times[0,T]}u=\sup_{\R^n}g.
\]

\paragraph{证明.}
1. 先假设
\begin{equation}
  4aT<1.
  \tag{25}
\end{equation}
于是可取 $\varepsilon>0$ 使
\begin{equation}
  4a(T+\varepsilon)<1.
  \tag{26}
\end{equation}
固定 $y\in\R^n$、$\mu>0$，定义
\[
  v(x,t)\coloneqq
  u(x,t)-
  \frac{\mu}{(T+\varepsilon-t)^{n/2}}
  e^{|x-y|^2/[4(T+\varepsilon-t)]}
  \qquad (x\in\R^n,\ t>0).
\]
直接计算（参见第 2.3.1 节）表明
\[
  v_t-\Delta v=0
  \qquad\text{于 }\R^n\times(0,T].
\]
固定 $r>0$，令 $U=B^0(y,r)$、$U_T=B^0(y,r)\times(0,T]$。由定理 4，
\begin{equation}
  \max_{\overline U_T}v=\max_{\Gamma_T}v.
  \tag{27}
\end{equation}

2. 若 $x\in\R^n$，则
\begin{equation}
  v(x,0)
  =
  u(x,0)-
  \frac{\mu}{(T+\varepsilon)^{n/2}}
  e^{|x-y|^2/[4(T+\varepsilon)]}
  \le g(x).
  \tag{28}
\end{equation}
若 $|x-y|=r$、$0\le t\le T$，则由 (24)、(26)，当 $r$ 取得足够大时，
\begin{equation}
  v(x,t)\le \sup_{\R^n}g.
  \tag{29}
\end{equation}
因此 (27)--(29) 推出
\[
  v(y,t)\le\sup_{\R^n}g
\]
对所有 $y\in\R^n$、$0\le t\le T$ 成立，只要 (25) 有效。令 $\mu\to0$。

3. 若一般情形下 (25) 不成立，就把上面的结果反复应用到时间区间
\[
  [0,T_1],\ [T_1,2T_1],\ldots,\qquad
  T_1=\frac1{8a}.
\]
$\square$

\paragraph{定理 7（Cauchy 问题的唯一性）.}
设 $g\in C(\R^n)$、$f\in C(\R^n\times[0,T])$。则初值问题
\begin{equation}
\begin{cases}
u_t-\Delta u=f, & \text{于 }\R^n\times(0,T),\\
u=g, & \text{于 }\R^n\times\{t=0\}
\end{cases}
\tag{30}
\end{equation}
在满足增长估计
\begin{equation}
  |u(x,t)|\le Ae^{a|x|^2}
  \qquad (x\in\R^n,\ 0\le t\le T)
  \tag{31}
\end{equation}
的函数类中至多有一个解
\[
  u\in C_1^2(\R^n\times(0,T])\cap C(\R^n\times[0,T]).
\]

\paragraph{证明.}
若 $u$ 与 $\widetilde u$ 都满足 (30)、(31)，对
$w=\pm(u-\widetilde u)$ 应用定理 6。$\square$

\paragraph{非物理解.}
事实上，问题
\begin{equation}
\begin{cases}
u_t-\Delta u=0, & \text{于 }\R^n\times(0,T),\\
u=0, & \text{于 }\R^n\times\{t=0\}
\end{cases}
\tag{32}
\end{equation}
有无穷多个解；例如见 John [J2, Chapter 7]。除 $u\equiv0$ 外，这些解中的每一个在 $|x|\to\infty$ 时都增长得非常快。

这里有一个有趣之处：虽然 $u\equiv0$ 无疑是 (32) 的“物理上正确”的解，这个初值问题事实上还有其他“非物理”解。定理 7 给出了排除这些“错误”解的准则。我们在第 3、10、11 章研究 Hamilton--Jacobi 方程和守恒律时，还会遇到某些类似情形。

\paragraph{b. 正则性.}
下面说明热方程的解自动光滑。

\paragraph{定理 8（光滑性）.}
设 $u\in C_1^2(U_T)$ 在 $U_T$ 中求解热方程。则
\[
  u\in C^\infty(U_T).
\]

即使 $u$ 在 $\Gamma_T$ 上取得非光滑边界值，这个正则性断言仍然成立。

\paragraph{证明.}
1. 回忆第 A.2 节中记号
\[
  C(x,t;r)\coloneqq
  \{(y,s)\mid |x-y|\le r,\ t-r^2\le s\le t\}
\]
表示半径为 $r$、高度为 $r^2$、顶部中心为 $(x,t)$ 的闭圆柱。固定 $(x_0,t_0)\in U_T$，取 $r>0$ 足够小，使
\[
  C\coloneqq C(x_0,t_0;r)\subset U_T.
\]
再定义同一顶部中心的较小圆柱
\[
  C'\coloneqq C(x_0,t_0;3r/4),\qquad
  C''\coloneqq C(x_0,t_0;r/2).
\]
取光滑截断函数 $\zeta=\zeta(x,t)$，使
\[
\begin{cases}
0\le\zeta\le1,\quad \zeta\equiv1\text{ 于 }C',\\
\zeta\equiv0\text{ 于 }C\text{ 的抛物边界附近}.
\end{cases}
\]
并把 $\zeta$ 在 $(\R^n\times[0,t_0])-C$ 中延拓为 $0$。

2. 暂且假设 $u\in C^\infty(U_T)$，并令
\[
  v(x,t)\coloneqq\zeta(x,t)u(x,t)
  \qquad (x\in\R^n,\ 0\le t\le t_0).
\]
则
\[
  v_t=\zeta u_t+\zeta_tu,\qquad
  \Delta v=\zeta\Delta u+2D\zeta\cdot Du+u\Delta\zeta.
\]
因此
\begin{equation}
  v=0\qquad\text{于 }\R^n\times\{t=0\},
  \tag{33}
\end{equation}
并且
\begin{equation}
  v_t-\Delta v
  =
  \zeta_tu-2D\zeta\cdot Du-u\Delta\zeta
  \eqqcolon \widetilde f
  \tag{34}
\end{equation}
于 $\R^n\times(0,t_0)$。设
\[
  \widetilde v(x,t)\coloneqq
  \int_0^t\int_{\R^n}
  \Phi(x-y,t-s)\widetilde f(y,s)\,\dd y\,\dd s .
\]
由定理 2，
\[
\begin{cases}
\widetilde v_t-\Delta\widetilde v=\widetilde f,
& \text{于 }\R^n\times(0,t_0),\\
\widetilde v=0, & \text{于 }\R^n\times\{t=0\}.
\end{cases}
\tag{35}
\]
由于 $|v|,|\widetilde v|\le A$ 对某个常数 $A$ 成立，定理 7 推出 $v\equiv\widetilde v$，即
\begin{equation}
  v(x,t)=
  \int_0^t\int_{\R^n}
  \Phi(x-y,t-s)\widetilde f(y,s)\,\dd y\,\dd s .
  \tag{36}
\end{equation}
若 $(x,t)\in C''$，因 $\zeta\equiv0$ 于 $C$ 外，由 (34)、(36) 得
\[
\begin{aligned}
  u(x,t)
  &=
  \iint_C \Phi(x-y,t-s)
  [(\zeta_s(y,s)-\Delta\zeta(y,s))u(y,s)  \\
  &\qquad\qquad
  -2D\zeta(y,s)\cdot Du(y,s)]\,\dd y\,\dd s .
\end{aligned}
\]
注意此式方括号中的表达式在 $\Phi$ 的奇点附近的某个区域中为零。对最后一项分部积分，得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
  u(x,t)
  &=
  \iint_C
  \bigl[
  \Phi(x-y,t-s)(\zeta_s(y,s)+\Delta\zeta(y,s))  \\
  &\qquad\qquad
  +2D_y\Phi(x-y,t-s)\cdot D\zeta(y,s)
  \bigr]u(y,s)\,\dd y\,\dd s .
\end{aligned}
\tag{37}
\end{equation}
上面是在假设 $u\in C^\infty$ 下证明的。若 $u$ 只满足定理假设，则用空间和时间变量中的标准磨光核 $\eta_\varepsilon$，对 $u^\varepsilon=\eta_\varepsilon*u$ 推导 (37)，再令 $\varepsilon\to0$。

3. 公式 (37) 具有形式
\begin{equation}
  u(x,t)=
  \iint_C K(x,t,y,s)u(y,s)\,\dd y\,\dd s
  \qquad ((x,t)\in C''),
  \tag{38}
\end{equation}
其中由于 $\zeta\equiv1$ 于 $C'$，对所有 $(y,s)\in C'$ 有 $K(x,t,y,s)=0$。还注意 $K$ 在 $C-C'$ 上光滑。由表达式 (38) 可见，$u$ 在
$C''=C(x_0,t_0;r/2)$ 内为 $C^\infty$。$\square$

\paragraph{c. 热方程解的局部估计.}
现在记录热方程解的导数估计，特别注意关于 $x_i$（$i=1,\ldots,n$）的导数与关于 $t$ 的导数之间的差异。

\paragraph{定理 9（导数估计）.}
对每对整数 $k,l=0,1,\ldots$，存在常数 $C_{kl}$，使得
\[
  \max_{C(x,t;r/2)} |D_x^kD_t^l u|
  \le
  \frac{C_{kl}}{r^{k+2l+n+2}}
  \|u\|_{L^1(C(x,t;r))}
\]
对所有圆柱
\[
  C(x,t;r/2)\subset C(x,t;r)\subset U_T
\]
以及 $U_T$ 中所有热方程解 $u$ 成立。

\paragraph{证明.}
1. 固定 $U_T$ 中某点。平移坐标后，不妨设该点为 $(0,0)$。先设圆柱
\[
  C(1)\coloneqq C(0,0;1)
\]
包含于 $U_T$，并令 $C(1/2)\coloneqq C(0,0;1/2)$。如定理 8 证明中那样，对某个光滑函数 $K$，
\[
  u(x,t)=
  \iint_{C(1)}K(x,t,y,s)u(y,s)\,\dd y\,\dd s
  \qquad ((x,t)\in C(1/2)).
\]
因此
\begin{equation}
  |D_x^kD_t^l u(x,t)|
  \le
  \iint_{C(1)}
  |D_t^lD_x^kK(x,t,y,s)|\,|u(y,s)|\,\dd y\,\dd s
  \le C_{kl}\|u\|_{L^1(C(1))}.
  \tag{39}
\end{equation}

2. 现在设 $C(r)\coloneqq C(0,0;r)\subset U_T$，$C(r/2)=C(0,0;r/2)$。通过
\[
  v(x,t)\coloneqq u(rx,r^2t)
\]
缩放。则 $v_t-\Delta v=0$ 于 $C(1)$。由 (39)，
\[
  |D_x^kD_t^l v(x,t)|
  \le C_{kl}\|v\|_{L^1(C(1))}
  \qquad ((x,t)\in C(1/2)).
\]
但
\[
  D_x^kD_t^l v(x,t)=r^{k+2l}D_x^kD_t^l u(rx,r^2t),
\]
且
\[
  \|v\|_{L^1(C(1))}
  =
  r^{-(n+2)}\|u\|_{L^1(C(r))}.
\]
于是
\[
  \max_{C(r/2)} |D_x^kD_t^l u|
  \le
  \frac{C_{kl}}{r^{k+2l+n+2}}\|u\|_{L^1(C(r))}.
\]
$\square$

若 $u$ 在 $U_T$ 内求解热方程，则对每个时间 $0<t\le T$，映射
$x\mapsto u(x,t)$ 是解析的（见 Mikhailov [M]）。然而映射
$t\mapsto u(x,t)$ 一般并非解析。

\subsection{2.3.4. 能量方法}

\paragraph{a. 唯一性.}
再次考察初边值问题
\begin{equation}
\begin{cases}
u_t-\Delta u=f, & \text{于 }U_T,\\
u=g, & \text{于 }\Gamma_T.
\end{cases}
\tag{40}
\end{equation}
我们先前调用极大值原理证明了唯一性；现在仿照第 2.2.5 节，给出一个基于分部积分的替代论证。照常假设 $U\subset\R^n$ 开、有界，且 $\partial U$ 为 $C^1$。终止时间 $T>0$ 给定。

\paragraph{定理 10（唯一性）.}
初边值问题 (40) 只有一个解 $u\in C_1^2(\overline U_T)$。

\paragraph{证明.}
1. 若 $\widetilde u$ 是另一个解，则 $w\coloneqq u-\widetilde u$ 求解
\begin{equation}
\begin{cases}
w_t-\Delta w=0, & \text{于 }U_T,\\
w=0, & \text{于 }\Gamma_T.
\end{cases}
\tag{41}
\end{equation}

2. 令
\[
  e(t)\coloneqq\int_U w^2(x,t)\,\dd x
  \qquad (0\le t\le T).
\]
则
\[
\begin{aligned}
  \dot e(t)
  &=
  2\int_U ww_t\,\dd x
  =
  2\int_U w\Delta w\,\dd x  \\
  &=
  -2\int_U |Dw|^2\,\dd x
  \le0.
\end{aligned}
\]
所以
\[
  e(t)\le e(0)=0
  \qquad (0\le t\le T).
\]
因此 $w=u-\widetilde u\equiv0$ 于 $U_T$。$\square$

注意，以上是第 2.2.5 节定理 16 证明的含时版本。

\paragraph{b. 反向唯一性.}
一个更微妙的问题是热方程关于时间反向的唯一性。为此，设 $u$ 与 $\widetilde u$ 都是 $U_T$ 中热方程的光滑解，并在 $\partial U$ 上具有相同边界条件：
\begin{equation}
\begin{cases}
u_t-\Delta u=0, & \text{于 }U_T,\\
u=g, & \text{于 }\partial U\times[0,T],
\end{cases}
\tag{42}
\end{equation}
\[
\begin{cases}
\widetilde u_t-\Delta\widetilde u=0, & \text{于 }U_T,\\
\widetilde u=g, & \text{于 }\partial U\times[0,T],
\end{cases}
\tag{43}
\]
其中 $g$ 为某个函数。请特别注意，我们并未假设 $u=\widetilde u$ 于时间 $t=0$。

\paragraph{定理 11（反向唯一性）.}
设 $u,\widetilde u\in C^2(\overline U_T)$ 求解 (42)、(43)。若
\[
  u(x,T)=\widetilde u(x,T)\qquad (x\in U),
\]
则
\[
  u\equiv\widetilde u\qquad\text{于 }U_T.
\]

换言之，若 $U$ 上的两个温度分布在某一时刻 $T>0$ 相同，并且在所有时间 $0\le t\le T$ 具有相同边界值，那么这些温度在 $U$ 中所有更早时刻必定完全相同。这一点并不显然。

\paragraph{证明.}
1. 写 $w\coloneqq u-\widetilde u$，并如定理 10 的证明中那样令
\[
  e(t)\coloneqq\int_U w^2(x,t)\,\dd x
  \qquad (0\le t\le T).
\]
同前，
\begin{equation}
  \dot e(t)
  =
  -2\int_U |Dw|^2\,\dd x.
  \tag{44}
\end{equation}
此外
\begin{equation}
\begin{aligned}
  \ddot e(t)
  &=
  -4\int_U Dw\cdot Dw_t\,\dd x  \\
  &=
  4\int_U \Delta w\,w_t\,\dd x  \\
  &=
  4\int_U(\Delta w)^2\,\dd x,
\end{aligned}
\tag{45}
\end{equation}
其中最后一步用到 (41)。又因 $w=0$ 于 $\partial U$，
\[
  \int_U |Dw|^2\,\dd x
  =
  -\int_U w\Delta w\,\dd x
  \le
  \left(\int_U w^2\,\dd x\right)^{1/2}
  \left(\int_U(\Delta w)^2\,\dd x\right)^{1/2}.
\]
于是由 (44)、(45)，
\[
  (\dot e(t))^2
  =
  4\left(\int_U|Dw|^2\,\dd x\right)^2
  \le
  \left(\int_U w^2\,\dd x\right)
  \left(4\int_U(\Delta w)^2\,\dd x\right)
  =
  e(t)\ddot e(t).
\]
因此
\begin{equation}
  e(t)\ddot e(t)\ge(\dot e(t))^2
  \qquad (0\le t\le T).
  \tag{46}
\end{equation}

2. 若 $e(t)=0$ 对所有 $0\le t\le T$ 成立，则证明完成。否则存在区间 $[t_1,t_2]\subset[0,T]$，使
\begin{equation}
  e(t)>0\quad (t_1\le t<t_2),\qquad e(t_2)=0.
  \tag{47}
\end{equation}

3. 写
\begin{equation}
  h(t)\coloneqq\log e(t)
  \qquad (t_1\le t<t_2).
  \tag{48}
\end{equation}
则
\[
  \ddot h(t)
  =
  \frac{\ddot e(t)e(t)-(\dot e(t))^2}{e(t)^2}
  \ge0
\]
由 (46)。因此 $h$ 在区间 $(t_1,t_2)$ 上凸。于是若 $0<\tau<1$、$t_1<t<t_2$，有
\[
  h((1-\tau)t_1+\tau t)
  \le
  (1-\tau)h(t_1)+\tau h(t).
\]
由 (48) 推出
\[
  e((1-\tau)t_1+\tau t)
  \le
  e(t_1)^{1-\tau}e(t)^\tau.
\]
令 $t=t_2$，得到
\[
  0\le
  e((1-\tau)t_1+\tau t_2)
  \le
  e(t_1)^{1-\tau}e(t_2)^\tau
  \qquad (0<\tau<1).
\]
但结合 (47)，这个不等式意味着 $e(t)=0$ 对所有 $t_1\le t\le t_2$ 成立，矛盾。$\square$



\section{2.4. 波方程}
本节研究波方程
\begin{equation}
  u_{tt}-\Delta u=0
  \tag{1}
\end{equation}
以及非齐次波方程
\begin{equation}
  u_{tt}-\Delta u=f,
  \tag{2}
\end{equation}
并配以适当的初始条件和边界条件。这里 $t>0$ 且 $x\in U$，其中 $U\subset\R^n$ 是开集。未知函数为
\[
  u:\overline U\times[0,\infty)\to\R,\qquad u=u(x,t),
\]
而 Laplace 算子 $\Delta$ 是关于空间变量 $x=(x_1,\ldots,x_n)$ 取的。在 (2) 中，函数
$f:U\times[0,\infty)\to\R$ 为给定函数。常用缩写是
\[
  \Box u\coloneqq u_{tt}-\Delta u.
\]
我们将发现，波方程解的行为同 Laplace 方程或热方程的解很不一样。例如，这些解一般并非 $C^\infty$，并且表现出有限传播速度等现象。

\paragraph{物理解释.}
波方程是振动弦（$n=1$）、振动膜（$n=2$）或弹性固体（$n=3$）的简化模型。在这些物理解释中，$u(x,t)$ 表示点 $x$ 在时刻 $t\ge0$ 沿某一方向的位移。

令 $V$ 表示 $U$ 的任一光滑子区域。则 $V$ 内的加速度为
\[
  \frac{d^2}{dt^2}\int_Vu\,\dd x
  =
  \int_Vu_{tt}\,\dd x,
\]
而净接触力为
\[
  -\int_{\partial V}F\cdot\nu\,\dd S,
\]
其中 $F$ 表示通过 $\partial V$ 作用于 $V$ 的力，质量密度取为 $1$。Newton 定律断言质量乘以加速度等于净力：
\[
  \int_Vu_{tt}\,\dd x
  =
  -\int_{\partial V}F\cdot\nu\,\dd S.
\]
该恒等式对每个子区域 $V$ 都成立，因此
\[
  u_{tt}=-\operatorname{div}F.
\]
对弹性体，$F$ 是位移梯度 $Du$ 的函数，于是
\[
  u_{tt}+\operatorname{div}F(Du)=0.
\]
当 $Du$ 很小时，线性化 $F(Du)\approx-aDu$ 常常是合适的；因而
\[
  u_{tt}-a\Delta u=0.
\]
若 $a=1$，这就是波方程。

这个物理解释强烈提示，在数学上指定两个初始条件是合适的，即在时刻 $t=0$ 指定位移 $u$ 和速度 $u_t$。

\subsection{2.4.1. 由球面平均求解}
我们在第 2.2.1 节和第 2.3.1 节中，分别从寻找 Laplace 方程和热方程的某些缩放不变解开始。对于波方程，我们改为介绍一个（相当）优美的方法：先直接求解 $n=1$ 的情形，再用球面平均方法处理 $n\ge2$。

\paragraph{a. $n=1$ 的解：d'Alembert 公式.}
先考虑整条实线上一维波方程的初值问题
\begin{equation}
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, & \text{于 }\R\times(0,\infty),\\
u=g,\quad u_t=h, & \text{于 }\R\times\{t=0\},
\end{cases}
\tag{3}
\end{equation}
其中 $g,h$ 为给定函数。我们希望推导出用 $g,h$ 表示 $u$ 的公式。

首先注意 (3) 中的偏微分方程可以“分解”为
\begin{equation}
  \left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\right)
  \left(\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial x}\right)u
  =
  u_{tt}-u_{xx}=0.
  \tag{4}
\end{equation}
写
\begin{equation}
  v(x,t)\coloneqq
  \left(\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial x}\right)u(x,t).
  \tag{5}
\end{equation}
则 (4) 表明
\[
  v_t(x,t)+v_x(x,t)=0
  \qquad (x\in\R,\ t>0).
\]
这是常系数输运方程。应用第 2.1.1 节公式 (3)（取 $n=1$、$b=1$），得
\begin{equation}
  v(x,t)=a(x-t),
  \tag{6}
\end{equation}
其中 $a(x)\coloneqq v(x,0)$。结合 (4)--(6)，得到
\[
  u_t(x,t)-u_x(x,t)=a(x-t)
  \qquad\text{于 }\R\times(0,\infty).
\]
这是一个非齐次输运方程；故第 2.1.2 节公式 (5)（取 $n=1$、$b=-1$、$f(x,t)=a(x-t)$）推出，对 $b(x)\coloneqq u(x,0)$ 有
\begin{equation}
\begin{aligned}
  u(x,t)
  &=
  \int_0^t a(x+(t-s)-s)\,\dd s+b(x+t)\\
  &=
  \frac12\int_{x-t}^{x+t}a(y)\,\dd y+b(x+t).
\end{aligned}
\tag{7}
\end{equation}
最后用 (3) 中的初始条件计算 $a,b$。第一个初始条件给出
\[
  b(x)=g(x)\qquad (x\in\R),
\]
而第二个初始条件和 (5) 蕴含
\[
  a(x)=v(x,0)=u_t(x,0)-u_x(x,0)=h(x)-g'(x)
  \qquad (x\in\R).
\]
代入 (7)，得到
\[
  u(x,t)
  =
  \frac12\int_{x-t}^{x+t}\bigl(h(y)-g'(y)\bigr)\,\dd y+g(x+t).
\]
因此
\begin{equation}
  u(x,t)=
  \frac12\bigl[g(x+t)+g(x-t)\bigr]
  +\frac12\int_{x-t}^{x+t}h(y)\,\dd y
  \qquad (x\in\R,\ t\ge0).
  \tag{8}
\end{equation}
这就是 d'Alembert 公式。

上面的推导假设 $u$ 是 (3) 的（足够光滑的）解。还需要检查这个公式确实给出一个解。

\paragraph{定理 1（波方程的解，$n=1$）.}
设 $g\in C^2(\R)$、$h\in C^1(\R)$，并由 d'Alembert 公式 (8) 定义 $u$。则
\[
\begin{array}{ll}
\text{(i)} & u\in C^2(\R\times[0,\infty)),\\
\text{(ii)} & u_{tt}-u_{xx}=0\quad\text{于 }\R\times(0,\infty),\\
\text{(iii)} &
\displaystyle\lim_{\substack{(x,t)\to(x_0,0)\\ t>0}}u(x,t)=g(x_0),\qquad
\displaystyle\lim_{\substack{(x,t)\to(x_0,0)\\ t>0}}u_t(x,t)=h(x_0)
\end{array}
\]
对每个点 $x_0\in\R$ 成立。

证明是直接计算。

\paragraph{注.}
1. 由 (8) 可见，解 $u$ 具有形式
\[
  u(x,t)=F(x+t)+G(x-t)
\]
对适当函数 $F,G$ 成立。反过来，任何这种形式的函数都求解 $u_{tt}-u_{xx}=0$。因此一维波方程的一般解，是 $u_t-u_x=0$ 的一般解与 $u_t+u_x=0$ 的一般解之和。这是分解式 (4) 的结果。见习题 19。

2. 由 (8) 还可见，若 $g\in C^k$ 且 $h\in C^{k-1}$，则 $u\in C^k$，但一般不会更光滑。因此波方程不像热方程那样使初始数据瞬时光滑化。

\paragraph{反射方法.}
作为 d'Alembert 公式的另一个应用，考虑半直线
\[
  \R_+=\{x>0\}
\]
上的初边值问题
\begin{equation}
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, & \text{于 }\R_+\times(0,\infty),\\
u=g,\quad u_t=h, & \text{于 }\R_+\times\{t=0\},\\
u=0, & \text{于 }\{x=0\}\times(0,\infty),
\end{cases}
\tag{9}
\end{equation}
其中 $g,h$ 给定，并且 $g(0)=h(0)=0$。

把 $u,g,h$ 奇延拓到整个 $\R$，就可把 (9) 化为 (3) 的形式。也就是说，令
\[
\widetilde u(x,t)\coloneqq
\begin{cases}
u(x,t), & x\ge0,\ t\ge0,\\
-u(-x,t), & x\le0,\ t\ge0,
\end{cases}
\]
\[
\widetilde g(x)\coloneqq
\begin{cases}
g(x), & x\ge0,\\
-g(-x), & x\le0,
\end{cases}
\qquad
\widetilde h(x)\coloneqq
\begin{cases}
h(x), & x\ge0,\\
-h(-x), & x\le0.
\end{cases}
\]
于是 (9) 变为
\[
\begin{cases}
\widetilde u_{tt}=\widetilde u_{xx}, & \text{于 }\R\times(0,\infty),\\
\widetilde u=\widetilde g,\quad \widetilde u_t=\widetilde h,
& \text{于 }\R\times\{t=0\}.
\end{cases}
\]
d'Alembert 公式 (8) 因而给出
\[
  \widetilde u(x,t)
  =
  \frac12\bigl[\widetilde g(x+t)+\widetilde g(x-t)\bigr]
  +\frac12\int_{x-t}^{x+t}\widetilde h(y)\,\dd y.
\]
回忆上面对 $\widetilde u,\widetilde g,\widetilde h$ 的定义，可以把这个表达式化成对 $x\ge0$、$t\ge0$ 的公式
\begin{equation}
u(x,t)=
\begin{cases}
\displaystyle
\frac12[g(x+t)+g(x-t)]
+\frac12\int_{x-t}^{x+t}h(y)\,\dd y,
& x\ge t\ge0,\\[2ex]
\displaystyle
\frac12[g(x+t)-g(t-x)]
+\frac12\int_{-x+t}^{x+t}h(y)\,\dd y,
& 0\le x\le t.
\end{cases}
\tag{10}
\end{equation}
若 $h\equiv0$，可以把公式 (10) 理解为：初始位移 $g$ 分裂成两部分，一部分以速度 $1$ 向右运动，另一部分以速度 $1$ 向左运动；后者随后在点 $x=0$ 处反射，该点是振动弦的固定端。

注意，除非 $g''(0)=0$，否则我们的解不属于 $C^2$。

\paragraph{b. 球面平均.}
现在设 $n\ge2$、$m\ge2$，并设 $u\in C^m(\R^n\times[0,\infty))$ 求解初值问题
\begin{equation}
\begin{cases}
u_{tt}-\Delta u=0, & \text{于 }\R^n\times(0,\infty),\\
u=g,\quad u_t=h, & \text{于 }\R^n\times\{t=0\}.
\end{cases}
\tag{11}
\end{equation}
我们要推导 $u$ 关于 $g,h$ 的显式公式。计划是先研究 $u$ 在某些球面上的平均。把这些平均看作时间 $t$ 和半径 $r$ 的函数，它们将满足 Euler--Poisson--Darboux 方程；当 $n$ 为奇数时，我们能把该方程化为普通一维波方程。应用 d'Alembert 公式，或者更准确地说应用其变体 (10)，最终得到解的公式。

\paragraph{记号.}
1. 令 $x\in\R^n$、$t>0$、$r>0$。定义
\begin{equation}
  U(x;r,t)\coloneqq
  \fint_{\partial B(x,r)}u(y,t)\,\dd S(y),
  \tag{12}
\end{equation}
即 $u(\cdot,t)$ 在球面 $\partial B(x,r)$ 上的平均。

2. 类似地，
\begin{equation}
\begin{cases}
G(x;r)\coloneqq \displaystyle\fint_{\partial B(x,r)}g(y)\,\dd S(y),\\[1ex]
H(x;r)\coloneqq \displaystyle\fint_{\partial B(x,r)}h(y)\,\dd S(y).
\end{cases}
\tag{13}
\end{equation}

固定 $x$ 后，以下把 $U$ 看作 $r,t$ 的函数，并找出它所满足的偏微分方程。

\paragraph{引理 1（Euler--Poisson--Darboux 方程）.}
固定 $x\in\R^n$，并令 $u$ 满足 (11)。则
$U\in C^m(\overline{\R}_+\times[0,\infty))$，并且
\begin{equation}
\begin{cases}
U_{tt}-U_{rr}-\dfrac{n-1}{r}U_r=0,
& \text{于 }\R_+\times(0,\infty),\\[1ex]
U=G,\quad U_t=H, & \text{于 }\R_+\times\{t=0\}.
\end{cases}
\tag{14}
\end{equation}
式 (14) 中的偏微分方程就是 Euler--Poisson--Darboux 方程。（注意
$U_{rr}+\frac{n-1}{r}U_r$ 是极坐标中 Laplace 算子的径向部分。）

\paragraph{证明.}
1. 如第 2.2.2 节定理 2 的证明中那样，对 $r>0$ 计算得
\begin{equation}
  U_r(x;r,t)=
  \frac rn\fint_{B(x,r)}\Delta u(y,t)\,\dd y.
  \tag{15}
\end{equation}
由此推出 $\lim_{r\to0^+}U_r(x;r,t)=0$。再对 (15) 求导，经过一些计算得到
\begin{equation}
  U_{rr}(x;r,t)
  =
  \fint_{\partial B(x,r)}\Delta u\,\dd S
  +\left(\frac1n-1\right)\fint_{B(x,r)}\Delta u\,\dd y.
  \tag{16}
\end{equation}
所以
\[
  \lim_{r\to0^+}U_{rr}(x;r,t)=\frac1n\Delta u(x,t).
\]
用公式 (16) 同样可计算 $U_{rrr}$ 等，从而验证 $U\in C^m(\overline{\R}_+\times[0,\infty))$。

2. 继续上面的计算，由 (15) 及 (11) 得
\[
  U_r
  =
  \frac rn\fint_{B(x,r)}u_{tt}\,\dd y
  =
  \frac1{n\alpha(n)r^{n-1}}\int_{B(x,r)}u_{tt}\,\dd y.
\]
因此
\[
  r^{n-1}U_r
  =
  \frac1{n\alpha(n)}\int_{B(x,r)}u_{tt}\,\dd y,
\]
故
\[
  (r^{n-1}U_r)_r
  =
  \frac1{n\alpha(n)}
  \int_{\partial B(x,r)}u_{tt}\,\dd S
  =
  r^{n-1}\fint_{\partial B(x,r)}u_{tt}\,\dd S
  =
  r^{n-1}U_{tt}.
\]
这正是 (14)。$\square$

\paragraph{c. $n=3,2$ 的解：Kirchhoff 公式和 Poisson 公式.}
接下来的小节要把 Euler--Poisson--Darboux 方程 (14) 化为通常的一维波方程。完整过程相当复杂，因此先停下来按 $n=3,2$ 的顺序处理较简单的情形。

\paragraph{$n=3$ 的解.}
以下令 $n=3$，并设
$u\in C^2(\R^3\times[0,\infty))$ 求解初值问题 (11)。回忆 (12)、(13) 中 $U,G,H$ 的定义，并设
\begin{equation}
  \widetilde U\coloneqq rU,\qquad
  \widetilde G\coloneqq rG,\quad \widetilde H\coloneqq rH.
  \tag{17--18}
\end{equation}
现在断言 $\widetilde U$ 求解
\begin{equation}
\begin{cases}
\widetilde U_{tt}-\widetilde U_{rr}=0,
& \text{于 }\R_+\times(0,\infty),\\
\widetilde U=\widetilde G,\quad \widetilde U_t=\widetilde H,
& \text{于 }\R_+\times\{t=0\},\\
\widetilde U=0, & \text{于 }\{r=0\}\times(0,\infty).
\end{cases}
\tag{19}
\end{equation}
事实上，
\[
  \widetilde U_{tt}
  =
  rU_{tt}
  =
  r\left(U_{rr}+\frac2rU_r\right)
  =
  rU_{rr}+2U_r
  =
  (U+rU_r)_r
  =
  \widetilde U_{rr}.
\]
还注意到 $\widetilde G(0)=0$。对 (19) 应用公式 (10)，当 $0\le r\le t$ 时得到
\begin{equation}
  \widetilde U(x;r,t)
  =
  \frac12[\widetilde G(t+r)-\widetilde G(t-r)]
  +\frac12\int_{t-r}^{t+r}\widetilde H(y)\,\dd y.
  \tag{20}
\end{equation}
由于 (12) 蕴含
\[
  u(x,t)=\lim_{r\to0^+}U(x;r,t),
\]
故由 (17)--(20) 推出
\[
\begin{aligned}
  u(x,t)
  &=
  \lim_{r\to0^+}\frac{\widetilde U(x;r,t)}r  \\
  &=
  \lim_{r\to0^+}
  \left[
  \frac{\widetilde G(t+r)-\widetilde G(t-r)}{2r}
  +\frac1{2r}\int_{t-r}^{t+r}\widetilde H(y)\,\dd y
  \right]  \\
  &=
  \widetilde G'(t)+\widetilde H(t).
\end{aligned}
\]
由 (13) 得
\begin{equation}
  u(x,t)=
  \frac{\partial}{\partial t}
  \left(t\fint_{\partial B(x,t)}g\,\dd S\right)
  +
  t\fint_{\partial B(x,t)}h\,\dd S .
  \tag{21}
\end{equation}
而
\[
  \fint_{\partial B(x,t)}g(y)\,\dd S(y)
  =
  \fint_{\partial B(0,1)}g(x+tz)\,\dd S(z),
\]
所以
\[
\begin{aligned}
  \frac{\partial}{\partial t}
  \left(\fint_{\partial B(x,t)}g\,\dd S\right)
  &=
  \fint_{\partial B(0,1)}Dg(x+tz)\cdot z\,\dd S(z)\\
  &=
  \fint_{\partial B(x,t)}
  Dg(y)\cdot\frac{y-x}{t}\,\dd S(y).
\end{aligned}
\]
回到 (21)，得
\begin{equation}
  u(x,t)=
  \fint_{\partial B(x,t)}
  \bigl[t\,h(y)+g(y)+Dg(y)\cdot(y-x)\bigr]\,\dd S(y)
  \quad (x\in\R^3,\ t>0).
  \tag{22}
\end{equation}
这就是三维初值问题 (11) 的 Kirchhoff 公式。

\paragraph{$n=2$ 的解.}
当 $n=2$ 时，没有类似 (17) 的变换能把 Euler--Poisson--Darboux 方程化为一维波方程。我们转而把 $n=2$ 的初值问题 (11) 视为 $n=3$ 的问题，只是第三个空间变量 $x_3$ 不出现。

设 $u\in C^2(\R^2\times[0,\infty))$ 求解 $n=2$ 时的 (11)，定义
\begin{equation}
  \overline u(x_1,x_2,x_3,t)\coloneqq u(x_1,x_2,t).
  \tag{23}
\end{equation}
则 (11) 蕴含
\begin{equation}
\begin{cases}
\overline u_{tt}-\Delta\overline u=0,
& \text{于 }\R^3\times(0,\infty),\\
\overline u=\overline g,\quad \overline u_t=\overline h,
& \text{于 }\R^3\times\{t=0\},
\end{cases}
\tag{24}
\end{equation}
其中
\[
  \overline g(x_1,x_2,x_3)\coloneqq g(x_1,x_2),
  \qquad
  \overline h(x_1,x_2,x_3)\coloneqq h(x_1,x_2).
\]
若写 $x=(x_1,x_2)\in\R^2$，$\overline x=(x_1,x_2,0)\in\R^3$，则 (24) 与 Kirchhoff 公式（以 (21) 的形式）给出
\begin{equation}
\begin{aligned}
  u(x,t)
  &=
  \overline u(\overline x,t)  \\
  &=
  \frac{\partial}{\partial t}
  \left(t\fint_{\partial B(\overline x,t)}\overline g\,\dd \overline S\right)
  +
  t\fint_{\partial B(\overline x,t)}\overline h\,\dd \overline S,
\end{aligned}
\tag{25}
\end{equation}
其中 $B(\overline x,t)$ 是 $\R^3$ 中以 $\overline x$ 为中心、半径为 $t$ 的球，$\dd\overline S$ 表示 $\partial B(\overline x,t)$ 上的二维面积元。

化简 (25)。令
\[
  \gamma(y)\coloneqq (t^2-|y-x|^2)^{1/2}
  \qquad (y\in B(x,t)\subset\R^2).
\]
球面 $\partial B(\overline x,t)$ 由两个半球组成，它们分别是 $\gamma$ 与 $-\gamma$ 的图像，且
\[
  (1+|D\gamma|^2)^{1/2}
  =
  t(t^2-|y-x|^2)^{-1/2}.
\]
因此
\[
  \fint_{\partial B(\overline x,t)}\overline g\,\dd\overline S
  =
  \frac1{2\pi t}
  \int_{B(x,t)}
  \frac{g(y)}{(t^2-|y-x|^2)^{1/2}}\,\dd y
  =
  \frac t2
  \fint_{B(x,t)}
  \frac{g(y)}{(t^2-|y-x|^2)^{1/2}}\,\dd y.
\]
把这个公式以及 $g$ 换成 $h$ 的类似公式代入 (25)，得
\begin{equation}
\begin{aligned}
  u(x,t)
  &=
  \frac12\frac{\partial}{\partial t}
  \left(
  t^2\fint_{B(x,t)}
  \frac{g(y)}{(t^2-|y-x|^2)^{1/2}}\,\dd y
  \right)\\
  &\quad+
  \frac{t^2}{2}\fint_{B(x,t)}
  \frac{h(y)}{(t^2-|y-x|^2)^{1/2}}\,\dd y .
\end{aligned}
\tag{26}
\end{equation}
又
\[
  t^2\fint_{B(x,t)}
  \frac{g(y)}{(t^2-|y-x|^2)^{1/2}}\,\dd y
  =
  t\fint_{B(0,1)}
  \frac{g(x+tz)}{(1-|z|^2)^{1/2}}\,\dd z,
\]
因此
\[
\begin{aligned}
  \frac{\partial}{\partial t}
  \left(
  t^2\fint_{B(x,t)}
  \frac{g(y)}{(t^2-|y-x|^2)^{1/2}}\,\dd y
  \right)
  &=
  t\fint_{B(x,t)}
  \frac{g(y)}{(t^2-|y-x|^2)^{1/2}}\,\dd y\\
  &\quad+
  t\fint_{B(x,t)}
  \frac{Dg(y)\cdot(y-x)}{(t^2-|y-x|^2)^{1/2}}\,\dd y .
\end{aligned}
\]
于是 (26) 可写为
\begin{equation}
  u(x,t)
  =
  \frac12\fint_{B(x,t)}
  \frac{t\,g(y)+t^2h(y)+t\,Dg(y)\cdot(y-x)}
       {(t^2-|y-x|^2)^{1/2}}\,\dd y
  \qquad (x\in\R^2,\ t>0).
  \tag{27}
\end{equation}
这就是二维初值问题 (11) 的 Poisson 公式。

先求解 $n=3$，再降到 $n=2$ 的技巧称为降维法。

\paragraph{d. 奇数维的解.}
本小节求解奇数 $n\ge3$ 时的 Euler--Poisson--Darboux 方程。先记录一些技术事实。

\paragraph{引理 2（若干有用恒等式）.}
设 $\phi:\R\to\R$ 属于 $C^{k+1}$。则对 $k=1,2,\ldots$，
\[
\text{(i)}\quad
\left(\frac{d^2}{dr^2}\right)
\left(\frac1r\frac d{dr}\right)^{k-1}
\bigl(r^{2k-1}\phi(r)\bigr)
=
\left(\frac1r\frac d{dr}\right)^k
\left(r^{2k}\frac{d\phi}{dr}(r)\right),
\]
\[
\text{(ii)}\quad
\left(\frac1r\frac d{dr}\right)^{k-1}
\bigl(r^{2k-1}\phi(r)\bigr)
=
\sum_{j=0}^{k-1}\beta_{jk}r^{j+1}\frac{d^j\phi}{dr^j}(r),
\]
其中常数 $\beta_{jk}$（$j=0,\ldots,k-1$）与 $\phi$ 无关。此外
\[
\text{(iii)}\quad
\beta_{0k}=1\cdot3\cdot5\cdots(2k-1).
\]
证明由归纳完成，留作练习。

现在假设
\[
  n\ge3\quad\text{为奇整数},
\]
并写
\[
  n=2k+1\qquad (k\ge1).
\]
以下设 $u\in C^{k+1}(\R^n\times[0,\infty))$ 求解初值问题 (11)。则由 (12) 定义的函数 $U$ 属于 $C^{k+1}$。

\paragraph{记号.}
写
\begin{equation}
\begin{cases}
\displaystyle
\widetilde U(r,t)\coloneqq
\left(\frac1r\frac\partial{\partial r}\right)^{k-1}
\bigl(r^{2k-1}U(x;r,t)\bigr),\\[2ex]
\displaystyle
\widetilde G(r)\coloneqq
\left(\frac1r\frac\partial{\partial r}\right)^{k-1}
\bigl(r^{2k-1}G(x;r)\bigr),\\[2ex]
\displaystyle
\widetilde H(r)\coloneqq
\left(\frac1r\frac\partial{\partial r}\right)^{k-1}
\bigl(r^{2k-1}H(x;r)\bigr),
\end{cases}
\tag{28}
\end{equation}
其中 $r>0$、$t\ge0$。则
\begin{equation}
  \widetilde U(r,0)=\widetilde G(r),\qquad
  \widetilde U_t(r,0)=\widetilde H(r).
  \tag{29}
\end{equation}

\paragraph{引理 3（$\widetilde U$ 求解一维波方程）.}
我们有
\[
\begin{cases}
\widetilde U_{tt}-\widetilde U_{rr}=0,
& \text{于 }\R_+\times(0,\infty),\\
\widetilde U=\widetilde G,\quad \widetilde U_t=\widetilde H,
& \text{于 }\R_+\times\{t=0\},\\
\widetilde U=0, & \text{于 }\{r=0\}\times(0,\infty).
\end{cases}
\]

\paragraph{证明.}
若 $r>0$，则
\[
\begin{aligned}
  \widetilde U_{rr}
  &=
  \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}\right)
  \left(\frac1r\frac\partial{\partial r}\right)^{k-1}
  (r^{2k-1}U)\\
  &=
  \left(\frac1r\frac\partial{\partial r}\right)^k
  (r^{2k}U_r)
  \qquad\text{由引理 2(i)}\\
  &=
  \left(\frac1r\frac\partial{\partial r}\right)^{k-1}
  [r^{2k-1}U_{rr}+2kr^{2k-2}U_r]\\
  &=
  \left(\frac1r\frac\partial{\partial r}\right)^{k-1}
  \left[r^{2k-1}\left(U_{rr}+\frac{n-1}{r}U_r\right)\right]\\
  &=
  \left(\frac1r\frac\partial{\partial r}\right)^{k-1}
  (r^{2k-1}U_{tt})
  =
  \widetilde U_{tt},
\end{aligned}
\]
其中倒数第二个等号由 (14) 得出。由引理 2(ii) 还可推出 $\widetilde U=0$ 于 $\{r=0\}$。$\square$

由引理 3、(29) 和公式 (10)，当 $0\le r\le t$ 时，
\begin{equation}
  \widetilde U(r,t)
  =
  \frac12[\widetilde G(t+r)-\widetilde G(t-r)]
  +\frac12\int_{t-r}^{t+r}\widetilde H(y)\,\dd y.
  \tag{30}
\end{equation}
但回忆 $u(x,t)=\lim_{r\to0}U(x;r,t)$。又引理 2(ii) 断言
\[
  \widetilde U(r,t)
  =
  \sum_{j=0}^{k-1}\beta_{jk}r^{j+1}
  \frac{\partial^j}{\partial r^j}U(x;r,t),
\]
所以
\[
  \lim_{r\to0}\frac{\widetilde U(r,t)}{\beta_{0k}r}
  =
  \lim_{r\to0}U(x;r,t)=u(x,t).
\]
于是 (30) 蕴含
\[
  u(x,t)
  =
  \frac1{\beta_{0k}}
  \left[\widetilde G'(t)+\widetilde H(t)\right].
\]
最后，由于 $n=2k+1$，(30) 与引理 2(iii) 给出如下表示公式：
\begin{equation}
\begin{aligned}
  u(x,t)
  &=
  \frac1{\gamma_n}
  \Bigg[
  \frac{\partial}{\partial t}
  \left(\frac1t\frac\partial{\partial t}\right)^{(n-3)/2}
  \left(
    t^{n-2}\fint_{\partial B(x,t)}g\,\dd S
  \right)\\
  &\qquad+
  \left(\frac1t\frac\partial{\partial t}\right)^{(n-3)/2}
  \left(
    t^{n-2}\fint_{\partial B(x,t)}h\,\dd S
  \right)
  \Bigg],
\end{aligned}
\tag{31}
\end{equation}
其中 $n$ 为奇数，
\[
  \gamma_n=1\cdot3\cdot5\cdots(n-2),
\]
并且 $x\in\R^n$、$t>0$。

注意 $\gamma_3=1$，因此 $n=3$ 时 (31) 与 (21)，从而与 Kirchhoff 公式 (22) 一致。

还剩下检查公式 (31) 确实给出 (11) 的一个解。

\paragraph{定理 2（奇数维波方程的解）.}
设 $n$ 为奇整数，$n\ge3$，并设
\[
  g\in C^{m+1}(\R^n),\qquad h\in C^m(\R^n),
  \qquad m=\frac{n+1}{2}.
\]
由 (31) 定义 $u$。则
\[
\begin{array}{ll}
\text{(i)} & u\in C^2(\R^n\times[0,\infty)),\\
\text{(ii)} & u_{tt}-\Delta u=0\quad\text{于 }\R^n\times(0,\infty),\\
\text{(iii)} &
\displaystyle\lim_{\substack{(x,t)\to(x_0,0)\\ x\in\R^n,\ t>0}}u(x,t)=g(x_0),\quad
\displaystyle\lim_{\substack{(x,t)\to(x_0,0)\\ x\in\R^n,\ t>0}}u_t(x,t)=h(x_0)
\end{array}
\]
对每个点 $x_0\in\R^n$ 成立。

\paragraph{证明.}
1. 先设 $g\equiv0$，于是
\begin{equation}
  u(x,t)=
  \frac1{\gamma_n}
  \left(\frac1t\frac\partial{\partial t}\right)^{(n-3)/2}
  \bigl(t^{n-2}H(x;t)\bigr).
  \tag{32}
\end{equation}
由引理 2(i) 可算得
\[
  u_{tt}
  =
  \frac1{\gamma_n}
  \left(\frac1t\frac\partial{\partial t}\right)^{(n-1)/2}
  \bigl(t^{n-1}H_t\bigr).
\]
由第 2.2.2 节定理 2 证明中的计算，还知道
\[
  H_t=\frac tn\fint_{B(x,t)}\Delta h\,\dd y.
\]
因此
\[
  u_{tt}
  =
  \frac1{n\alpha(n)\gamma_n}
  \left(\frac1t\frac\partial{\partial t}\right)^{(n-1)/2}
  \left(\int_{B(x,t)}\Delta h\,\dd y\right)
  =
  \Delta u.
\]
另一方面，
\[
  \Delta H(x;t)=
  \Delta_x\fint_{\partial B(0,t)}h(x+y)\,\dd S(y)
  =
  \fint_{\partial B(x,t)}\Delta h\,\dd S.
\]
于是 (32) 与上述计算推出 $u_{tt}=\Delta u$ 于 $\R^n\times(0,\infty)$。若 $h\equiv0$，同样的计算也成立。

2. 利用引理 2(ii)--(iii) 可以确认 $u$ 取得正确的初始条件；此细节留作练习。$\square$

\paragraph{注.}
1. 注意，为计算 $u(x,t)$，只需要知道 $g,h$ 及其导数在球面 $\partial B(x,t)$ 上的信息，而不需要知道整个球 $B(x,t)$ 上的信息。

2. 把公式 (31) 与 d'Alembert 公式 (8)（$n=1$）比较，可以看到后者不含 $g$ 的导数。这提示我们，当 $n>1$ 时，波方程 (11) 的解在 $t>0$ 时未必像初值 $g$ 那样光滑：$g$ 中的不规则性可能在 $t>0$ 时聚焦，从而导致 $u$ 正则性降低。（稍后第 2.4.3 节会看到，$u$ 的“能量范数”在 $t>0$ 时不会变坏。）

3. 再一次（如 $n=1$ 的情形）看到初始扰动的有限传播速度现象。

4. 第 4.3.3 节给出了公式 (31) 的一种完全不同的推导（使用热方程！）。

\paragraph{e. 偶数维的解.}
现在假设
\[
  n\quad\text{为偶整数}.
\]
设 $u$ 是 (11) 的一个 $C^m$ 解，其中 $m=(n+2)/2$。我们要为 $u$ 构造类似 (31) 的表示公式。技巧同上面对 $n=2$ 的处理：注意
\begin{equation}
  \overline u(x_1,\ldots,x_{n+1},t)
  \coloneqq
  u(x_1,\ldots,x_n,t)
  \tag{33}
\end{equation}
在 $\R^{n+1}\times(0,\infty)$ 中求解波方程，初始条件为
\[
  \overline u=\overline g,\qquad
  \overline u_t=\overline h
  \quad\text{于 }\R^{n+1}\times\{t=0\},
\]
其中
\begin{equation}
\begin{cases}
\overline g(x_1,\ldots,x_{n+1})\coloneqq g(x_1,\ldots,x_n),\\
\overline h(x_1,\ldots,x_{n+1})\coloneqq h(x_1,\ldots,x_n).
\end{cases}
\tag{34}
\end{equation}
由于 $n+1$ 是奇数，可以使用 (31)（把其中 $n$ 换成 $n+1$）来获得 $\overline u$ 关于 $\overline g,\overline h$ 的表示公式。然后 (33)、(34) 立即给出 $u$ 关于 $g,h$ 的公式。这仍然是降维法。

具体而言，固定 $x\in\R^n$、$t>0$，并写
\[
  \overline x=(x_1,\ldots,x_n,0)\in\R^{n+1}.
\]
由 (31)（把 $n$ 换成 $n+1$）得
\begin{equation}
\begin{aligned}
  u(x,t)
  =
  \frac1{\gamma_{n+1}}
  \Bigg[
  &\frac\partial{\partial t}
  \left(\frac1t\frac\partial{\partial t}\right)^{(n-2)/2}
  \left(
  t^{n-1}\fint_{\partial B(\overline x,t)}
  \overline g\,\dd\overline S
  \right)\\
  &+
  \left(\frac1t\frac\partial{\partial t}\right)^{(n-2)/2}
  \left(
  t^{n-1}\fint_{\partial B(\overline x,t)}
  \overline h\,\dd\overline S
  \right)
  \Bigg],
\end{aligned}
\tag{35}
\end{equation}
其中 $B(\overline x,t)$ 是 $\R^{n+1}$ 中以 $\overline x$ 为中心、半径为 $t$ 的球，$\dd\overline S$ 表示 $\partial B(\overline x,t)$ 上的 $n$ 维面积元。

现在
\begin{equation}
  \fint_{\partial B(\overline x,t)}\overline g\,\dd\overline S
  =
  \frac1{(n+1)\alpha(n+1)t^n}
  \int_{\partial B(\overline x,t)}\overline g\,\dd\overline S.
  \tag{36}
\end{equation}
注意 $\partial B(\overline x,t)\cap\{y_{n+1}\ge0\}$ 是函数
\[
  \gamma(y)\coloneqq(t^2-|y-x|^2)^{1/2}
  \qquad (y\in B(x,t)\subset\R^n)
\]
的图像；同样，$\partial B(\overline x,t)\cap\{y_{n+1}\le0\}$ 是 $-\gamma$ 的图像。故 (36) 蕴含
\begin{equation}
  \fint_{\partial B(\overline x,t)}\overline g\,\dd\overline S
  =
  \frac2{(n+1)\alpha(n+1)t^n}
  \int_{B(x,t)}g(y)(1+|D\gamma(y)|^2)^{1/2}\,\dd y.
  \tag{37}
\end{equation}
因子 $2$ 的出现，是因为 $\partial B(\overline x,t)$ 由两个半球组成。又
\[
  (1+|D\gamma(y)|^2)^{1/2}
  =
  t(t^2-|y-x|^2)^{-1/2}.
\]
代入 (37)，得到
\[
  \fint_{\partial B(\overline x,t)}\overline g\,\dd\overline S
  =
  \frac{2t\alpha(n)}{(n+1)\alpha(n+1)}
  \fint_{B(x,t)}
  \frac{g(y)}{(t^2-|y-x|^2)^{1/2}}\,\dd y.
\]
把这个公式以及 $h$ 代替 $g$ 的类似公式代入 (35)，并利用
\[
  \gamma_{n+1}=1\cdot3\cdot5\cdots(n-1),
\]
得到偶数维的表示公式：
\begin{equation}
\begin{aligned}
  u(x,t)
  =
  \frac1{\gamma_n}
  \Bigg[
  &\frac\partial{\partial t}
  \left(\frac1t\frac\partial{\partial t}\right)^{(n-2)/2}
  \left(
  t^n\fint_{B(x,t)}
  \frac{g(y)}{(t^2-|y-x|^2)^{1/2}}\,\dd y
  \right)\\
  &+
  \left(\frac1t\frac\partial{\partial t}\right)^{(n-2)/2}
  \left(
  t^n\fint_{B(x,t)}
  \frac{h(y)}{(t^2-|y-x|^2)^{1/2}}\,\dd y
  \right)
  \Bigg],
\end{aligned}
\tag{38}
\end{equation}
其中 $n$ 为偶数，
\[
  \gamma_n=2\cdot4\cdots(n-2)\cdot n,
\]
并且 $x\in\R^n$、$t>0$。

由于 $\gamma_2=2$，当 $n=2$ 时，这与 Poisson 公式 (27) 一致。

\paragraph{定理 3（偶数维波方程的解）.}
设 $n$ 为偶整数，$n\ge2$，并设
\[
  g\in C^{m+1}(\R^n),\qquad h\in C^m(\R^n),
  \qquad m=\frac{n+2}{2}.
\]
由 (38) 定义 $u$。则
\[
\begin{array}{ll}
\text{(i)} & u\in C^2(\R^n\times[0,\infty)),\\
\text{(ii)} & u_{tt}-\Delta u=0\quad\text{于 }\R^n\times(0,\infty),\\
\text{(iii)} &
\displaystyle\lim_{\substack{(x,t)\to(x_0,0)\\ x\in\R^n,\ t>0}}u(x,t)=g(x_0),\quad
\displaystyle\lim_{\substack{(x,t)\to(x_0,0)\\ x\in\R^n,\ t>0}}u_t(x,t)=h(x_0)
\end{array}
\]
对每个点 $x_0\in\R^n$ 成立。

这由定理 2 推出。注意，与公式 (31) 不同，偶数维中为了计算 $u(x,t)$，需要知道 $u=g$、$u_t=h$ 在整个 $B(x,t)$ 上的信息，而不仅是 $\partial B(x,t)$ 上的信息。

\paragraph{Huygens 原理.}
比较 (31) 与 (38)，可以看到：若 $n$ 为奇数且 $n\ge3$，给定点 $x\in\R^n$ 处的数据 $g,h$ 只在锥面
\[
  \{(y,t)\mid t>0,\ |x-y|=t\}
\]
上影响解 $u$，该锥面是
\[
  C=\{(y,t)\mid t>0,\ |x-y|<t\}
\]
的边界。另一方面，若 $n$ 为偶数，则数据 $g,h$ 会影响整个 $C$ 内的 $u$。换言之，源自 $x$ 的“扰动”在奇数维中沿一个清晰的波前传播，而在偶数维中，即使波前的前沿已经经过，它仍会继续产生影响。这就是 Huygens 原理。

\subsection{2.4.2. 非齐次问题}
接下来研究非齐次波方程的初值问题
\begin{equation}
\begin{cases}
u_{tt}-\Delta u=f, & \text{于 }\R^n\times(0,\infty),\\
u=0,\quad u_t=0, & \text{于 }\R^n\times\{t=0\}.
\end{cases}
\tag{39}
\end{equation}
受前面第 2.3.1 节引入的 Duhamel 原理启发，定义 $u=u(x,t;s)$ 为下列问题的解：
\begin{equation}
\begin{cases}
u_{tt}(\cdot;s)-\Delta u(\cdot;s)=0,
& \text{于 }\R^n\times(s,\infty),\\
u(\cdot;s)=0,\quad u_t(\cdot;s)=f(\cdot,s),
& \text{于 }\R^n\times\{t=s\}.
\end{cases}
\tag{$40_s$}
\end{equation}
现在令
\begin{equation}
  u(x,t)\coloneqq\int_0^t u(x,t;s)\,\dd s
  \qquad (x\in\R^n,\ t\ge0).
  \tag{41}
\end{equation}
Duhamel 原理断言，这就是
\begin{equation}
\begin{cases}
u_{tt}-\Delta u=f, & \text{于 }\R^n\times(0,\infty),\\
u=0,\quad u_t=0, & \text{于 }\R^n\times\{t=0\}
\end{cases}
\tag{42}
\end{equation}
的解。

\paragraph{定理 4（非齐次波方程的解）.}
设 $n\ge2$ 且
\[
  f\in C^{[n/2]+1}(\R^n\times[0,\infty)).
\]
由 (41) 定义 $u$。则
\[
\begin{array}{ll}
\text{(i)} & u\in C^2(\R^n\times[0,\infty)),\\
\text{(ii)} & u_{tt}-\Delta u=f\quad\text{于 }\R^n\times(0,\infty),\\
\text{(iii)} &
\displaystyle\lim_{\substack{(x,t)\to(x_0,0)\\ x\in\R^n,\ t>0}}u(x,t)=0,\quad
\displaystyle\lim_{\substack{(x,t)\to(x_0,0)\\ x\in\R^n,\ t>0}}u_t(x,t)=0
\end{array}
\]
对每个点 $x_0\in\R^n$ 成立。

\paragraph{证明.}
1. 若 $n$ 为奇数，则 $[n/2]+1=(n+1)/2$。由定理 2，对每个 $s\ge0$，
$u(\cdot,\cdot;s)\in C^2(\R^n\times[s,\infty))$，故
$u\in C^2(\R^n\times[0,\infty))$。若 $n$ 为偶数，则
$[n/2]+1=(n+2)/2$，由定理 3 同样得到
$u\in C^2(\R^n\times[0,\infty))$。

2. 计算得
\[
  u_t(x,t)
  =
  u(x,t;t)+\int_0^t u_t(x,t;s)\,\dd s
  =
  \int_0^t u_t(x,t;s)\,\dd s,
\]
并且
\[
  u_{tt}(x,t)
  =
  u_t(x,t;t)+\int_0^t u_{tt}(x,t;s)\,\dd s
  =
  f(x,t)+\int_0^t u_{tt}(x,t;s)\,\dd s.
\]
又
\[
  \Delta u(x,t)
  =
  \int_0^t\Delta u(x,t;s)\,\dd s
  =
  \int_0^t u_{tt}(x,t;s)\,\dd s.
\]
因此
\[
  u_{tt}(x,t)-\Delta u(x,t)=f(x,t)
  \qquad (x\in\R^n,\ t>0),
\]
并且显然 $u(x,0)=u_t(x,0)=0$。$\square$

于是一般非齐次问题的解，是 (11) 的解（由公式 (8)、(31) 或 (38) 给出）与 (42) 的解（由 (41) 给出）之和。

\paragraph{例.}
1. 先显式写出 $n=1$ 时 (42) 的解。此时 d'Alembert 公式 (8) 给出
\[
  u(x,t;s)=
  \frac12\int_{x-t+s}^{x+t-s}f(y,s)\,\dd y,
\]
因而
\[
  u(x,t)=
  \frac12\int_0^t\int_{x-t+s}^{x+t-s}f(y,s)\,\dd y\,\dd s.
\]
也就是说
\begin{equation}
  u(x,t)=
  \frac12\int_0^t\int_{x-s}^{x+s}f(y,t-s)\,\dd y\,\dd s
  \qquad (x\in\R,\ t\ge0).
  \tag{43}
\end{equation}

2. 当 $n=3$ 时，Kirchhoff 公式 (22) 蕴含
\[
  u(x,t;s)=
  (t-s)\fint_{\partial B(x,t-s)}f(y,s)\,\dd S,
\]
于是
\[
\begin{aligned}
  u(x,t)
  &=
  \int_0^t(t-s)
  \left(\fint_{\partial B(x,t-s)}f(y,s)\,\dd S\right)\dd s\\
  &=
  \frac1{4\pi}\int_0^t\int_{\partial B(x,t-s)}
  \frac{f(y,s)}{t-s}\,\dd S\,\dd s\\
  &=
  \frac1{4\pi}\int_0^t\int_{\partial B(x,r)}
  \frac{f(y,t-r)}r\,\dd S\,\dd r.
\end{aligned}
\]
因此
\begin{equation}
  u(x,t)=
  \frac1{4\pi}
  \int_{B(x,t)}
  \frac{f(y,t-|y-x|)}{|y-x|}\,\dd y
  \qquad (x\in\R^3,\ t\ge0)
  \tag{44}
\end{equation}
求解 $n=3$ 时的 (42)。右端的被积函数称为推迟势。

\subsection{2.4.3. 能量方法}
显式公式 (31) 和 (38) 表明，随着维数 $n$ 越来越大，为保证波方程存在 $C^2$ 解，需要对数据 $g,h$ 作越来越高的光滑性假设。这提示我们，也许用另外一种方式度量函数的大小和光滑性更合适。事实上，本小节会看到，波方程关于某些积分“能量”范数表现良好（对所有 $n$ 都如此）。

\paragraph{a. 唯一性.}
令 $U\subset\R^n$ 为有光滑边界 $\partial U$ 的有界开集，并照常记
\[
  U_T=U\times(0,T],\qquad
  \Gamma_T=\overline U_T-U_T,
\]
其中 $T>0$。

考虑初边值问题
\begin{equation}
\begin{cases}
u_{tt}-\Delta u=f, & \text{于 }U_T,\\
u=g, & \text{于 }\Gamma_T,\\
u_t=h, & \text{于 }U\times\{t=0\}.
\end{cases}
\tag{45}
\end{equation}

\paragraph{定理 5（波方程的唯一性）.}
至多存在一个函数 $u\in C^2(\overline U_T)$ 求解 (45)。

\paragraph{证明.}
若 $\widetilde u$ 是另一个这样的解，则 $w\coloneqq u-\widetilde u$ 求解
\[
\begin{cases}
w_{tt}-\Delta w=0, & \text{于 }U_T,\\
w=0, & \text{于 }\Gamma_T,\\
w_t=0, & \text{于 }U\times\{t=0\}.
\end{cases}
\]
定义“能量”
\[
  E(t)\coloneqq
  \frac12\int_U\left(w_t^2(x,t)+|Dw(x,t)|^2\right)\dd x
  \qquad (0\le t\le T).
\]
计算
\[
\begin{aligned}
  \dot E(t)
  &=
  \int_U w_tw_{tt}+Dw\cdot Dw_t\,\dd x\\
  &=
  \int_U w_t(w_{tt}-\Delta w)\,\dd x
  =0.
\end{aligned}
\]
没有边界项，因为 $w=0$，因而 $w_t=0$ 于 $\partial U\times[0,T]$。因此对所有 $0\le t\le T$，
\[
  E(t)=E(0)=0.
\]
于是 $w_t,Dw\equiv0$ 于 $U_T$。又因 $w\equiv0$ 于 $U\times\{t=0\}$，推出
$w=u-\widetilde u\equiv0$ 于 $U_T$。$\square$

\paragraph{b. 依赖区域.}
作为能量方法的另一个说明，再来考察整空间中波方程解的依赖区域。设 $u\in C^2$ 求解
\[
  u_{tt}-\Delta u=0
  \qquad\text{于 }\R^n\times(0,\infty).
\]
固定 $x_0\in\R^n$、$t_0>0$，并考虑顶点为 $(x_0,t_0)$ 的向后波锥
\[
  K(x_0,t_0)\coloneqq
  \{(x,t)\mid 0\le t\le t_0,\ |x-x_0|\le t_0-t\}.
\]

\paragraph{定理 6（有限传播速度）.}
若
\[
  u\equiv u_t\equiv0
  \qquad\text{于 }B(x_0,t_0)\times\{t=0\},
\]
则 $u\equiv0$ 于锥 $K(x_0,t_0)$ 内。

特别地，可见任何源自 $B(x_0,t_0)$ 外部的“扰动”都不会影响 $K(x_0,t_0)$ 内的解，因此扰动具有有限传播速度。在 $g=u$、$h=u_t$ 于 $\R^n\times\{t=0\}$ 足够光滑的假设下，我们已经能从表示公式 (31) 和 (38) 看出这一点。这里的要点是，能量方法给出了简单得多的证明。

\paragraph{证明.}
定义局部能量
\[
  e(t)\coloneqq
  \frac12\int_{B(x_0,t_0-t)}
  \left(u_t^2(x,t)+|Du(x,t)|^2\right)\dd x
  \qquad (0\le t\le t_0).
\]
则
\begin{equation}
\begin{aligned}
  \dot e(t)
  &=
  \int_{B(x_0,t_0-t)}
  \bigl(u_tu_{tt}+Du\cdot Du_t\bigr)\,\dd x
  -\frac12\int_{\partial B(x_0,t_0-t)}
  \bigl(u_t^2+|Du|^2\bigr)\,\dd S\\
  &=
  \int_{B(x_0,t_0-t)}u_t(u_{tt}-\Delta u)\,\dd x
  +
  \int_{\partial B(x_0,t_0-t)}
  \frac{\partial u}{\partial\nu}u_t\,\dd S\\
  &\qquad
  -\frac12\int_{\partial B(x_0,t_0-t)}
  \bigl(u_t^2+|Du|^2\bigr)\,\dd S\\
  &=
  \int_{\partial B(x_0,t_0-t)}
  \left(
  \frac{\partial u}{\partial\nu}u_t
  -\frac12u_t^2
  -\frac12|Du|^2
  \right)\dd S.
\end{aligned}
\tag{46}
\end{equation}
由 Cauchy--Schwarz 不等式和 Cauchy 不等式（第 B.2 节），
\begin{equation}
  \left|\frac{\partial u}{\partial\nu}u_t\right|
  \le |u_t||Du|
  \le\frac12u_t^2+\frac12|Du|^2.
  \tag{47}
\end{equation}
把 (47) 代入 (46)，得到 $\dot e(t)\le0$。故
\[
  e(t)\le e(0)=0
  \qquad (0\le t\le t_0).
\]
于是 $u_t,Du\equiv0$，从而 $u\equiv0$ 于锥 $K(x_0,t_0)$ 内。$\square$

第 7.2.4 节给出了把这个证明推广到更复杂几何情形的方法。第 12.1 节也有非线性波方程的类似计算。

\section{2.5. 习题}
以下习题中，除非另有说明，所有给定函数均假设为光滑函数。

\begin{enumerate}[label=\arabic*., leftmargin=2.4em]
\item 写出一个求解初值问题
\[
\begin{cases}
u_t+b\cdot Du+cu=0, & \text{于 }\R^n\times(0,\infty),\\
u=g, & \text{于 }\R^n\times\{t=0\}
\end{cases}
\]
的函数 $u$ 的显式公式。这里 $c\in\R$ 与 $b\in\R^n$ 为常数。

\item 证明 Laplace 方程 $\Delta u=0$ 在旋转下不变；也就是说，若 $O$ 是正交 $n\times n$ 矩阵，并定义
\[
  v(x)\coloneqq u(Ox)\qquad (x\in\R^n),
\]
则 $\Delta v=0$。

\item 修改平均值公式的证明，说明当 $n\ge3$ 时，若
\[
\begin{cases}
-\Delta u=f, & \text{于 }B^0(0,r),\\
u=g, & \text{于 }\partial B(0,r),
\end{cases}
\]
则
\[
  u(0)=
  \fint_{\partial B(0,r)}g\,\dd S
  +
  \frac1{n(n-2)\alpha(n)}
  \int_{B(0,r)}
  \left(\frac1{|x|^{n-2}}-\frac1{r^{n-2}}\right)f\,\dd x.
\]

\item 直接证明：若 $u\in C^2(U)\cap C(\overline U)$ 在有界开集 $U$ 内调和，则
\[
  \max_{\overline U}u=\max_{\partial U}u.
\]
提示：对 $\varepsilon>0$ 定义 $u^\varepsilon\coloneqq u+\varepsilon|x|^2$，并证明 $u^\varepsilon$ 不可能在内部点取得 $\overline U$ 上的最大值。

\item 若 $v\in C^2(\overline U)$ 且
\[
  -\Delta v\le0\qquad\text{于 }U,
\]
则称 $v$ 为次调和函数。
\begin{enumerate}[label=(\alph*), leftmargin=2em]
\item 证明对次调和函数 $v$ 有
\[
  v(x)\le\fint_{B(x,r)}v\,\dd y
  \qquad\text{对所有 }B(x,r)\subset U.
\]
\item 由此证明，若 $U$ 有界，则
\[
  \max_{\overline U}v=\max_{\partial U}v.
\]
\item 设 $\phi:\R\to\R$ 光滑且凸。若 $u$ 调和且 $v\coloneqq\phi(u)$，证明 $v$ 次调和。
\item 证明只要 $u$ 调和，$v\coloneqq|Du|^2$ 就次调和。
\end{enumerate}

\item 设 $U$ 是 $\R^n$ 的有界开子集。证明存在只依赖于 $U$ 的常数 $C$，使得只要 $u$ 是
\[
\begin{cases}
-\Delta u=f, & \text{于 }U,\\
u=g, & \text{于 }\partial U
\end{cases}
\]
的光滑解，就有
\[
  \max_{\overline U}|u|
  \le
  C\left(\max_{\partial U}|g|+\max_{\overline U}|f|\right).
\]
提示：令 $\lambda\coloneqq\max_{\overline U}|f|$，则
$-\Delta(u+\lambda |x|^2/(2n))\le0$。

\item 用球的 Poisson 公式证明：若 $u$ 在 $B^0(0,r)$ 中正且调和，则
\[
  r^{n-2}\frac{r-|x|}{(r+|x|)^{n-1}}u(0)
  \le u(x)\le
  r^{n-2}\frac{r+|x|}{(r-|x|)^{n-1}}u(0).
\]
这是 Harnack 不等式的一个显式形式。

\item 证明第 2.2.4 节中的定理 15。提示：由于 $u\equiv1$ 在 $g\equiv1$ 时求解 (44)，理论自动推出
\[
  \int_{\partial B(0,1)}K(x,y)\,\dd S(y)=1
\]
对每个 $x\in B^0(0,1)$ 成立。

\item 设 $u$ 是由半空间 Poisson 公式给出的
\[
\begin{cases}
\Delta u=0, & \text{于 }\R^n_+,\\
u=g, & \text{于 }\partial\R^n_+
\end{cases}
\]
的解。假设 $g$ 有界，且当 $x\in\partial\R^n_+$、$|x|\le1$ 时 $g(x)=|x|$。证明 $Du$ 在 $x=0$ 附近无界。
提示：估计
\[
  \frac{u(\lambda e_n)-u(0)}{\lambda}.
\]

\item （反射原理）
\begin{enumerate}[label=(\alph*), leftmargin=2em]
\item 令 $U^+$ 表示开半球 $\{x\in\R^n\mid |x|<1,\ x_n>0\}$。设 $u\in C^2(U^+)$ 在 $U^+$ 中调和，且 $u=0$ 于 $\partial U^+\cap\{x_n=0\}$。对 $x\in U=B^0(0,1)$，令
\[
  v(x)\coloneqq
  \begin{cases}
  u(x), & x_n\ge0,\\
  -u(x_1,\ldots,x_{n-1},-x_n), & x_n<0.
  \end{cases}
\]
证明 $v\in C^2(U)$，从而 $v$ 在 $U$ 内调和。
\item 现在仅假设 $u\in C^2(U^+)\cap C(\overline{U^+})$。证明 $v$ 在 $U$ 内调和。提示：使用球的 Poisson 公式。
\end{enumerate}

\item （Laplace 方程的 Kelvin 变换）函数 $u:\R^n\to\R$ 的 Kelvin 变换 $\mathcal Ku=\overline u$ 为
\[
  \overline u(x)\coloneqq u(\overline x)|\overline x|^{n-2}
  =
  u\left(\frac{x}{|x|^2}\right)|x|^{2-n}
  \qquad (x\ne0),
\]
其中 $\overline x=x/|x|^2$。证明若 $u$ 调和，则 $\overline u$ 也调和。
提示：先证明
\[
  D_x\overline x\,(D_x\overline x)^T=|\overline x|^4I.
\]
映射 $x\mapsto\overline x$ 是保角的，即保持角度。

\item 设 $u$ 光滑且在 $\R^n\times(0,\infty)$ 中求解 $u_t-\Delta u=0$。
\begin{enumerate}[label=(\alph*), leftmargin=2em]
\item 证明对每个 $\lambda\in\R$，
\[
  u^\lambda(x,t)\coloneqq u(\lambda x,\lambda^2t)
\]
也求解热方程。
\item 用 (a) 证明
\[
  v(x,t)\coloneqq x\cdot Du(x,t)+2tu_t(x,t)
\]
也求解热方程。
\end{enumerate}

\item 设 $n=1$ 且
\[
  u(x,t)=v\left(\frac{x}{\sqrt t}\right).
\]
\begin{enumerate}[label=(\alph*), leftmargin=2em]
\item 证明
\[
  u_t=u_{xx}
\]
当且仅当
\[
  v''+\frac z2v'=0.
  \tag{*}
\]
证明 $(*)$ 的通解为
\[
  v(z)=c\int_0^z e^{-s^2/4}\,\dd s+d.
\]
\item 对 $u(x,t)=v(x/\sqrt t)$ 关于 $x$ 求导，并适当选择常数 $c$，以得到 $n=1$ 时的基本解 $\Phi$。解释为什么这个过程会产生基本解。提示：$u$ 的初始条件是什么？
\end{enumerate}

\item 写出
\[
\begin{cases}
u_t-\Delta u+cu=f, & \text{于 }\R^n\times(0,\infty),\\
u=g, & \text{于 }\R^n\times\{t=0\}
\end{cases}
\]
的一个解的显式公式，其中 $c\in\R$。

\item 给定 $g:[0,\infty)\to\R$ 且 $g(0)=0$，推导公式
\[
  u(x,t)=
  \frac{x}{\sqrt{4\pi}}
  \int_0^t
  \frac{e^{-x^2/[4(t-s)]}}{(t-s)^{3/2}}g(s)\,\dd s
\]
作为初边值问题
\[
\begin{cases}
u_t-u_{xx}=0, & \text{于 }\R_+\times(0,\infty),\\
u=0, & \text{于 }\R_+\times\{t=0\},\\
u=g, & \text{于 }\{x=0\}\times[0,\infty)
\end{cases}
\]
的一个解。提示：令 $v(x,t)\coloneqq u(x,t)-g(t)$，并把 $v$ 奇延拓到 $\{x<0\}$。

\item 直接证明：若 $U$ 有界且 $u\in C_1^2(U_T)\cap C(\overline U_T)$ 求解热方程，则
\[
  \max_{\overline U_T}u=\max_{\Gamma_T}u.
\]
提示：对 $\varepsilon>0$ 定义 $u^\varepsilon\coloneqq u-\varepsilon t$，并证明 $u^\varepsilon$ 不可能在 $U_T$ 中的点取得 $\overline U_T$ 上的最大值。

\item 若 $v\in C_1^2(U_T)$ 且
\[
  v_t-\Delta v\le0\qquad\text{于 }U_T,
\]
则称 $v$ 为热方程的次解。
\begin{enumerate}[label=(\alph*), leftmargin=2em]
\item 证明对次解 $v$ 有
\[
  v(x,t)\le
  \frac1{4r^n}
  \iint_{E(x,t;r)}
  v(y,s)\frac{|x-y|^2}{(t-s)^2}\,\dd y\,\dd s
\]
对所有 $E(x,t;r)\subset U_T$ 成立。
\item 由此证明
\[
  \max_{\overline U_T}v=\max_{\Gamma_T}v.
\]
\item 设 $\phi:\R\to\R$ 光滑且凸。若 $u$ 求解热方程且 $v\coloneqq\phi(u)$，证明 $v$ 是次解。
\item 证明只要 $u$ 求解热方程，
\[
  v\coloneqq |Du|^2+u_t^2
\]
就是次解。
\end{enumerate}

\item 设 $u$ 求解初值问题
\[
\begin{cases}
u_{tt}-\Delta u=0, & \text{于 }\R^n\times(0,\infty),\\
u=0,\quad u_t=h, & \text{于 }\R^n\times\{t=0\}.
\end{cases}
\]
证明 $v\coloneqq u_t$ 求解
\[
\begin{cases}
v_{tt}-\Delta v=0, & \text{于 }\R^n\times(0,\infty),\\
v=h,\quad v_t=0, & \text{于 }\R^n\times\{t=0\}.
\end{cases}
\]
这就是 Stokes 规则。

\item
\begin{enumerate}[label=(\alph*), leftmargin=2em]
\item 证明偏微分方程 $u_{xy}=0$ 的通解为
\[
  u(x,y)=F(x)+G(y),
\]
其中 $F,G$ 为任意函数。
\item 使用变量替换
\[
  \xi=x+t,\qquad \eta=x-t,
\]
证明 $u_{tt}-u_{xx}=0$ 当且仅当 $u_{\xi\eta}=0$。
\item 用 (a) 和 (b) 重新推导 d'Alembert 公式。
\item 对初始数据 $g,h$ 施加什么条件时，解 $u$ 是右行波？又在什么条件下是左行波？
\end{enumerate}

\item 假设对于某个衰减函数 $\alpha=\alpha(r)$ 和延迟函数 $\beta=\beta(r)\ge0$，对所有波形 $\phi$，在 $(\R^n-\{0\})\times\R$ 中都存在形如
\[
  u(x,t)=\alpha(r)\phi(t-\beta(r))
\]
的波方程解。这里 $r=|x|$，并假设 $\beta(0)=0$。证明这只有在 $n=1$ 或 $n=3$ 时才可能，并计算函数 $\alpha,\beta$ 的形式。

\begin{center}
{\small (T. Morley, \emph{SIAM Review} 27 (1985), 69--71)}
\end{center}

\item
\begin{enumerate}[label=(\alph*), leftmargin=2em]
\item 假设 $E=(E_1,E_2,E_3)$ 和 $B=(B_1,B_2,B_3)$ 求解 Maxwell 方程
\[
\begin{cases}
E_t=\operatorname{curl}B,\\
B_t=-\operatorname{curl}E,\\
\operatorname{div}B=\operatorname{div}E=0.
\end{cases}
\]
证明
\[
  E_{tt}-\Delta E=0,\qquad B_{tt}-\Delta B=0.
\]
\item 假设 $\mathbf u=(u_1,u_2,u_3)$ 求解线性弹性力学的演化方程
\[
  \mathbf u_{tt}-\mu\Delta\mathbf u-(\lambda+\mu)D(\operatorname{div}\mathbf u)=0
  \qquad\text{于 }\R^3\times(0,\infty).
\]
证明 $w\coloneqq\operatorname{div}\mathbf u$ 和 $\mathbf w\coloneqq\operatorname{curl}\mathbf u$ 各自求解波方程，但传播速度不同。
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
