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\fancyhead[C]{常微分方程解的存在唯一性与延伸理论}
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\newtheorem{theorem}{定理}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{引理}
\newtheorem{corollary}[theorem]{推论}
\newtheorem{example}[theorem]{例}
\newtheorem{remark}[theorem]{注}
\newtheorem{definition}[theorem]{定义}

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\begin{document}
\title{常微分方程解的存在唯一性与延伸理论\\\large 详细证明与核心思路}
\author{}
\date{}

\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{皮卡存在唯一性定理}

\subsection{利普希茨条件}
\begin{definition}[利普希茨条件]
设函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 内满足不等式
\[
|f(x,y_1)-f(x,y_2)| \le L|y_1-y_2|,
\]
其中常数 $L>0$，则称 $f(x,y)$ 在 $D$ 内对 $y$ 满足利普希茨条件。
\end{definition}

若 $f(x,y)$ 在凸区域 $D$ 内对 $y$ 有连续的偏微商，且 $D$ 有界闭，则 $f$ 满足利普希茨条件；反之不一定成立，例如 $f(x,y)=|y|$ 满足利普希茨条件但在 $y=0$ 处不可微。

\subsection{皮卡定理的陈述}
\begin{theorem}[皮卡存在唯一性定理]
设初值问题
\[
(E):\quad \frac{dy}{dx}=f(x,y),\qquad y(x_0)=y_0,
\]
其中 $f(x,y)$ 在矩形区域
\[
R:\ |x-x_0|\le a,\quad |y-y_0|\le b
\]
内连续，且对 $y$ 满足利普希茨条件（常数 $L$）。令 $M = \max_{(x,y)\in R} |f(x,y)|$，并取
\[
h = \min\left\{a,\ \frac{b}{M}\right\},
\]
则 $(E)$ 在区间 $I=[x_0-h,x_0+h]$ 上有且只有一个解。
\end{theorem}

\subsection{证明的核心思想}
皮卡定理的证明采用逐次逼近法（Picard迭代），核心思想是：
\begin{enumerate}
\item 将微分方程转化为等价的积分方程；
\item 构造一个函数序列（Picard序列），使其在某个闭区间上一致收敛；
\item 证明极限函数满足积分方程，从而为原问题的解；
\item 利用利普希茨条件证明解的唯一性。
\end{enumerate}

\subsection{详细证明}
\subsubsection{第一步：转化为积分方程}
若 $y=y(x)$ 是 $(E)$ 的解，则对 $x\in I$ 积分得
\[
y(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t,y(t))\,dt.
\]
反之，若 $y$ 满足此积分方程且连续，则 $y$ 可微且满足微分方程。因此，问题等价于求解积分方程。

\subsubsection{第二步：构造Picard序列}
定义序列 $\{y_n(x)\}$ 如下：
\[
y_0(x)\equiv y_0,\quad 
y_{n+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t,y_n(t))\,dt,\quad n=0,1,2,\dots
\]
我们需要证明每个 $y_n$ 都在 $I$ 上有定义，且取值在 $R$ 内。

首先，当 $n=0$ 时，$y_0(x)\equiv y_0$，显然 $|y_0(x)-y_0|=0\le b$，所以 $(x,y_0(x))\in R$。由 $f$ 的连续性，$f(x,y_0(x))$ 连续，因此 $y_1(x)$ 可微且
\[
|y_1(x)-y_0|\le \int_{x_0}^x |f(t,y_0(t))|\,dt \le M|x-x_0|\le Mh\le b,
\]
故 $y_1(x)$ 的值也在 $R$ 内。归纳假设 $y_n(x)$ 在 $I$ 上连续且 $|y_n(x)-y_0|\le b$，则 $f(x,y_n(x))$ 连续，从而 $y_{n+1}(x)$ 定义且
\[
|y_{n+1}(x)-y_0|\le M|x-x_0|\le Mh\le b.
\]
因此，所有 $y_n$ 都在 $I$ 上有定义，且值域在 $R$ 内。

\subsubsection{第三步：一致收敛性}
考虑级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(y_{n+1}(x)-y_n(x))$。我们证明其在 $I$ 上一致收敛。

利用利普希茨条件，对 $x\ge x_0$ 情形（$x\le x_0$ 对称）：
\begin{align*}
|y_1(x)-y_0(x)| &\le M|x-x_0|.
\end{align*}
假设
\[
|y_{k+1}(x)-y_k(x)|\le \frac{M}{L}\frac{(L|x-x_0|)^{k+1}}{(k+1)!},
\]
则
\begin{align*}
|y_{k+2}(x)-y_{k+1}(x)| 
&\le \int_{x_0}^x L|y_{k+1}(t)-y_k(t)|\,dt \\
&\le \int_{x_0}^x L\cdot\frac{M}{L}\frac{(L|t-x_0|)^{k+1}}{(k+1)!}\,dt \\
&= M\int_{x_0}^x \frac{(L(t-x_0))^{k+1}}{(k+1)!}\,dt \\
&= \frac{M}{L}\frac{(L(x-x_0))^{k+2}}{(k+2)!}.
\end{align*}
对 $x<x_0$ 类似可得
\[
|y_{k+2}(x)-y_{k+1}(x)|\le \frac{M}{L}\frac{(L|x-x_0|)^{k+2}}{(k+2)!}.
\]
因此，对一切 $n$，
\[
|y_{n+1}(x)-y_n(x)|\le \frac{M}{L}\frac{(Lh)^n}{n!},\quad x\in I.
\]
由于 $\sum_{n=0}^\infty \frac{(Lh)^n}{n!}=e^{Lh}$ 收敛，由Weierstrass判别法，级数 $\sum_{n=0}^\infty (y_{n+1}-y_n)$ 在 $I$ 上一致收敛，从而 $\{y_n\}$ 一致收敛到某个函数 $\varphi(x)$，且 $\varphi$ 在 $I$ 上连续。

\subsubsection{第四步：极限函数是解}
在积分方程
\[
y_{n+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t,y_n(t))\,dt
\]
中令 $n\to\infty$。由于 $y_n$ 一致收敛到 $\varphi$，且 $f$ 连续，故 $f(t,y_n(t))$ 一致收敛到 $f(t,\varphi(t))$（注意 $y_n$ 在 $R$ 内，$f$ 在 $R$ 上一致连续，因此可以交换极限与积分）。于是
\[
\varphi(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t,\varphi(t))\,dt,
\]
即 $\varphi$ 满足积分方程，从而为原方程的解。

\subsubsection{第五步：唯一性}
设 $u(x),v(x)$ 均为解，则
\[
u(x)-v(x)=\int_{x_0}^x [f(t,u(t))-f(t,v(t))]\,dt.
\]
利用利普希茨条件，
\[
|u(x)-v(x)|\le L\left|\int_{x_0}^x |u(t)-v(t)|\,dt\right|.
\]
记 $w(x)=|u(x)-v(x)|$，则 $w(x)\le L\int_{x_0}^x w(t)\,dt$（对 $x\ge x_0$）。由Gronwall不等式，$w(x)\equiv 0$。对 $x\le x_0$ 类似。因此 $u\equiv v$。

\subsection{关于区间 $h$ 的说明}
常数 $h=\min\{a,b/M\}$ 保证了积分曲线不会在 $x$ 方向到达 $R$ 的左右边界之前先跑出上下边界。若 $b/M\le a$，则解在 $|x-x_0|\le b/M$ 内满足 $|y-y_0|\le M|x-x_0|\le b$，从而解始终留在 $R$ 内；若 $a<b/M$，则解在 $|x-x_0|\le a$ 内自动满足 $|y-y_0|\le M|x-x_0|\le Ma\le b$，故仍留在 $R$ 内。因此 $h$ 是保证解不离开 $R$ 的最大半区间长度。

\section{佩亚诺存在定理}

\subsection{定理陈述}
\begin{theorem}[佩亚诺存在定理]
设 $f(x,y)$ 在矩形区域 $R:|x-x_0|\le a,\ |y-y_0|\le b$ 内连续，则初值问题
\[
\frac{dy}{dx}=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0
\]
在区间 $[x_0-h,x_0+h]$ 上至少有一个解，其中 $h=\min\{a,b/M\}$，$M=\max_R|f|$。
\end{theorem}

佩亚诺定理只要求 $f$ 连续，不要求利普希茨条件，因此解可能不唯一，但至少存在一个解。

\subsection{欧拉折线法}
欧拉折线是构造近似解的基本方法。将区间 $[x_0,x_0+h]$ 分成 $n$ 等份，步长 $\Delta x=h/n$，分点 $x_k=x_0+k\Delta x$。从 $(x_0,y_0)$ 出发，依次构造：
\[
y_{k}=y_{k-1}+f(x_{k-1},y_{k-1})\Delta x,\quad k=1,\dots,n.
\]
用折线连接各点 $(x_k,y_k)$，得到函数 $\varphi_n(x)$。向左同理。所有折线都位于角形区域 $|y-y_0|\le M|x-x_0|$ 内。

\subsection{阿斯科利引理}
\begin{lemma}[阿斯科利-阿尔泽拉]
设 $\{f_n\}$ 是定义在有限闭区间 $I$ 上的函数列，满足：
\begin{enumerate}
\item 一致有界：存在 $K>0$ 使 $|f_n(x)|\le K$ 对所有 $n,x$ 成立；
\item 等度连续：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，$|f_n(x_1)-f_n(x_2)|<\varepsilon$ 对所有 $n$ 成立。
\end{enumerate}
则存在子列 $\{f_{n_k}\}$ 在 $I$ 上一致收敛。
\end{lemma}

\subsection{欧拉序列的性质}
对于欧拉折线 $\varphi_n(x)$，由于每段斜率的绝对值不超过 $M$，故
\[
|\varphi_n(x)-\varphi_n(x')|\le M|x-x'|,
\]
从而 $\{\varphi_n\}$ 在 $[x_0-h,x_0+h]$ 上一致有界且等度连续。由阿斯科利引理，存在子列 $\{\varphi_{n_k}\}$ 一致收敛到某个连续函数 $\varphi(x)$。

\subsection{证明极限函数是解}
需要验证 $\varphi$ 满足积分方程。为此，我们证明欧拉折线满足近似积分方程：
\[
\varphi_n(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t,\varphi_n(t))\,dt+\delta_n(x),
\]
其中 $\delta_n(x)\to0$ 当 $n\to\infty$。此式由欧拉折线的构造和 $f$ 的连续性可得。然后取子列极限，得到
\[
\varphi(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t,\varphi(t))\,dt.
\]
因此 $\varphi$ 是解。

\subsection{关于唯一性的注记}
佩亚诺定理只保证存在性。若不假设利普希茨条件，解可能不唯一。例如，方程 $y'=3y^{2/3}$，$y(0)=0$ 有无穷多解：$y\equiv0$ 和 $y=(x-c)^3$（适当平移）。这说明了唯一性需要额外条件。

\section{解的延伸}

\subsection{延伸定理的陈述}
\begin{theorem}[解的延伸定理]
设 $f(x,y)$ 在开区域 $G\subset\R^2$ 内连续，$(x_0,y_0)\in G$。设 $y=\varphi(x)$ 是初值问题
\[
y'=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0
\]
的一个解，其最大存在区间为 $J=(\alpha,\beta)$（可能无限）。则当 $x\to\beta^-$ 时，$(x,\varphi(x))$ 趋于 $G$ 的边界；即对任意有界闭集 $G_1\subset G$，存在 $x_1<\beta$ 使得 $(x,\varphi(x))\notin G_1$ 对所有 $x>x_1$ 成立。类似地，当 $x\to\alpha^+$ 时也趋于边界。
\end{theorem}

\subsection{核心思想}
延伸定理的证明基于局部存在定理和反证法。若解不能延伸到边界，即存在有界闭区域 $G_1$ 使解始终留在其中，则由 $f$ 在 $G_1$ 上的有界性可得 $\varphi$ 满足 Lipschitz 条件，从而当 $x$ 趋于右端点时 $\varphi(x)$ 有极限，于是可局部延拓，与最大存在性矛盾。

\subsection{详细证明}
只证明右侧情形。设 $\beta$ 为最大存在区间的右端点。若 $\beta=\infty$，则结论自然成立（解延伸到无穷远，但无穷远不在 $G$ 内，视为边界）。若 $\beta<\infty$，我们要证当 $x\to\beta^-$ 时，$(x,\varphi(x))$ 不可能始终停留在某个有界闭子集内。

假设存在有界闭集 $G_1\subset G$，使得 $(x,\varphi(x))\in G_1$ 对所有 $x\in[x_0,\beta)$ 成立。由于 $f$ 在 $G_1$ 上连续，存在常数 $K>0$ 使 $|f(x,y)|\le K$ 在 $G_1$ 上成立。于是对任意 $x_1,x_2\in[x_0,\beta)$，
\[
|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|\le K|x_1-x_2|.
\]
因此 $\varphi(x)$ 在 $x\to\beta^-$ 时满足 Cauchy 收敛准则，故极限 $\lim_{x\to\beta^-}\varphi(x)=y_1$ 存在。由 $G_1$ 的闭性，$(\beta,y_1)\in G_1\subset G$。

现在考虑以 $(\beta,y_1)$ 为初值的局部存在定理。存在 $\delta>0$，使得解在 $[\beta,\beta+\delta]$ 上存在。将此解与原来的 $\varphi$ 在 $x=\beta$ 处拼接，得到 $[x_0,\beta+\delta]$ 上的解，与 $\beta$ 是最大存在区间右端点矛盾。因此假设不成立，解必须跑出任何有界闭子集，即趋于 $G$ 的边界。

\subsection{勘误说明}
在课堂讲述中，曾误将延伸定理表述为“$T^*<\infty$ 当且仅当 $\lim_{t\to T^*}|y(t)|=\infty$”。正确的逻辑是：
\begin{itemize}
\item 若 $T^*<\infty$，则必有 $\lim_{t\to T^*}|y(t)|=\infty$（有限时间爆破）。
\item 若 $\lim_{t\to T}|y(t)|=\infty$，则 $T=T^*$（即该 $T$ 必为最大存在区间的端点）。
\end{itemize}
但反之不成立，因为解可能全局存在（$T^*=\infty$）而 $|y(t)|\to\infty$（例如 $y'=y$，$y(t)=e^t$，$t\to\infty$ 时 $|y|\to\infty$ 但 $T^*=\infty$）。因此，“有限时间爆破”等价于“最大存在区间有界”，而“解趋于无穷”可以是有限时间也可以是无限时间。

另外，若 $f$ 只在有限区域上有定义，解无法延伸的原因还可能是自变量或函数值碰到定义域的边界，而不一定是 $|y|\to\infty$。这要求我们在应用延伸定理时注意区域边界。

\subsection{全局存在定理}
\begin{theorem}[线性增长条件下的全局存在]
设 $f(x,y)$ 在条形区域 $S: \alpha<x<\beta,\ -\infty<y<\infty$ 内连续，且满足
\[
|f(x,y)|\le A(x)|y|+B(x),
\]
其中 $A(x)\ge0,\ B(x)\ge0$ 在 $(\alpha,\beta)$ 上连续。则微分方程 $y'=f(x,y)$ 的任何解的最大存在区间都是 $(\alpha,\beta)$。
\end{theorem}
证明思路：若右侧最大存在区间为 $[x_0,\beta_0)$ 且 $\beta_0<\beta$，则利用线性增长估计和比较定理，可证明解在 $\beta_0$ 附近有界，从而可延拓，矛盾。

\subsection{应用举例}
\begin{example}[有限时间爆破]
方程 $y'=x^2+y^2$ 的任何解的最大存在区间都是有限的。
\end{example}
\begin{example}[全局存在]
方程 $y'=(x-y)e^{xy}$，过任意点的右行解全局存在（区间 $[x_0,\infty)$）。
\end{example}

\section{奇解与包络}

\subsection{Clairaut 方程}
考虑一类特殊的隐式方程——\textbf{Clairaut 方程}：
\begin{equation}\label{eq:clairaut}
y = x p + f(p), \quad p = \frac{dy}{dx}.
\end{equation}
这类方程的通解可直接获得：令 $p = C$（常数），代入即得
\begin{equation}
y = Cx + f(C), \quad C \in \mathbb{R}.
\end{equation}

\subsection{奇解的求法}
为寻找可能的不包含在通解中的奇解，对方程 \eqref{eq:clairaut} 两边关于 $x$ 求导（注意 $p$ 依赖于 $x$）：
\[
p = p + x p' + f'(p) p' \quad \Longrightarrow \quad p' \bigl( x + f'(p) \bigr) = 0.
\]
由此得到两种情形：
\begin{itemize}
    \item $p' = 0$，即 $p = \text{常数}$，对应通解；
    \item $x + f'(p) = 0$，此时若将 $p$ 看作参数，联立原方程可消去 $p$ 得到一条曲线。
\end{itemize}
后一种情形给出的曲线若满足原方程，且不与通解重合，则称为\textbf{奇解}。

\subsection{几何解释：包络}
奇解在几何上表现为通解族的\textbf{包络线}，即与族中每条曲线均相切的曲线。在包络线上，初值问题的解不唯一（通解与奇解同时经过同一点且在该点相切）。

\begin{example}[Clairaut 方程的奇解]
取 $f(p) = -\dfrac{p^2}{4}$，则方程化为
\[
y = x p - \frac{p^2}{4}.
\]
通解为 $y = C x - \dfrac{C^2}{4}$。由 $x + f'(p)=0$ 得 $x - \dfrac{p}{2}=0$，即 $p = 2x$。代入原方程：
\[
y = x \cdot 2x - \frac{(2x)^2}{4} = 2x^2 - x^2 = x^2.
\]
因此奇解为 $y = x^2$。容易验证，在点 $\left(\dfrac{C}{2},\dfrac{C^2}{4}\right)$ 处，奇解与通解相切，且该点处解不唯一。
\end{example}

\subsection{唯一性条件}
根据 Picard 定理，若 $f(x,y)$ 在区域上连续且关于 $y$ 满足 Lipschitz 条件，则初值问题的解唯一。奇解的存在表明在包络线附近 Lipschitz 条件被破坏。例如，对于 $y' = \sqrt{y}$，其解在 $y=0$ 处不唯一，而 $y=0$ 恰是包络线。

\section{Bootstrap 方法：从局部存在到全局存在}

\subsection{局部存在性的局限}
Picard 存在唯一性定理仅保证解在某个小区间上存在。为了将解延拓到更大范围，需要借助\textbf{延拓定理}，而 Bootstrap 方法（自举法）是一种常用的技巧，通过先验估计不断改进解的界，从而延拓存在区间。

\subsection{基本思想}
设初值问题
\[
y' = f(x,y),\quad y(x_0)=y_0,
\]
其中 $f$ 连续。Bootstrap 的核心步骤：
\begin{enumerate}
    \item 假设在区间 $[x_0,T]$ 上解 $y(x)$ 存在且满足一个先验界 $|y(x)| \le A$。
    \item 利用微分方程和已知的估计（例如 Gronwall 不等式），推出更强的界 $|y(x)| \le \tilde{A} < A$。
    \item 于是解可以延拓到更大的区间，同时保持更紧的界，如此反复，直至达到目标区间。
\end{enumerate}

\subsection{Gronwall 不等式}
\begin{lemma}[Gronwall 不等式]
设 $u(t)$ 为非负连续函数，满足
\[
u(t) \le \alpha + \int_{t_0}^t \beta(s) u(s) \,ds,\quad t \ge t_0,
\]
其中 $\alpha \ge 0$，$\beta(s) \ge 0$ 可积。则
\[
u(t) \le \alpha \exp\left( \int_{t_0}^t \beta(s) \,ds \right).
\]
\end{lemma}

\subsection{一个典型应用：线性增长条件}
假设 $|f(x,y)| \le A|y| + B(x)$，其中 $B(x)$ 在 $[x_0,T]$ 上可积。则对任意解 $y(x)$ 有
\[
|y(x)| \le |y_0| + \int_{x_0}^x \bigl( A|y(s)| + B(s) \bigr) \,ds.
\]
由 Gronwall 不等式得
\[
|y(x)| \le \bigl( |y_0| + \int_{x_0}^x B(s) \,ds \bigr) e^{A|x-x_0|}.
\]
记 $B_T = \sup_{[x_0,T]} B(x)$，则
\[
|y(x)| \le \bigl( |y_0| + T B_T \bigr) e^{A T},\quad x\in[x_0,T].
\]
这个界是全局的，但并未直接给出延拓。Bootstrap 方法用于处理那些仅有局部先验估计的情形。

\subsection{Bootstrap 的抽象形式}
设 $f(t)$ 是定义在某区间上的连续函数，且存在常数 $0 < \tilde{A} < A$ 使得：
\begin{enumerate}
    \item $|f(0)| < A$；
    \item 若在某个区间 $[0,\tilde{T}]$ 上 $|f(t)| \le A$，则可推出 $|f(t)| \le \tilde{A}$。
\end{enumerate}
则最终可得 $|f(t)| \le \tilde{A} < A$ 对所有 $t$ 成立。这一逻辑常用于证明解的延拓性。

\subsection{例：$y' = x^2 + y^2$ 的爆破}
考虑方程
\[
y' = x^2 + y^2,\quad y(0)=0.
\]
通过变量变换 $u = \frac{1}{y}$ 可化为 Riccati 方程，其解在有限时间爆破（即存在 $x^*$ 使得 $\lim_{x\to x^*} |y(x)| = \infty$），因此无法全局存在。这启发我们：当非线性增长过快时，Bootstrap 无法提供全局一致界。

\section{解对初值的光滑依赖性}

\subsection{问题设定}
设 $f(x,y) \in C^\infty(\mathbb{R}^2)$，考虑带参数 $\lambda$ 的初值问题
\[
\begin{cases}
y'_\lambda = f(x, y_\lambda), \\
y_\lambda(0) = \lambda.
\end{cases}
\]
记解为 $y(x,\lambda)$。我们关心当 $\lambda$ 变化时，解如何变化。

\subsection{变分方程}
固定 $\lambda^* = 0$，记 $\phi(x) = y(x,0)$，即初值为零的解。对 $\lambda$ 求偏导，令
\[
h(x) = \frac{\partial y}{\partial \lambda}(x,0).
\]
形式上对原方程关于 $\lambda$ 求导得
\[
\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial y}{\partial \lambda} = \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \frac{\partial y}{\partial \lambda},
\]
在 $\lambda=0$ 处取值得到 $h(x)$ 满足的线性方程：
\begin{equation}\label{eq:variation}
\begin{cases}
h'(x) = \dfrac{\partial f}{\partial y}\bigl(x,\phi(x)\bigr) h(x), \\[2mm]
h(0) = 1.
\end{cases}
\end{equation}
这是一个一阶线性齐次方程，其解为
\[
h(x) = \exp\left( \int_0^x \frac{\partial f}{\partial y}(s,\phi(s))\,ds \right).
\]

\subsection{解的展开}
设想将 $y(x,\lambda)$ 在 $\lambda=0$ 附近展开：
\[
y(x,\lambda) = \phi(x) + \lambda h(x) + G(x,\lambda),
\]
其中 $G(x,\lambda)$ 为余项，满足 $G(0,\lambda)=0$。

\subsection{余项估计}
将展开式代入原方程：
\[
\phi'(x) + \lambda h'(x) + G_x(x,\lambda) = f\bigl(x, \phi(x) + \lambda h(x) + G(x,\lambda)\bigr).
\]
利用 $\phi'(x)=f(x,\phi(x))$ 和 $h'(x)=f_y(x,\phi(x)) h(x)$，可得
\[
G_x(x,\lambda) = f\bigl(x, \phi+\lambda h+G\bigr) - f(x,\phi) - \lambda f_y(x,\phi) h.
\]
对右边使用 Taylor 展开（或中值定理）：
\[
f(x,\phi+\lambda h+G) = f(x,\phi) + f_y(x,\phi)(\lambda h+G) + \frac{1}{2} f_{yy}(x,\xi)(\lambda h+G)^2,
\]
其中 $\xi$ 介于 $\phi$ 与 $\phi+\lambda h+G$ 之间。于是
\[
G_x = f_y(x,\phi) G + \frac{1}{2} f_{yy}(x,\xi)(\lambda h+G)^2.
\]
对 $x$ 积分，并利用 $G(0,\lambda)=0$，得积分方程
\[
G(x,\lambda) = \int_0^x f_y(s,\phi(s)) G(s,\lambda)\,ds + \int_0^x \frac{1}{2} f_{yy}(s,\xi(s)) \bigl(\lambda h(s)+G(s,\lambda)\bigr)^2\,ds.
\]
设 $M_2 = \max_{[0,T]} |f_{yy}|$，$H = \max_{[0,T]} |h(s)|$，则存在常数 $C$ 使得
\[
|G(x,\lambda)| \le \int_0^x C |G(s,\lambda)|\,ds + C \lambda^2.
\]
由 Gronwall 不等式得
\[
|G(x,\lambda)| \le C \lambda^2 e^{C T}, \quad \forall x\in[0,T].
\]
因此，当 $f \in C^2$ 时，余项是 $O(\lambda^2)$ 的，这证明了 $y(x,\lambda)$ 关于 $\lambda$ 至少是 $C^1$ 的，且一阶导数就是 $h(x)$。

\subsection{更一般的结论}
若 $f \in C^1$，则只能得到 $|G(x,\lambda)| \le o(\lambda)$（即 $\lim_{\lambda\to0} \frac{G}{\lambda}=0$），此时解关于初值可微。若 $f \in C^k$，则解关于初值 $k$ 次可微。

\subsection{误差估计的严格表述}

设 $f \in C^2(\mathbb{R}^2)$，则对任意 $T>0$，存在 $\varepsilon>0$ 和常数 $C(T)$，使得当 $|\lambda|<\varepsilon$ 时，
\[
|y(x,\lambda) - \phi(x) - \lambda h(x)| \le C(T) \lambda^2,\quad \forall x\in[0,T].
\]

这一定理是常微分方程解对初值光滑依赖性的基本结果。



\section{解的可微性性质}

\subsection{对初始条件的依赖性}

在上一节中，我们证明了流 \( \varphi(t, \mathbf{b}) \) 关于 \( \mathbf{b} \) 是Lipschitz连续的。
在本节中，我们将证明 \( \varphi \) 实际上是 \( C^1 \) 的，当然前提是 \( \mathbf{F} \) 是 \( C^1 \) 的。

上述表述是对本节结果的简洁总结。然而，让我们用更冗长的微扰理论语言重新表述结论，因为我们认为这会使讨论更直观。我们假设 \( \mathbf{x}_0(t), \, 0 \leq t < \beta_0 \)，是系统 \( \mathbf{x}' = \mathbf{F}(\mathbf{x}) \) 在正向时间内的一个解，其初始条件为 \( \mathbf{x}_0(0) = \mathbf{b}_0 \)。

\footnote{一个满足 (4.49) 的函数 \( \varphi \) 有时被称为一个\textit{动力系统}。}

我们询问如果初始条件受到扰动，解会如何变化。具体地，令 \( \mathbf{x}(t, \varepsilon) \) 是方程
\[
\mathbf{x}' = \mathbf{F}(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x}(0, \varepsilon) = \mathbf{b}_0 + \varepsilon \mathbf{b}_1. \tag{4.51}
\]
的解。我们寻找该解按 \( \varepsilon \) 的幂次展开式\footnote{我们可以将 (4.52) 描述为一个\textit{ansatz}，即问题解的假设形式。这个术语源自德语，是一个有用的数学词汇。}，
\[
\mathbf{x}(t, \varepsilon) = \mathbf{x}_0(t) + \varepsilon \mathbf{x}_1(t) + \ldots . \tag{4.52}
\]
被省略项（用点表示）的大小将在定理4.6.1中估计。目前我们先形式地进行推导。将 (4.52) 代入 (4.51)，我们得到
\[
\mathbf{x}_0'(t) + \varepsilon \mathbf{x}_1'(t) + \ldots = \mathbf{F}(\mathbf{x}_0(t) + \varepsilon \mathbf{x}_1(t) + \ldots).
\]
使用泰勒级数将等式右端按 \( \varepsilon \) 的幂次展开\footnote{幸运的是，我们只需展开到一次幂就足够了。尽管多变量泰勒级数的高阶项可以用多重指标记号高效处理（参见\cite{74}的第10.2节），但在此引入它会分散注意力。}，我们计算得
\[
\mathbf{x}_0'(t) + \varepsilon \mathbf{x}_1'(t) + \ldots = \mathbf{F}(\mathbf{x}_0(t)) + \varepsilon \mathbf{D} \mathbf{F}(\mathbf{x}_0(t)) \cdot \mathbf{x}_1 + \ldots . \tag{4.53}
\]
方程 (4.53) 必须对所有 \( \varepsilon \) 成立，即等式两边的两个幂级数定义了相同的 \( \varepsilon \) 的函数。因此，\( \varepsilon \) 的各次幂系数必须相等。匹配 (4.53) 中 \( \varepsilon \) 的对应幂次，我们得到
\[
\begin{aligned}
(a) & \quad \mathcal{O}(\varepsilon^0): \quad \mathbf{x}_0' = \mathbf{F}(\mathbf{x}_0), \\
(b) & \quad \mathcal{O}(\varepsilon^1): \quad \mathbf{x}_1' = \mathbf{D} \mathbf{F}(\mathbf{x}_0(t)) \cdot \mathbf{x}_1.
\end{aligned} \tag{4.54}
\]
（字母 \( \mathcal{O} \) 是“阶”的助记符。）\( \mathcal{O}(\varepsilon^0) \) 方程只是重复了原解满足的ODE。\( \mathcal{O}(\varepsilon^1) \) 方程给出了新信息，即一个关于 \( \mathbf{x}_1 \) 的ODE，这是一个带时变系数的线性齐次系统
\[
\mathbf{x}_1' = A(t) \mathbf{x}_1, \tag{4.55}
\]
其中系数矩阵由 (4.54b) 给出。类似地，匹配初始条件 (4.51) 中 \( \varepsilon \) 的幂次，得到
\[
\begin{aligned}
(a) & \quad \mathcal{O}(\varepsilon^0): \quad \mathbf{x}_0(0) = \mathbf{b}_0, \\
(b) & \quad \mathcal{O}(\varepsilon^1): \quad \mathbf{x}_1(0) = \mathbf{b}_1.
\end{aligned} \tag{4.56}
\]
这里的 \( \mathcal{O}(\varepsilon^0) \) 方程同样没有新内容，但 \( \mathcal{O}(\varepsilon^1) \) 方程为 ODE (4.55) 提供了一个初始条件。定理3.4.1保证了初值问题 (4.55), (4.56b) 在 \( x_0 \) 定义的同一区间 \([0, \beta_0)\) 上有唯一解 \( x_1(t) \)。

以下是第4.6节的主要结果。当然，对于负时间也有类似的结果。

\begin{theorem}[4.6.1]
设 \( F : U \to \mathbb{R}^d \) 是 \( C^1 \) 的。在上述记号下，对每个 \( t \in [0, \beta_0) \)，
\[
\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{|x(t, \varepsilon) - x_0(t) - \varepsilon x_1(t)|}{\varepsilon} = 0. \tag{4.57}
\]
此外，若 \( T < \beta_0 \)，则极限对 \( 0 \leq t \leq T \) 一致成立。
\end{theorem}

你可能觉得这个定理的证明很困难。我们把证明推迟到第4.6.5节，先探讨一些相关的思想，这些思想能使证明更易读。

\subsection{可微性的视角}

考虑将流映射 \( \varphi : \Omega \to U \) 关于初始条件 \( b \) 求导；即考虑
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial b_j}(t, b_0) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\varphi(t, b_0 + \varepsilon e_j) - \varphi(t, b_0)}{\varepsilon}. \tag{4.58}
\]
在我们上面的记号中，有 \( \varphi(t, b_0) = x_0(t) \)，如果在 (4.51) 中令 \( b_1 = e_j \)，则 \( \varphi(t, b_0 + \varepsilon e_j) = x(t, \varepsilon) \)。定理4.6.1表明 (4.58) 中的极限存在，因此 \( \varphi(t, b) \) 实际上关于 \( b_j \) 是可微的；事实上，\( \partial \varphi / \partial b_j(t, b_0) \) 等于相应初值问题 (4.55), (4.56b) 的解，我们将其重复为
\[
w_j' = A(t) w_j, \quad w_j(0) = e_j, \tag{4.59}
\]
其中 \( A(t) = DF(x_0(t)) \)。值得注意的是，\( \varphi \) 关于各个分量 \( b_j \) 的偏导数满足相同的ODE；它们仅在初始条件上有所不同。

让我们来阐明初值问题 (4.59) 是如何自然产生的。关于初始条件，在零时刻，(4.58) 简化为平凡式
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial b_j}(0, b_0) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{(b_0 + \varepsilon e_j) - (b_0)}{\varepsilon} = e_j. \tag{4.60}
\]
对于 \( t > 0 \)，流 \( \varphi(t, b) \) 满足ODE
\[
\frac{\partial}{\partial t} \varphi(t, b) = F(\varphi(t, b)). \tag{4.61}
\]
我们不对合理性进行论证直接对这个方程求导；这将在定理4.6.1的证明中得以保证。具体地，使用链式法则将 (4.61) 对 \( b_j \) 求导，
\[
\frac{\partial}{\partial b_j} \frac{\partial \varphi}{\partial t}(t, \mathbf{b}) = \mathbf{DF}(\varphi(t, \mathbf{b})) \frac{\partial \varphi}{\partial b_j}(t, \mathbf{b}), \tag{4.62}
\]
交换 \( t \) 和 \( b \) 偏导数的次序得到
\[
\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \varphi}{\partial b_j}(t, \mathbf{b}) = \mathbf{DF}(\varphi(t, \mathbf{b})) \frac{\partial \varphi}{\partial b_j}(t, \mathbf{b}),
\]
并令 \( \mathbf{b} = \mathbf{b}_0 \)，从而说明 \( \partial \varphi / \partial b_j(t, \mathbf{b}_0) \) 应该满足 (4.59) 中的ODE。

\subsection{例子}

初值问题 (4.59) 提供了 \( \partial \varphi / \partial b_j \) 的一个优美的刻画，常用于ODE的理论分析。遗憾的是，能显式求解 (4.59) 的情况是例外而非规律。

一个重要的特例是当 \( \mathbf{b}_0 \) 是 \( \mathbf{x}' = \mathbf{F}(\mathbf{x}) \) 的平衡点时。此时 \( \varphi(t, \mathbf{b}_0) \equiv \mathbf{b}_0 \)，因此 (4.59) 中的系数矩阵与时间无关，\( A = \mathbf{DF}(\mathbf{b}_0) \)。换句话说，系统 (4.59) 具有常系数。顺便提一下，这个近似被称为 \( \mathbf{x}' = \mathbf{F}(\mathbf{x}) \) 在平衡点处的线性化，在ODE的定性理论中占有重要地位。

如果你希望看到定理在实际中的应用，这里有一个不那么平凡的例子，其中 (4.59) 可以显式求解。考虑 Lotka–Volterra 方程的初值问题，
\[
(a) \quad x' = x - xy, \quad x(0) = b_1, \qquad
(b) \quad y' = \rho(xy - y), \quad y(0) = b_2. \tag{4.63}
\]
如果 \( b_2 = 0 \)，则 (4.63) 有显式解 \( \varphi(t, (b_1, 0)) = (b_1 e^t, 0) \)；即没有捕食者时，猎物呈指数增长。如果引入一小群捕食者，其数量将如何演变？对于小的 \( b_2 \)，我们有近似（对捕食者种群）
\[
\varphi_2(t, (b_1, b_2)) \approx b_2 \cdot \frac{\partial \varphi_2}{\partial b_2}(t, (b_1, 0)).
\]
在练习12中，我们请你求解 (4.59) 的适当形式以证明
\[
\frac{\partial \varphi_2}{\partial b_2}(t, (b_1, 0)) = \exp \left\{ \rho [b_1(e^t - 1) - t] \right\}. \tag{4.64}
\]
因此，到最低阶近似，捕食者的数量随着 \( t \) 的增长而非常迅速地增长，是指数的指数。快速增长并不令人惊讶，因为捕食者的食物供应正在无界增长。当然，随着 \( t \) 的增加，上述近似必然会变得不准确。事实上，我们从第1章的练习3中知道，如果 \( b_2 > 0 \)，则 (4.63) 的解是周期性的，因此种群必须保持有界。用定理4.6.1的语言来解释这一讨论，你希望 \( T \) 取得越大，就必须在极限 (4.57) 中取得越小的 \( \varepsilon \)。

关于对初始条件求导的其他例子，包括在上述例子中计算捕食者对猎物的影响，都在练习中给出。

\subsection{阶的记号}

为了准备定理4.6.1的证明，我们引入阶记号\footnote{符号 \( \mathcal{O} \) 的使用存在一个不幸的歧义。在 (4.54) 和 (4.56) 中，符号 \( \mathcal{O}(\varepsilon^p) \) 仅仅是一个占位符，用于表示幂级数中正比于 \( \varepsilon^p \) 的项。这可以称为非正式用法。相比之下，我们现在要描述的是该符号的严格技术含义。两种用法在文献中都有出现。尽管有些作者引入不同的符号来区分这两种含义，但我们更倾向于避免符号的泛滥。我们相信一旦你注意到这个问题，你就能根据上下文判断出哪种用法被使用。}，即大 \( \mathcal{O} \) 和小 \( o \)。这个记号使得原本可能很繁琐的证明变得相对清晰。

大 \( \mathcal{O} \) 的严格使用（较简单的概念）如下：给定一个依赖于参数的量，例如 \( f(\varepsilon) \)，其中 \( 0 < \varepsilon < \varepsilon_0 \)，\( f \) 可以是向量或标量，我们称 \( f \) 是 \( \varepsilon \) 阶的，记作 \( f(\varepsilon) = \mathcal{O}(\varepsilon) \)，如果
\[
(\exists C)(\exists \varepsilon_1 > 0) \quad \text{使得} \quad 0 < \varepsilon < \varepsilon_1 \implies |f(\varepsilon)| \leq C\varepsilon.
\]
（公式 \( f(\varepsilon) = \mathcal{O}(\varepsilon) \) 也可读作“\( f \) 是大 \( \mathcal{O} \) of \( \varepsilon \)”。）同样的记号也用于若干更复杂的情形。如果 \( \varepsilon \) 可取正负，即 \( f(\varepsilon) \) 定义在 \( 0 < |\varepsilon| < \varepsilon_0 \) 上，我们写 \( f(\varepsilon) = \mathcal{O}(|\varepsilon|) \) 表示当 \( |\varepsilon| \) 足够小时有 \( |f(\varepsilon)| \leq C|\varepsilon| \)。更一般地，如果 \( \phi(\varepsilon) > 0 \) 是某个当 \( \varepsilon \to 0 \) 时趋于零的函数，例如 \( \phi(\varepsilon) = |\varepsilon|^p \)，我们将公式 \( f(\varepsilon) = \mathcal{O}(\phi(\varepsilon)) \) 理解为相应的不等式。另外，该记号可以推广到估计依赖于多个参数的量。例如，在定理4.5.1中，解 \( x(t) = \varphi(t, \mathbf{b}) \) 依赖于初始数据的 \( d \) 个参数 \( b_1, \ldots, b_d \)，我们可以将定理的结论重述为
\[
|\varphi(t, \mathbf{b}) - \varphi(t, \mathbf{b}_0)| = \mathcal{O}(|\mathbf{b} - \mathbf{b}_0|). \tag{4.65}
\]
在定理4.6.1的记号下，由定理4.5.1可得
\[
|x(t, \varepsilon) - x_0(t)| = \mathcal{O}(\varepsilon). \tag{4.66}
\]
实际上，我们说 (4.66) 对 \( t \in [0, T] \) \textit{一致}成立，因为不等式
\[
|x(t, \varepsilon) - x_0(t)| \leq e^{LT} |b_1| \varepsilon \tag{4.67}
\]
在该区间上对所有 \( t \) 都成立，且常数 \( C = e^{LT} |b_1| \) 相同。或者，我们可以隐藏 (4.67) 中的显式常数，将此不等式改写为
\[
\sup_{0 \leq t \leq T} |x(t, \varepsilon) - x_0(t)| = O(\varepsilon). \tag{4.68}
\]

小 \( o \) 是一个更精细的概念。如果 \( f \) 定义在 \( 0 < \varepsilon < \varepsilon_0 \) 上，我们说 \( f \) 是 \( \varepsilon \) 的小 \( o \)，记作 \( f = o(\varepsilon) \)，如果
\[
(\forall \eta > 0)(\exists \varepsilon_1 > 0) \text{ 使得 } 0 < \varepsilon < \varepsilon_1 \implies |f(\varepsilon)| \leq \eta \varepsilon.
\]
当然，这个定义等价于\footnote{顺便提一下，大 \( O \) 也可以类似地刻画：
\[
f(\varepsilon) = O(\varepsilon) \iff \limsup_{\varepsilon \to 0} |f(\varepsilon)/\varepsilon| < \infty.
\]}
\[
\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{|f(\varepsilon)|}{\varepsilon} = 0.
\]
小 \( o \) 记号也像大 \( O \) 一样用于更复杂的情形。例如，如果向量值函数 \( F(x) \) 连续可微，则对 \( z \) 接近 \( z_0 \) 可以写\footnote{这里使用 \( z \) 而不是 \( x \)，是为了将 \( x \) 保留给由 (4.54), (4.56) 定义的函数。}
\[
F(z) = F(z_0) + DF(z_0) \cdot (z - z_0) + o(|z - z_0|). \tag{4.69}
\]

以下是阶记号中的一些基本事实：
\begin{itemize}
  \item[(a)] 若 \( f(\varepsilon) = o(\varepsilon) \)，则对任意常数 \( C \)，\( Cf(\varepsilon) = o(\varepsilon) \)。
  \item[(b)] 若 \( f(\varepsilon) = o(\phi(\varepsilon)) \) 且 \( \phi(\varepsilon) = O(\varepsilon) \)，则 \( f(\varepsilon) = o(\varepsilon) \)。
\end{itemize}
我们请在练习10中推导 (4.70)。尽管这些事实可能只是极限基本性质的重新表述，但在阅读定理4.6.1的证明之前\textit{做这个练习是值得的}。阶记号让你能够将注意力集中在证明中更高层次的问题上，而不必反复推导极限的性质。顺便提一句，(4.70) 可以以多种方式推广，但这个有限版本就足以满足我们的需要。

回到定理4.6.1，注意我们期望的结论简单地断言
\[
\sup_{0 \leq t \leq T} |\mathbf{x}(t, \varepsilon) - \mathbf{x}_0(t) - \varepsilon \mathbf{x}_1(t)| = o(\varepsilon). \tag{4.71}
\]

\subsection{定理4.6.1的证明}

给定 \( T < \beta_0 \)，选择 \( \delta > 0 \) 和一个紧集 \( \mathcal{K} \subset U \) 使得 (4.40) 成立，并令 \( L \) 由 (4.45) 给出。对所有足够小的 \( \varepsilon \)，扰动初始条件 \( \mathbf{b}_0 + \varepsilon \mathbf{b}_1 \) 属于 \( B(\mathbf{b}_0, e^{-LT}\delta) \)，因此由推论4.5.2，
\[
\mathbf{x}(t, \varepsilon) \in B(\mathbf{x}_0(t), \delta) \subset \mathcal{K}, \quad 0 \leq t \leq T. \tag{4.72}
\]
将积分关系
\[
\mathbf{x}(t, \varepsilon) = \mathbf{b}_0 + \varepsilon \mathbf{b}_1 + \int_0^t \mathbf{F}(\mathbf{x}(s, \varepsilon)) \, ds,
\]
\[
\mathbf{x}_0(t) = \mathbf{b}_0 + \int_0^t \mathbf{F}(\mathbf{x}_0(s)) \, ds,
\]
\[
\mathbf{x}_1(t) = \mathbf{b}_1 + \int_0^t A(s) \mathbf{x}_1(s) \, ds,
\]
进行线性组合，我们推出 \( g(t, \varepsilon) = |\mathbf{x}(t, \varepsilon) - \mathbf{x}_0(t) - \varepsilon \mathbf{x}_1(t)| \) 满足
\[
g(t, \varepsilon) \leq \int_0^t |\mathbf{F}(\mathbf{x}(s, \varepsilon)) - \mathbf{F}(\mathbf{x}_0(s)) - \varepsilon A(s) \mathbf{x}_1(s)| \, ds.
\]
在积分中加上并减去 \( A(s)\{\mathbf{x}(s, \varepsilon) - \mathbf{x}_0(s)\} \)，并使用三角不等式，得到
\[
g(t, \varepsilon) \leq \mathcal{I}_1(t, \varepsilon) + \mathcal{I}_2(t, \varepsilon), \tag{4.73}
\]
其中
\[
\begin{aligned}
\text{(a)} &\quad \mathcal{I}_1(t, \varepsilon) = \int_0^t |\mathbf{F}(\mathbf{x}(s, \varepsilon)) - \mathbf{F}(\mathbf{x}_0(s)) - A(s)\{\mathbf{x}(s, \varepsilon) - \mathbf{x}_0(s)\}| \, ds
\\
\text{(b)} &\quad \mathcal{I}_2(t, \varepsilon) = \int_0^t |A(s)\{\mathbf{x}(s, \varepsilon) - \mathbf{x}_0(s) - \varepsilon \mathbf{x}_1(s)\}| \, ds.
\end{aligned}
\]
\( \mathcal{I}_2(t, \varepsilon) \) 中的被积函数受限于 \( \|A(s)\| g(s, \varepsilon) \)，由于 \( \mathbf{x}_0(s) \in \mathcal{K} \)，有 \( \|A(s)\| = \|\mathbf{D}\mathbf{F}(\mathbf{x}_0(s))\| \leq L \)。因此，
\[
g(t, \varepsilon) \leq \mathcal{I}_1(t, \varepsilon) + L \int_0^t g(s, \varepsilon) \, ds.
\]
于是，由Gronwall不等式，
\[
g(t, \varepsilon) \leq e^{LT} \sup_{0 \leq s \leq T} \mathcal{I}_1(s, \varepsilon),
\]
对上确界取遍 \( t \) 得
\[
\sup_{0 \leq t \leq T} g(t, \varepsilon) \leq e^{LT} \sup_{0 \leq s \leq T} \mathcal{I}_1(s, \varepsilon). \tag{4.75}
\]
下面的引理给出了 (4.75) 右端的控制。（在练习25中，我们要求你证明该引理，其基础是证明点态估计 (4.69) 在某个适当紧集上是一致的。）

\begin{lemma}[4.6.2]
当 \( \varepsilon \) 趋于零时，
\[
\sup_{0 \leq s \leq T} \mathcal{I}_1(s, \varepsilon) = o(\varepsilon). \tag{4.76}
\]
\end{lemma}

将引理应用于 (4.75)，我们可以将此方程改写为
\[
\sup_{0 \leq t \leq T} g(t, \varepsilon) = C o(\varepsilon),
\]
其中 \( C = e^{LT} \)。因此，我们期望的结论 (4.71) 由 (4.70a) 得出。证明完成。

\subsection{收尾工作}

我们声称流映射 \( \varphi(t, \mathbf{b}) \) 是 \( C^1 \) 的。由定理4.6.1，偏导数 \( \partial \varphi / \partial b_j \) 存在，当然 \( \partial \varphi / \partial t \) 也存在。我们需要证明这些偏导数是连续的。由ODE \( \partial \varphi / \partial t = \mathbf{F}(\varphi(t, \mathbf{b})) \) 易知 \( t \)-导数是连续的。关于 \( b_j \) 的导数由初值问题 (4.59) 刻画，我们通过指示系数矩阵对 \( \mathbf{b} \) 的依赖将其重写为：
\[
\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \varphi}{\partial b_j} = \mathbf{D} \mathbf{F}(\varphi(t, \mathbf{b})) \frac{\partial \varphi}{\partial b_j}, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial b_j}(0) = \mathbf{e}_j. \tag{4.77}
\]
由定理4.5.4可知 \( \partial \varphi / \partial b_j \) 是连续的。这就证明了论断。

在第4.6.2节中，我们直观地推导了 \( \partial \varphi / \partial b_j \) 的公式 (4.59)，但需要证明求导次序的交换是合理的。根据附录B中的定理B.3.2，只要证明其中一个混合偏导数存在且连续即可。由 (4.77) 可知 \( \partial^2 \varphi / \partial t \partial b_j \) 是连续的，因为该ODE的右端是连续函数的乘积。

\subsection{推广}

关于初值问题解的可微性，还有更多的结果，我们不想（你也不想）全面探讨，但有几个要点值得一提。我们避免给出这些结果的形式化陈述，以期使文本更具可读性。关于这些结果更仔细的处理可参见\cite{15}的第1.7节。

首先，我们将定理4.6.1推广到非自治初值问题。可以证明，通过求解
\[
x' = G(x, t), \quad x(t_0) = \mathbf{b} \tag{4.78}
\]
得到的流算子 \( \varphi(t, t_0, \mathbf{b}) \) 关于所有变量是 \( C^1 \) 的，前提是 \( G \) 是 \( C^1 \) 的。此外，\( \partial \varphi / \partial b_j(t, t_0, \mathbf{b}) \) 满足线性齐次初值问题
\[
\frac{dw}{dt} = DG(\varphi(t, t_0, \mathbf{b}), t)w, \quad w(t_0) = \mathbf{e}_j, \tag{4.79}
\]
其中 \( DG \) 表示关于 \( x_j \) 的偏导数构成的 \( d \times d \) 矩阵，不包括 \( t \) 的导数。

其次，我们考虑“对方程的依赖”通过一个带参数的初值问题族，例如
\[
x' = G(x, \alpha), \quad x(0) = \mathbf{b}, \tag{4.80}
\]
其中 \( \alpha \in V \subset \mathbb{R}^m \)；为简化记号，我们假设 (4.80) 是自治的。流映射 \( \varphi(t, \mathbf{b}, \alpha) \) 关于所有参数是 \( C^1 \) 的，且 \( \partial \varphi / \partial \alpha_j \) 满足线性非齐次初值问题
\[
\frac{dw}{dt} = DG(\varphi(t, \mathbf{b}, \alpha), \alpha)w + \frac{\partial G}{\partial \alpha_j}(\varphi(t, \mathbf{b}, \alpha), \alpha), \quad w(0) = \mathbf{0}. \tag{4.81}
\]
如上，\( DG \) 表示关于 \( x_j \) 的导数构成的 \( d \times d \) 矩阵；对参数的导数被显式写出。事实上，这个结果不需要单独证明；可以通过“归结为之前情形”的技巧推导，如练习24所讨论。

最后，第三个推广涉及高阶导数：可以证明，如果ODE属于 \( C^k \) 类，那么解算子关于所有变量也有 \( k \) 阶连续导数。特别地，在定理4.6.1的条件下，如果 \( F \in C^2 \)，则
\[
x(t, \varepsilon) - x_0(t) - \varepsilon x_1(t) = O(\varepsilon^2).
\]


\subsection{练习}

\subsubsection{核心练习}

核心练习的主要目的如下：
\begin{itemize}
\item 证明一个小的推广：1
\item 未完成的工作：2, 5–7, 10
\item 利用俘获区域证明全局存在性：3
\item 澄清理论的反例：4
\item 初探渐近行为：8, 9
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item[(a)] 证明定理4.1.2的如下变体：若 \(\mathbf{F}\) 在 \(\mathcal{U}\) 上有界且 \(\beta_* < \infty\)，则当 \(t \to \beta_*\) 时，\(\mathbf{x}_*(t)\) 趋于 \(\partial\mathcal{U}\) 上的一点。
\item[(b)] 构造一个标量ODE \(x' = f(x)\) 的初值问题，其中 \(f\) 有界，其解的最大存在区间 \((\alpha_*, \beta_*)\) 的两个端点均为有限值。
\end{enumerate}

\item 证明定理4.2.3。

\textbf{提示：} 必须证明解不能离开 \(\mathcal{K}\)。用证明定理4.2.2的相同论证排除在正则点穿越 \(\partial\mathcal{K}\) 的可能性。在角点 \(\mathbf{P}\) 处，回忆第B.3.3节的记号，将 \(\mathbf{P}\) 附近的 \(\partial\mathcal{K}\) 表示为两条光滑曲线 \(\{\phi_1 = 0\}\) 和 \(\{\phi_2 = 0\}\) 的交集。取正则点的极限，可得
\[
\langle \nabla\phi_k(\mathbf{P}), \mathbf{F}(\mathbf{P}) \rangle \geq 0, \quad k = 1, 2.
\]
利用 \(\nabla\phi_1(\mathbf{P})\) 与 \(\nabla\phi_2(\mathbf{P})\) 线性无关的假设，证明这些不等式之一必为严格的，如(4.12)那样。通过推导定理4.2.2时使用的简单论证，排除在 \(\mathbf{P}\) 点穿越 \(\partial\mathcal{K}\) 的可能性。

\item 利用俘获区域分析下列方程的全局存在性：
\begin{enumerate}
\item[(a)] Lorenz 方程：
\[
x' = \sigma(y - x),\quad y' = \rho x - y - xz,\quad z' = -\beta z + xy,
\]
其中 \(\sigma, \rho, \beta\) 是正常数（任意初始条件）。

\textbf{提示：} 通过证明如下形式的集合
\[
\mathcal{K} = \{(x, y, z) : x^2 + y^2 + (z - \rho - \sigma)^2 \leq A^2\}
\]
当 \(A\) 足够大时是一个俘获区域，从而推断全局存在性；即俘获区域由一个精心选择的二次函数的水平集所界定。

\item[(b)] 两个相互作用物种的演化方程：
\[
x' = x(1 - x - by), \quad y' = \rho y(1 - y - cx),
\]
其中 \(\rho, b, c\) 是常数，\(\rho > 0\)（初始值 \(x(0), y(0)\) 均非负）。
\end{enumerate}

\textbf{讨论：} 注意每个物种具有受对方存在修正的逻辑斯蒂增长。若 \(b, c\) 均为正，则相互作用是竞争的；若均为负，则是共生的。最有趣的情况是当第一象限（开集）内存在共存平衡点时，即 (i) \(1 < b, c\)，(ii) \(0 < b, c < 1\)，以及 (iii) \(-1 < b, c < 0\)。

\textbf{提示：} 在情形 (i) 和 (ii) 中，绘制零倾线以证明存在形如 (4.23) 的三角形俘获区域。情形 (iii) 需要稍微复杂一点的区域。

\textbf{讨论：} 顺便提一下，我们邀请你计算属于情形 (i) 和情形 (ii) 的方程的几个典型解。你会发现当 \(t \to \infty\) 时它们的行为不同。这种行为目前可能有些神秘，但第6章的思想会澄清它。

\textbf{挑战：} 一个较难但有教育意义的问题是证明当 \(b, c < -1\) 时解可能在有限时间内爆破。试试看！作为这个更难问题的准备，你可以先尝试证明更简单的系统 \(x' = xy, y' = xy\) 的爆破。

\begin{enumerate}
\item[(c)] 简化的活化剂–抑制剂系统
\[
(a) \quad x' = \sigma \frac{1}{1+y} x^2 - x, \qquad (b) \quad y' = \rho [x^2 - y],
\]
即方程(4.30)当 \(\kappa \to \infty\) 时的极限（\(x(0), y(0)\) 均非负）。

\textbf{注记：} 为(4.30)构造一个俘获区域是直接的；为(4.82)构造一个则要困难得多。但在下面我们将使用更简单的方程(4.82)来计算活化剂–抑制剂模型解的性质。

\item[(d)] “抑制振荡器” (repressilator)
\[
x' = \frac{\mu}{1 + y^n} - x,\quad y' = \frac{\mu}{1 + z^n} - y,\quad z' = \frac{\mu}{1 + x^n} - z,
\]
其中 \(\mu\) 和 \(n\) 是正常数（所有变量的初始值非负）。

\textbf{提示：} 为证明该系统的全局存在性（该系统将在第8.7.2节介绍和分析），构造如下形式的俘获区域
\[
\mathcal{K} = \{(x, y, z) : x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, x + y + z \leq A\};
\]
即证明当 \(A\) 足够大时，流在这个单形的四个面上都是向内的。注意 \(\mathcal{K}\) 是一个三维区域，其边界只是分片光滑的。（我们一直回避在高维中定义“分片光滑”，但无论这个词如何定义，它无疑适用于这个集合。）因此，定理4.2.2并不能直接用于证明全局存在性。如果你对这个漏洞感到困扰，可以通过模仿问题2来填补它。
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item[(a)] 关于定理4.1.2，给出一个例子说明若 \(\beta_* = \infty\)，则一个初值问题的解可以始终停留在一个紧集内。
\item[(b)] 给出一个 \(C^1\) 函数的例子，它满足线性增长估计(4.4)，但不是（全局）Lipschitz的。
\item[(c)] 对于系统
\[
x' = x^2 - y^2,\qquad y' = 2xy,
\]
找出一个在有限时间内爆破但大多数邻近解对所有时间存在的解。

\textbf{提示：} 首先证明对于初始条件 \(x(0) = 1, y(0) = 0\)，(4.83)的解在有限时间内爆破。虽然无法求解其他轨道的(4.83)，但可以定位解曲线，即找到轨道，如下：沿一条轨道，有ODE
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2xy}{x^2 - y^2}.
\]
将方程乘以 \((x/y)^2 - 1\) 并整理成
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{y} + y \right) = 0,
\]
由此可推出解曲线是通过原点的圆：\(x^2 + (y - C)^2 = C^2\)，其中 \(C\) 是任意常数。根据这一信息，论证(4.83)在初始条件 \(x(0) = 1, y(0) = b\)（其中 \(b \neq 0\)）下的解对所有时间存在。
\end{enumerate}

\footnote{形如 \((d/dx)f(x,y) = 0\) 的标量ODE被称为\textit{恰当}的。在此例中，我们通过一个\textit{积分因子}使方程成为恰当方程从而可解。这是另一种求解技巧，我们在1.3节中没有涉及；要了解更多，见\cite{10}的第1.9节。}

\item
\begin{enumerate}
\item[(a)] 证明定理4.2.1的如下推广（参考第3章练习8(a)）。

\textbf{定理4.7.1.} 若 \(G : \mathbb{R}^d \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^d\) 关于 \(x\) 和 \(t\) 是局部Lipschitz的，且存在非负连续函数 \(B(t), K(t)\) 使得
\[
|G(x,t)| \leq K(t)|x| + B(t),
\]
则初值问题
\[
x' = G(x,t), \quad x(0) = b
\]
的解对所有时间 \(-\infty < t < \infty\) 存在。此外，对任意有限 \(T > 0\)，
\[
|\mathbf{x}(t)| \leq |\mathbf{b}| e^{K_{\text{max}}|t|} + \frac{B_{\text{max}}}{K_{\text{max}}} (e^{K_{\text{max}}|t|} - 1), \quad -T \leq t \leq T, \tag{4.85}
\]
其中
\[
B_{\text{max}} = \max_{|s| \leq T} |B(s)|, \quad K_{\text{max}} = \max_{|s| \leq T} |K(s)|.
\]

\textbf{讨论：} 下面明确陈述定理4.7将是有用的，并且将定理4.2.1的证明调整到非自治情形也是一种有用的训练。为了完成证明，需要将命题4.1.1和定理4.1.2推广到非自治方程。我们邀请你跳过这个不太有回报的任务，而将这两个结果的推广视为已知。

顺便提一下，每个线性方程 \(\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x} + \mathbf{g}(t)\) 当然满足上述假设，前提是 \(A(t)\) 和 \(\mathbf{g}(t)\) 连续。因此，该定理为线性方程的全局存在性提供了另一种证明，这是第3章练习16中基于Picard迭代的方法的替代。

\item[(b)] 使用定理4.7.1证明下列方程的全局存在性：
\[
\begin{aligned}
x' &= y, \\
y' &= -(1/4 + \beta \cos t)x.
\end{aligned}
\]

\textbf{注记：} 回顾你在第3章练习13中的计算，你发现该方程的解可能随时间指数增长这个令人惊讶的事实；由本题可得出结论：解的增长速度不会超过指数。
\end{enumerate}

\item 将定理4.2.2推广到柱面 \(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \times \mathbb{R}\) 上的ODE。

\textbf{提示：} 首先，一些记号：若 \(\mathcal{K}\) 是 \(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \times \mathbb{R}\) 的子集，定义 \(\mathcal{K}_{\text{lift}} \subset \mathbb{R}^2\) 为\footnote{下标“lift”指的是 \(\mathbb{R}^2\) 是 \(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \times \mathbb{R}\) 的一个单连通覆盖空间，位于 \(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \times \mathbb{R}\) 的“上方”。}
\[
\mathcal{K}_{\text{lift}} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : \Pi \cdot (x,y) \in \mathcal{K}\},
\]
其中 \(\Pi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \times \mathbb{R}\) 是自然投影。用不太正式的话说，投影“将平面包裹到柱面上”，而 \(\mathcal{K}_{\text{lift}}\) 是从 \(\mathcal{K}\) 通过“展开”柱面得到的集合。（见图4.4。）

所谓 \(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \times \mathbb{R}\) 上的ODE，是指一个二维ODE
\[
\begin{bmatrix}
\theta' \\
y'
\end{bmatrix} = \mathbf{F}(\theta, y), \tag{4.86}
\]
其中 \(\mathbf{F} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) 关于第一个参数是 \(2\pi\)-周期的，即 \(\mathbf{F}(\theta+2\pi, y) = \mathbf{F}(\theta, y)\)。我们提议通过将本章理论应用于等价的“提升”平面IVP
\[
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix} = \mathbf{F}(x, y), \quad \begin{bmatrix}
x(0) \\
y(0)
\end{bmatrix} = \mathbf{b}, \tag{4.87}
\]
其中 \(x\) 可在 \((-\infty, \infty)\) 上变化，来证明(4.86)的初值问题的全局存在性。

假设 \(\mathcal{K} \subset \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \times \mathbb{R}\) 是(4.86)的一个紧俘获区域；则 \(\mathcal{K}_{\text{lift}}\) 是(4.87)的一个俘获区域。由推论4.2.4，若 \(\mathbf{b} \in \mathcal{K}_{\text{lift}}\)，则(4.87)的解在存在期间始终留在 \(\mathcal{K}_{\text{lift}}\) 内，设 \(0 \leq t < t_*\)。由紧性，
\[
C = \max_{(x,y) \in \mathcal{K}_{\text{lift}}} |\mathbf{F}(x, y)| = \max_{(\theta,y) \in \mathcal{K}} |\mathbf{F}(\theta, y)| < \infty.
\]
因此，\(|\mathbf{x}(t)| \leq |\mathbf{b}| + Ct\) 对 \(0 \leq t < t_*\) 成立。若 \(t_*\) 有限，则该估计与定理4.1.2矛盾，故(4.87)必有全局解。

\textbf{注记：} 类似的论证也适用于环面 \(\mathbb{T}^2\) 上的ODE。

\item 证明定理4.5.4。

\textbf{提示：} 需要证明通过使 \(t_1, t_2\) 与 \(\alpha_1, \alpha_2\) 充分接近，\(|\mathbf{w}(t_1, \alpha_1) - \mathbf{w}(t_2, \alpha_2)|\) 可以任意小。只需考虑正时间 \(t_k \leq T\)，其中 \(T < T_2\)，并将 \(\alpha_k\) 限制在参数集 \(\mathcal{V}\) 的一个紧子集 \(\mathcal{N}\) 上。令
\[
M = \max_{0 \leq t \leq T} \max_{\alpha \in \mathcal{N}} \|A(t, \alpha)\|. \tag{4.88}
\]
为简便，将 \(\mathbf{w}(t, \alpha_k)\) 简记为 \(\mathbf{w}_k(t)\)；即需要证明 \(|\mathbf{w}_1(t_1) - \mathbf{w}_2(t_2)|\) 很小。通过加减项 \(\mathbf{w}_2(t_1)\) 来估计
\[
|\mathbf{w}_1(t_1) - \mathbf{w}_2(t_2)| \leq |\mathbf{w}_1(t_1) - \mathbf{w}_2(t_1)| + |\mathbf{w}_2(t_1) - \mathbf{w}_2(t_2)|. \tag{4.89}
\]
为估计第二项，首先将Gronwall不等式应用于ODE \(\mathbf{w}_2' = A(t, \alpha_2)\mathbf{w}_2\)，得到 \(|\mathbf{w}_2(t)| \leq |\mathbf{b}|e^{Mt}\)，然后对该ODE积分得
\[
|\mathbf{w}_2(t_1) - \mathbf{w}_2(t_2)| \leq M|\mathbf{b}|e^{MT}|t_1 - t_2|.
\]
为估计(4.89)中的第一项，将 \(\mathbf{w}_k(t)\) 的ODE相减，然后加减 \(A(t, \alpha_1)\mathbf{w}_2(t)\)，推出
\[
\left| \frac{d}{dt}(\mathbf{w}_1 - \mathbf{w}_2) \right| \leq \|A(t, \alpha_1)\| \, |\mathbf{w}_1 - \mathbf{w}_2| + \|A(t, \alpha_1) - A(t, \alpha_2)\| \, |\mathbf{w}_2|.
\]
对此不等式积分并应用练习3.8(a)中的Gronwall不等式推广，得到
\[
|(\mathbf{w}_1 - \mathbf{w}_2)(t)| \leq B \frac{e^{Mt} - 1}{M},
\]
其中 \(M\) 由(4.88)定义，且
\[
B = \max_{0 \leq t \leq T} |\mathbf{b}|e^{MT} \|A(t, \alpha_1) - A(t, \alpha_2)\|.
\]
将这些不等式与 \(A(t, \alpha)\) 关于 \(\alpha\) 一致连续的事实结合，完成证明。

\textbf{注记：} 定理4.5.4可推广到（Lipschitz连续的）非自治非线性方程，如 \(x' = G(x, t, \alpha)\)。这类结果最方便的证明是利用练习24中提出的技巧。

\item 对于 \(0 < \sigma < \rho / (1 - \rho)\) 时的恒化器方程(4.21)，使用零倾线证明第一象限内所有初始条件的解当 \(t \to \infty\) 时趋于平衡点 \((0, \sigma)\)。

\textbf{提示：} 回忆单调函数当 \(t \to \infty\) 时有极限。

\textbf{注记：} 本题和下一题涉及本书后半部分重点讨论的问题，即ODE解的渐近行为。在这些问题中，可用特殊方法解决。从第6章开始，我们将引入更有效的工具来研究这类渐近行为。


\subsubsection{微分定理的应用}

\item \textit{引言：} 本练习旨在建立信心；通过显式解验证具体例子中的公式(4.79)和(4.81)。这也是为下面一些计算所做的有益准备。

\begin{enumerate}
\item[(a)] 使用分离变量法求解初值问题
\[\frac{dx}{dt} = \frac{\alpha + \cos t}{x}, \quad x(0) = b,\]
其中 \( b \neq 0 \)。

\item[(b)] 对解求导以计算 \( \partial x / \partial b \)。

\item[(c)] 定义 \( G(x, t, \alpha) = (\alpha + \cos t) / x \) 如(4.91)所示，计算 \( DG \)，写出初值问题(4.79)，并证明(b)部分的答案满足该初值问题。

\item[(d)] 对(a)部分的解求导以计算 \( \partial x / \partial \alpha \)。

\item[(e)] 写出初值问题(4.81)，并证明(d)部分的答案满足该初值问题。
\end{enumerate}

\textit{注记：} 在本问题中使用流的记号可能更一致，但当涉及显式计算时，我们通常发现使用 \( x \) 而不是 \( \varphi \) 更直观。注意我们称为 \( x \) 的量依赖于 \( t, b \) 和 \( \alpha \)，但我们故意不严谨地没有显式指出所有这些依赖关系。
\end{enumerate}

\end{document}