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\begin{document}

\begin{titlepage}
  \centering
  \vspace*{4em}
  {\Huge\bfseries Walter A. Strauss\par}
  \vspace{0.8em}
  {\LARGE\bfseries Partial Differential Equations: An Introduction\par}
  \vspace{1.2em}
  {\Large 与 Laplace 方程相关内容中文译稿\par}
  \vspace{2.5em}
  {\large 范围：1.3、1.4、5.1--5.4、第 6 章、第 7 章\par}
  \vfill
  {\large 译稿说明：公式以 \LaTeX{} 重写；原书图示位置仅作标记，不插入图片。\par}
\end{titlepage}

\tableofcontents

\chapter{偏微分方程从何而来}

\section{流动、振动与扩散}

直到二十世纪以前，偏微分方程这一学科实际上几乎是物理学的一个分支。本节给出一系列来自物理学的偏微分方程例子。这些例子为本书其余部分所研究的偏微分方程问题提供基本动机。我们将看到，在物理问题中，独立变量最常见的是空间变量 \(x,y,z\) 与时间变量 \(t\)。

\begin{examplebox}{例 1：简单输运}
考虑一条截面固定的水平管道，水以常速 \(c\) 沿正 \(x\) 方向流动。设某种物质，例如污染物，悬浮在水中。令 \(u(x,t)\) 表示时刻 \(t\)、位置 \(x\) 处该物质的浓度，单位可取为克/厘米。于是
\begin{equation}
  u_t+c u_x=0 .
\end{equation}
也就是说，浓度的变化率 \(u_t\) 与浓度梯度 \(u_x\) 成比例。这里假定扩散效应可以忽略。按第 1.2 节的方法解此方程，可知浓度只依赖于 \(x-ct\)。这意味着该物质以固定速度 \(c\) 向右输运。每一个单独粒子都以速度 \(c\) 向右运动；也就是说，在 \(xt\) 平面中，它恰好沿着一条特征直线运动。
\end{examplebox}

\begin{figuremark}{图 1：原书此处给出 \(xt\) 平面中的特征直线示意图。}
\end{figuremark}

\noindent\textbf{方程 (1) 的推导。}
在时刻 \(t\)，区间 \([0,b]\) 内污染物的总量为
\[
  M=\int_0^b u(x,t)\dd x ,
\]
单位可取为克。在稍后的时刻 \(t+h\)，同一批污染物分子已向右移动了 \(ch\) 厘米。因此
\[
  M=\int_0^b u(x,t)\dd x
   =\int_{ch}^{b+ch} u(x,t+h)\dd x .
\]
对 \(b\) 求导，得到
\[
  u(b,t)=u(b+ch,t+h).
\]
再对 \(h\) 求导，并令 \(h=0\)，得到
\[
  0=c u_x(b,t)+u_t(b,t),
\]
这正是方程 (1)。

\begin{examplebox}{例 2：振动弦}
考虑一条长度为 \(l\) 的柔软、弹性、均匀的弦或细线，并假定它只作相对较小的横向振动。例如，它可以是一根吉他弦，或被拨动的小提琴弦。在某一给定时刻 \(t\)，弦的形状可如原书图 2 所示。假定弦始终留在同一平面内。令 \(u(x,t)\) 表示时刻 \(t\)、位置 \(x\) 处弦相对于平衡位置的位移。

由于弦完全柔软，张力总沿弦的切向方向。令 \(T(x,t)\) 表示张力向量的大小。令 \(\rho\) 表示弦的密度，即单位长度质量。由于弦是均匀的，\(\rho\) 为常数。现在对 \(x=x_0\) 与 \(x=x_1\) 之间的任意一段弦写出 Newton 定律。弦在 \(x_1\) 处的斜率为 \(u_x(x_1,t)\)。Newton 定律 \(F=ma\) 在纵向 \(x\) 分量与横向 \(u\) 分量上分别给出
\[
  \left. \frac{T}{\sqrt{1+u_x^2}} \right|_{x_0}^{x_1}=0
  \qquad \text{（纵向）},
\]
\[
  \left. \frac{T u_x}{\sqrt{1+u_x^2}} \right|_{x_0}^{x_1}
  =\int_{x_0}^{x_1} \rho u_{tt}\dd x
  \qquad \text{（横向）}.
\]
右端是弦段质量乘以加速度后在相应方向上的积分。由于我们假定运动纯粹是横向的，所以没有纵向运动。

现在还假定运动很小，更具体地说，\(|u_x|\) 很小。于是 \(\sqrt{1+u_x^2}\) 可以用 \(1\) 代替。这由 Taylor 展开，也即二项式展开所说明：
\[
  \sqrt{1+u_x^2}=1+\frac12u_x^2+\cdots ,
\]
其中省略号表示 \(u_x\) 的更高次幂。如果 \(u_x\) 很小，舍去更小的 \(u_x^2\) 及其高次幂就是合理的。将平方根都换成 \(1\) 后，第一个方程说明 \(T\) 沿弦为常数。再假定 \(T\) 不依赖于 \(t\)，也不依赖于 \(x\)。对第二个方程求导，得到
\[
  (Tu_x)_x=\rho u_{tt}.
\]
也就是说，
\begin{equation}
  u_{tt}=c^2u_{xx},
  \qquad
  c=\sqrt{\frac{T}{\rho}} .
\end{equation}
这就是波方程。此处尚不清楚为什么以这种方式定义 \(c\)，但很快我们会看到，\(c\) 正是波速。
\end{examplebox}

\begin{figuremark}{图 2：原书此处给出某时刻振动弦形状示意图。}
\end{figuremark}
\begin{figuremark}{图 3：原书此处给出弦上张力沿切向作用的示意图。}
\end{figuremark}

方程 (2) 有许多变形：
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item 如果存在显著的空气阻力 \(r\)，则会出现一个与速度 \(u_t\) 成比例的附加项：
  \begin{equation}
    u_{tt}-c^2u_{xx}+r u_t=0,
    \qquad r>0 .
  \end{equation}
  \item 如果存在横向弹性力，则会出现一个与位移 \(u\) 成比例的附加项，如卷簧的情形：
  \begin{equation}
    u_{tt}-c^2u_{xx}+ku=0,
    \qquad k>0 .
  \end{equation}
  \item 如果有外加力作用，它也表现为一个附加项：
  \begin{equation}
    u_{tt}-c^2u_{xx}=f(x,t),
  \end{equation}
  这使方程成为非齐次方程。
\end{enumerate}

以上对波方程的推导较快，并不十分精细。也可以作出更加谨慎的推导，使物理假设与数学假设都更明确，见参考文献 [We, Chap. 1]。

同一个波方程或其变形还描述许多其他波动现象，例如弹性杆的振动、管中的声波，以及直渠中的长水波。另一个例子是传输线中电流所满足的方程
\[
  u_{xx}=CLu_{tt}+(CR+GL)u_t+GRu,
\]
其中 \(C\) 是单位长度电容，\(G\) 是单位长度漏电阻，\(R\) 是单位长度电阻，\(L\) 是单位长度自感。

\begin{examplebox}{例 3：振动鼓膜}
弦的二维对应物是一张弹性、柔软、均匀的鼓膜，即张在框架上的膜。设框架位于 \(xy\) 平面内，\(u(x,y,t)\) 表示竖直位移，并假定没有水平运动。Newton 定律的水平分量仍然给出常张力 \(T\)。令 \(D\) 为 \(xy\) 平面中的任意区域，例如圆或矩形；令 \(\bdy D\) 表示其边界曲线。按一维情形类似推理，竖直分量近似给出
\[
  F=\int_{\bdy D} T\frac{\partial u}{\partial n}\dd s
  =\iint_D \rho u_{tt}\dd x\dd y
  =ma,
\]
其中左端是作用在膜的区域 \(D\) 上的总力；\(\partial u/\partial n=n\cdot\nabla u\) 是沿外法向的方向导数，\(n\) 是 \(\bdy D\) 上的外单位法向量。由 Green 定理，见附录 A.3，上式可改写为
\[
  \iint_D \nabla\cdot(T\nabla u)\dd x\dd y
  =
  \iint_D \rho u_{tt}\dd x\dd y .
\]
由于 \(D\) 任意，由附录 A.1 中的第二消失定理可推出
\[
  \rho u_{tt}=\nabla\cdot(T\nabla u).
\]
因为 \(T\) 是常数，得到
\begin{equation}
  u_{tt}=c^2\nabla\cdot(\nabla u)
  \equiv c^2(u_{xx}+u_{yy}),
\end{equation}
其中 \(c=\sqrt{T/\rho}\)，并且
\[
  \nabla\cdot(\nabla u)=\diver\grad u=u_{xx}+u_{yy}
\]
称为二维 Laplace 算子。方程 (6) 是二维波方程。
\end{examplebox}

\begin{figuremark}{图 4：原书此处给出鼓膜位于 \(xy\) 平面并作竖直位移的示意图。}
\end{figuremark}

现在模式已经清楚。简单的三维振动满足
\begin{equation}
  u_{tt}=c^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}).
\end{equation}
算子
\[
  \ell=\frac{\partial^2}{\partial x^2}
   +\frac{\partial^2}{\partial y^2}
   +\frac{\partial^2}{\partial z^2}
\]
称为三维 Laplace 算子，通常记作 \(\Delta\) 或 \(\nabla^2\)。由三维波方程或其变形所描述的物理例子包括：弹性固体的振动、空气中的声波、电磁波（光、雷达等）、线性化的超声速气流、核物理中的自由介子，以及在地球中传播的地震波。

\begin{examplebox}{例 4：扩散}
设想一根直管中充满静止液体，一种化学物质，例如染料，正在液体中扩散。简单扩散由下列定律刻画：染料从高浓度区域向低浓度区域移动，移动率与浓度梯度成比例。这称为 Fick 扩散定律。这里不要把扩散与对流（输运）混淆，后者指液体中的流动。令 \(u(x,t)\) 表示时刻 \(t\)、管道位置 \(x\) 处染料的浓度，即单位长度质量。

在从 \(x_0\) 到 \(x_1\) 的管段中，染料质量为
\[
  M(t)=\int_{x_0}^{x_1}u(x,t)\dd x,
  \qquad
  \frac{\dd M}{\dd t}
  =
  \int_{x_0}^{x_1}u_t(x,t)\dd x .
\]
该管段中的质量只能通过两端流入或流出而改变。由 Fick 定律，
\[
  \frac{\dd M}{\dd t}
  =
  \text{流入量}-\text{流出量}
  =
  k u_x(x_1,t)-k u_x(x_0,t),
\]
其中 \(k\) 是比例常数。因此两种表达式相等：
\[
  \int_{x_0}^{x_1}u_t(x,t)\dd x
  =
  k u_x(x_1,t)-k u_x(x_0,t).
\]
对 \(x_1\) 求导，得到
\begin{equation}
  u_t=ku_{xx}.
\end{equation}
这就是扩散方程。

在三维情形中，有
\[
  \iiint_D u_t\dd x\dd y\dd z
  =
  \iint_{\bdy D} k(n\cdot\nabla u)\dd S,
\]
其中 \(D\) 是任意实体区域，\(\bdy D\) 是其边界曲面。由散度定理，并像例 3 一样利用 \(D\) 的任意性，得到三维扩散方程
\begin{equation}
  u_t=k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=k\Delta u .
\end{equation}
如果存在外部源项（或“汇”），并且扩散率 \(k\) 是变量，则得到更一般的非齐次方程
\[
  u_t=\nabla\cdot(k\nabla u)+f(x,t).
\]
同一方程还描述热传导、Brown 运动、种群动力学中的扩散模型，以及许多其他现象。
\end{examplebox}

\begin{figuremark}{图 5：原书此处给出管段 \([x_0,x_1]\) 中扩散通量的示意图。}
\end{figuremark}

\begin{examplebox}{例 5：热流}
令 \(u(x,y,z,t)\) 表示温度，令 \(H(t)\) 表示区域 \(D\) 中所含热量，单位可取为卡。于是
\[
  H(t)=\iiint_D c\rho u\dd x\dd y\dd z,
\]
其中 \(c\) 是材料的比热，\(\rho\) 是密度，即单位体积质量。热量的变化为
\[
  \frac{\dd H}{\dd t}
  =
  \iiint_D c\rho u_t\dd x\dd y\dd z .
\]
Fourier 定律说，热从热区流向冷区，并且与温度梯度成比例。但区域 \(D\) 中的热量只能通过边界流出而损失。这是能量守恒定律。因此，区域 \(D\) 中热能的变化也等于穿过边界的热通量：
\[
  \frac{\dd H}{\dd t}
  =
  \iint_{\bdy D}\kappa(n\cdot\nabla u)\dd S,
\]
其中 \(\kappa\) 是比例因子，称为热导率。由散度定理，
\[
  \iiint_D c\rho\frac{\partial u}{\partial t}\dd x\dd y\dd z
  =
  \iiint_D \nabla\cdot(\kappa\nabla u)\dd x\dd y\dd z,
\]
从而得到热方程
\begin{equation}
  c\rho\frac{\partial u}{\partial t}
  =
  \nabla\cdot(\kappa\nabla u).
\end{equation}
如果 \(c,\rho,\kappa\) 都是常数，则它与扩散方程完全相同。
\end{examplebox}

\begin{examplebox}{例 6：定常波与定常扩散}
考虑前四个例子中的任意一个，并假定物理状态不随时间改变。于是 \(u_t=u_{tt}=0\)。因此，波方程与扩散方程都化为
\begin{equation}
  \Delta u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0 .
\end{equation}
这称为 Laplace 方程。它的解称为调和函数。

例如，考虑一个在炉中持续受热的热物体。不能指望热量在整个炉内均匀分布。该物体的温度最终达到一个定常状态，或称平衡状态。这就是一个调和函数 \(u(x,y,z)\)。（当然，如果热量从所有方向均匀供给，则定常状态会是 \(u\equiv\text{常数}\)。）在一维情形中，例如一根侧面绝热、只通过两端与环境交换热量的细杆，\(u\) 只是 \(x\) 的函数。于是 Laplace 方程就简单化为 \(u_{xx}=0\)。因此 \(u=c_1x+c_2\)。二维和三维情形则有趣得多；其解见第 6 章。
\end{examplebox}

\begin{examplebox}{例 7：氢原子}
氢原子由一个绕质子运动的电子组成。令 \(m\) 为电子质量，\(e\) 为电子电荷，\(h\) 为 Planck 常数除以 \(2\pi\)。令坐标 \((x,y,z)\) 的原点置于质子处，并令
\[
  r=(x^2+y^2+z^2)^{1/2}
\]
为球坐标中的径向变量。则电子的运动由一个“波函数” \(u(x,y,z,t)\) 给出，它满足 Schrodinger 方程
\begin{equation}
  -\iu h u_t=\frac{h^2}{2m}\Delta u+\frac{e^2}{r}u
\end{equation}
在整个空间 \(-\infty<x,y,z<+\infty\) 中成立。此外，应当有
\[
  \iiint_{\text{全空间}} |u|^2\dd x\dd y\dd z=1 .
\]
注意 \(\iu=\sqrt{-1}\)，并且 \(u\) 是复值函数。系数函数 \(e^2/r\) 称为势。对于任意其他只有一个电子的原子，例如氦离子，\(e^2\) 要替换为 \(Ze^2\)，其中 \(Z\) 是原子序数。
\end{examplebox}

这在物理上是什么意思？在量子力学中，量不能被精确测量，而只能以一定概率测量。波函数 \(u(x,y,z,t)\) 表示电子的一个可能状态。如果 \(D\) 是 \(xyz\) 空间中的任意区域，则
\[
  \iiint_D |u|^2\dd x\dd y\dd z
\]
是在时刻 \(t\) 于区域 \(D\) 中找到电子的概率。时刻 \(t\) 电子位置的 \(z\) 坐标的期望值为
\[
  \iiint z|u(x,y,z,t)|^2\dd x\dd y\dd z,
\]
\(x\) 坐标与 \(y\) 坐标的期望值类似。动量的 \(z\) 坐标的期望值为
\[
  \iiint
  -\iu h\frac{\partial u}{\partial z}(x,y,z,t)\,
  \overline{u}(x,y,z,t)\dd x\dd y\dd z,
\]
其中 \(\overline{u}\) 是 \(u\) 的复共轭。所有其他可观测量都由作用在函数上的算子 \(A\) 给出。可观测量 \(A\) 的期望值等于
\[
  \iiint Au(x,y,z,t)\,\overline{u}(x,y,z,t)\dd x\dd y\dd z .
\]
因此，位置由算子 \(Au=\mathbf{x}u\) 给出，其中 \(\mathbf{x}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\)；动量由算子 \(Au=-\iu h\nabla u\) 给出。

Schrodinger 方程最容易被看作一条公设，它导出正确的物理结论，而不是一条可由更简单原理推出的方程。它解释了原子为何稳定而不会塌缩，也解释了 Bohr 所观测到的氢原子中电子的能级。原则上，它的各种推广解释了所有原子和分子的结构，因而也解释了整个化学。对于多粒子情形，波函数 \(u\) 依赖于时间 \(t\) 以及所有粒子的全部坐标，所以它是大量变量的函数。Schrodinger 方程于是变为
\[
  -\iu h u_t
  =
  \sum_{i=1}^n
  \frac{h^2}{2m_i}
  \bigl(u_{x_i x_i}+u_{y_i y_i}+u_{z_i z_i}\bigr)
  +V(x_1,\ldots,z_n)u,
\]
这是 \(n\) 个粒子的情形，其中势函数 \(V\) 依赖于全部 \(3n\) 个坐标。除氢原子和氦原子以外，后者有两个电子，其数学分析不可能完整完成，即使用现代计算机也无法完全计算。尽管如此，借助各种近似，许多关于更复杂原子以及分子化学键的事实仍然可以得到理解。

以上只是对偏微分方程在物理问题中来源的一个简短介绍。许多真实情形会导出复杂得多的偏微分方程。更多例子见第 13 章。

\subsection*{习题}
\addcontentsline{toc}{subsection}{习题}

\begin{enumerate}
  \item 仔细推导一根弦在阻力与速度成比例的介质中所满足的方程。

  \item 一条长度为 \(l\) 的柔性链条从端点 \(x=0\) 悬挂下来，并作水平振动。令 \(x\) 轴向下，\(u\) 轴向右。假定链条每一点处的重力等于该点以下链条部分的重量，并沿链条切向方向作用。假定振动很小。求该链条满足的偏微分方程。

  \item 一根细杆侧面与温度恒为 \(T_0\) 的介质发生热交换，并服从 Newton 冷却定律，即通量与温差成比例。忽略杆横截面上的温度变化，温度 \(u(x,t)\) 满足什么方程？

  \item 假设某些悬浮在液体介质中的粒子，在没有扩散时，会因重力以常速 \(V>0\) 向下运动。考虑扩散效应后，求粒子浓度所满足的方程。假定水平方向 \(x,y\) 上均匀，并令 \(z\) 轴向上。

  \item 推导一个沿 \(x\) 轴以常速 \(V\) 向右运动的介质中的一维扩散方程。

  \item 考虑一根长圆柱中的热流，温度只依赖于 \(t\) 以及到圆柱轴的距离 \(r\)。这里
  \[
    r=\sqrt{x^2+y^2}
  \]
  是柱坐标中的径向变量。由三维热方程推导
  \[
    u_t=k\left(u_{rr}+\frac{u_r}{r}\right).
  \]

  \item 在球中求解习题 6 的对应问题，但温度只依赖于球坐标径向变量
  \[
    r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
  \]
  推导
  \[
    u_t=k\left(u_{rr}+\frac{2u_r}{r}\right).
  \]

  \item 对氢原子，若在 \(t=0\) 时有
  \[
    \iiint |u|^2\dd x\dd y\dd z=1,
  \]
  证明在所有以后时刻同样成立。提示：对积分关于 \(t\) 求导，注意解是复值函数。假定当 \(|x|\to\infty\) 时，\(u\) 与 \(\nabla u\) 足够快地趋于 \(0\)。

  \item 本题关于散度定理
  \[
    \iiint_D \nabla\cdot F\dd x
    =
    \iint_{\bdy D} F\cdot n\dd S,
  \]
  其中 \(D\) 是空间中的任意有界区域，边界曲面为 \(\bdy D\)，外单位法向量为 \(n\)。如果你从未学过它，见 A.3 节。有界性在这里是关键。作为练习，在下列情形中分别计算等式两边以验证它：
  \[
    F=r^2\mathbf{x},\qquad
    \mathbf{x}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k},\qquad
    r^2=x^2+y^2+z^2,
  \]
  且 \(D\) 为以原点为中心、半径为 \(a\) 的球。

  \item 若向量场 \(\mathbf{f}(x)\) 连续，并且对所有 \(x\) 有
  \[
    |\mathbf{f}(x)|\leq \frac{1}{|x|^3+1},
  \]
  证明
  \[
    \iiint_{\text{全空间}} \nabla\cdot \mathbf{f}\dd x=0.
  \]
  提示：取 \(D\) 为一个大球，应用散度定理，并令其半径趋于无穷。

  \item 若在整个三维空间中 \(\curl v=0\)，证明存在一个标量函数 \(\phi(x,y,z)\)，使得
  \[
    v=\grad\phi .
  \]
\end{enumerate}

\section{初始条件与边界条件}

正如第 1.2 节所见，偏微分方程通常有很多解。为了选定一个解，必须附加辅助条件；这些条件应当被设计成能指定唯一解。它们来自物理背景，主要分为两类：初始条件与边界条件。

初始条件指定某一时刻 \(t_0\) 的物理状态。对扩散方程，初始条件为
\begin{equation}
  u(x,t_0)=\phi(x),
\end{equation}
其中 \(x=(x,y,z)\)，\(\phi(x)\) 是给定函数。若研究扩散物质，\(\phi(x)\) 是初始浓度；若研究热流，\(\phi(x)\) 是初始温度。对 Schrodinger 方程，通常也采用这种初始条件。

对波方程，需要一对初始条件：
\begin{equation}
  u(x,t_0)=\phi(x),
  \qquad
  \frac{\partial u}{\partial t}(x,t_0)=\psi(x),
\end{equation}
其中 \(\phi(x)\) 是初始位置，\(\psi(x)\) 是初始速度。从物理上看，只有同时给定这两者，才可能确定以后时刻的位置 \(u(x,t)\)；后面也会给出数学证明。

在每一个物理问题中，偏微分方程都在某一区域 \(D\) 内成立。振动弦中 \(D\) 是区间 \(0<x<l\)，其边界只有两点 \(x=0\) 与 \(x=l\)。鼓膜中 \(D\) 是平面区域，其边界是一条闭曲线。化学物质扩散时，\(D\) 是盛放液体的容器，其边界是曲面 \(S=\bdy D\)。氢原子问题中，区域是整个空间，因而没有边界。

若要确定解，通常必须给定边界条件。三类最重要的边界条件如下：
\[
\begin{array}{ll}
\text{(D)} & \text{指定 }u\quad\text{（Dirichlet 条件）},\\
\text{(N)} & \text{指定法向导数 }\partial u/\partial n\quad\text{（Neumann 条件）},\\
\text{(R)} & \text{指定 }\partial u/\partial n+au\quad\text{（Robin 条件）}.
\end{array}
\]
这里 \(a\) 是给定函数；条件对所有 \(t\) 以及所有 \(x=(x,y,z)\in\bdy D\) 成立。通常这些条件写成方程。例如 Neumann 条件写作
\begin{equation}
  \frac{\partial u}{\partial n}=g(x,t),
\end{equation}
其中 \(g\) 是给定函数，可称为边界数据。若所指定的函数为零，则边界条件称为齐次；否则称为非齐次。通常 \(n=(n_1,n_2,n_3)\) 表示 \(\bdy D\) 上从 \(D\) 指向外部的外单位法向量，且
\[
  \frac{\partial u}{\partial n}\equiv n\cdot\nabla u
\]
表示 \(u\) 沿外法向的方向导数。

\begin{figuremark}{图 1：原书此处给出区域 \(D\)、边界 \(\bdy D\) 与外单位法向量 \(n\) 的示意图。}
\end{figuremark}

在一维问题中，若 \(D\) 是区间 \(0<x<l\)，边界只有两个端点，相应条件化为
\[
\begin{array}{ll}
\text{(D)} & u(0,t)=g(t),\qquad u(l,t)=h(t),\\[0.3em]
\text{(N)} & \dfrac{\partial u}{\partial x}(0,t)=g(t),\qquad
             \dfrac{\partial u}{\partial x}(l,t)=h(t),
\end{array}
\]
Robin 条件也可类似写出。

\subsection*{若干物理解释}
\addcontentsline{toc}{subsection}{若干物理解释}

\noindent\textbf{振动弦。}
若弦的两端固定，如小提琴弦，则有齐次 Dirichlet 条件 \(u(0,t)=u(l,t)=0\)。若一端可无阻力地横向运动，例如沿无摩擦轨道运动，则该端没有横向张力，因而 \(u_x=0\)，这是 Neumann 条件。若端点沿轨道运动但连接到满足 Hooke 定律的弹簧或橡皮筋，则适当条件为 Robin 条件；此时弦与弹簧交换一部分能量。若端点按指定方式运动，则该端满足非齐次 Dirichlet 条件。

\noindent\textbf{扩散。}
若扩散物质封闭在容器 \(D\) 中，既不能流出也不能流入，则由 Fick 定律，浓度梯度在法向方向上必须为零。因此在 \(S=\bdy D\) 上有 \(\partial u/\partial n=0\)，即 Neumann 条件。另一方面，若容器可渗透，并且流到边界的物质立即被冲走，则在 \(S\) 上有 \(u=0\)。

\noindent\textbf{热。}
热传导由扩散方程描述，此时 \(u(x,t)\) 表示温度。若热流通过的物体 \(D\) 完全绝热，则无热量穿过边界，故有 Neumann 条件 \(\partial u/\partial n=0\)。若物体浸入温度为 \(g(t)\) 的大热库，且热传导完全，则在 \(\bdy D\) 上有 Dirichlet 条件 \(u=g(t)\)。若一根均匀杆在 \(0\leq x\leq l\) 上侧面绝热，端点 \(x=l\) 浸入温度为 \(g(t)\) 的热库，并按 Newton 冷却定律交换热量，则
\[
  \frac{\partial u}{\partial x}(l,t)
  =
  -a\,[u(l,t)-g(t)],
  \qquad a>0,
\]
这是一类非齐次 Robin 条件。

\noindent\textbf{光与声。}
光是电磁场，受 Maxwell 方程支配；电场和磁场的各分量满足波方程，各分量之间通过边界条件耦合。若不研究偏振效应，科学家有时用带齐次 Dirichlet 或 Neumann 条件的波方程作为散射问题的简化模型。

声音是空气中的小扰动。线性化气体动力学以速度 \(v\) 与密度 \(\rho\) 为未知量，满足
\begin{equation}
  \frac{\partial v}{\partial t}
  +\frac{c_0^2}{\rho_0}\grad\rho=0,
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial\rho}{\partial t}
  +\rho_0\diver v=0,
\end{equation}
这里 \(\rho_0\) 是静止空气密度，\(c_0\) 是声速。若 \(\curl v=0\)，即无声涡，则 \(\rho\) 与 \(v\) 的三个分量都满足波方程
\begin{equation}
  \frac{\partial^2 v}{\partial t^2}=c_0^2\Delta v,
  \qquad
  \frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}=c_0^2\Delta\rho .
\end{equation}
在有刚性墙的封闭隔音房间中，墙面处空气分子只能沿边界切向运动，因此 \(v\cdot n=0\)。若 \(v=-\grad\psi\)，则势函数 \(\psi\) 满足波方程，并满足 Neumann 条件 \(n\cdot\grad\psi=0\)。在开窗处，大气压恒定，故密度在窗口处为常数，这对应 Dirichlet 条件。若边界为软壁，例如覆盖开窗的弹性膜，压力差与法向速度成比例：
\[
  p-p_0=Z\,v\cdot n,
\]
其中 \(Z\) 称为声阻抗。小扰动下 \(p-p_0\) 又与 \(\rho-\rho_0\) 成比例，所以边界条件可写为
\[
  v\cdot n=a(\rho-\rho_0),
\]
其中 \(a\) 与 \(1/Z\) 成比例。

波方程还可能出现另一种边界条件
\begin{equation}
  \frac{\partial u}{\partial n}
  +b\frac{\partial u}{\partial t}=0.
\end{equation}
该条件表示能量通过边界向外辐射（\(b>0\)）或从外部吸收（\(b<0\)）。例如，端点浸在黏性液体中的振动弦满足 \(b>0\) 的这种条件。

\begin{figuremark}{图 2：原书此处给出由两个子区域 \(D_1,D_2\) 组成的区域 \(D\) 及界面示意图。}
\end{figuremark}

若区域 \(D\) 无界，物理上通常还会给出无穷远处的条件。例如 Schrodinger 方程在全空间中要求 \(\int |u|^2\dd x=1\)，这事实上意味着 \(u\) 在无穷远处消失。声波或电磁波散射中，若研究向外辐射到无穷远的波，适当条件是 Sommerfeld 向外辐射条件
\begin{equation}
  \lim_{r\to\infty}
  r\left(\frac{\partial u}{\partial r}
  -\frac{\partial u}{\partial t}\right)=0,
\end{equation}
其中 \(r=|x|\) 是球坐标径向变量。若区域由物理性质不同的两部分组成，还会出现跃迁条件，例如两种材料焊接处热传导中温度与热通量的连续性。

\chapter{Fourier 级数}

本章的第一个目标是在 Fourier 级数中求出系数。第 5.3 节引入函数正交性的思想，并说明不同类型的 Fourier 级数可以用统一方式处理。第 5.4 节陈述基本的完备性（收敛）定理；证明放在第 5.5 节。Joseph Fourier 在研究热流时发展了三角级数收敛思想；他的 1807 年论文曾因过于不精确而被其他科学家拒绝，直到 1822 年才发表。

\section{系数}

先考虑区间 \((0,l)\) 上的 Fourier sine 级数
\begin{equation}
  \phi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin\frac{n\pi x}{l}.
\end{equation}
这里先暂不讨论级数是否收敛到 \(\phi(x)\)。关键事实是正弦函数满足
\begin{equation}
  \int_0^l
  \sin\frac{n\pi x}{l}
  \sin\frac{m\pi x}{l}\dd x=0,
  \qquad m\ne n,
\end{equation}
其中 \(m,n\) 为正整数。这可由恒等式
\[
  \sin a\sin b=\frac12\cos(a-b)-\frac12\cos(a+b)
\]
直接积分验证。

固定 \(m\)，将 (1) 乘以 \(\sin(m\pi x/l)\)，并逐项积分。由于正交性，除 \(n=m\) 的项以外全部消失，留下
\[
  A_m\int_0^l\sin^2\frac{m\pi x}{l}\dd x
  =\frac{l}{2}A_m .
\]
因此
\begin{equation}
  A_m=\frac{2}{l}\int_0^l
  \phi(x)\sin\frac{m\pi x}{l}\dd x .
\end{equation}
这是 sine 级数 Fourier 系数的著名公式。如果 \(\phi(x)\) 确有展开式 (1)，那么系数只能由 (3) 给出。展开式是否真的成立，是收敛问题，留到第 5.4 节。

回到 Dirichlet 边界条件下的扩散方程，公式 (3) 给出了任意初始数据 \(\phi(x)\) 的最终求解成分。对带 Dirichlet 条件的波方程，初始数据是一对函数 \(\phi(x)\)、\(\psi(x)\)。其中 \(A_m\) 由 (3) 给出，而另一个系数满足
\begin{equation}
  \frac{m\pi c}{l}B_m
  =
  \frac{2}{l}\int_0^l
  \psi(x)\sin\frac{m\pi x}{l}\dd x .
\end{equation}

对 Neumann 边界条件对应的 cosine 级数，写作
\begin{equation}
  \phi(x)=\frac12 A_0+\sum_{n=1}^{\infty}
  A_n\cos\frac{n\pi x}{l}.
\end{equation}
余弦函数同样满足正交性：
\[
  \int_0^l
  \cos\frac{n\pi x}{l}
  \cos\frac{m\pi x}{l}\dd x=0,
  \qquad m\ne n,
\]
其中 \(m,n\) 为非负整数。由完全相同的方法得到，对所有非负整数 \(m\)，
\begin{equation}
  A_m=\frac{2}{l}\int_0^l
  \phi(x)\cos\frac{m\pi x}{l}\dd x .
\end{equation}
\(\frac12 A_0\) 的写法正是为了使同一公式适用于 \(m=0\)。

在区间 \(-l<x<l\) 上，完整 Fourier 级数定义为
\begin{equation}
  \phi(x)=\frac12 A_0+
  \sum_{n=1}^{\infty}
  \left(A_n\cos\frac{n\pi x}{l}
  +B_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right).
\end{equation}
注意此时区间长度是前面的两倍。特征函数族为
\[
  1,\quad \cos\frac{n\pi x}{l},\quad
  \sin\frac{n\pi x}{l}
  \qquad (n=1,2,3,\ldots).
\]
任取两个不同的特征函数，在 \((-l,l)\) 上相乘积分均为零。再计算平方积分
\[
  \int_{-l}^{l}\cos^2\frac{n\pi x}{l}\dd x
  =
  l
  =
  \int_{-l}^{l}\sin^2\frac{n\pi x}{l}\dd x,
  \qquad
  \int_{-l}^{l}1^2\dd x=2l,
\]
得到完整 Fourier 级数的系数公式：
\begin{equation}
  A_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}
  \phi(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\dd x,
  \qquad n=0,1,2,\ldots,
\end{equation}
\begin{equation}
  B_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}
  \phi(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\dd x,
  \qquad n=1,2,3,\ldots .
\end{equation}

\begin{examplebox}{例 1}
若 \(\phi(x)\equiv 1\) 于 \([0,l]\)，其 sine 级数系数为
\[
  A_m=\frac{2}{l}\int_0^l\sin\frac{m\pi x}{l}\dd x
  =
  \frac{2}{m\pi}\bigl[1-(-1)^m\bigr].
\]
因此 \(m\) 为奇数时 \(A_m=4/(m\pi)\)，\(m\) 为偶数时 \(A_m=0\)，于是
\[
  1=\frac{4}{\pi}
  \left(
  \sin\frac{\pi x}{l}
  +\frac13\sin\frac{3\pi x}{l}
  +\frac15\sin\frac{5\pi x}{l}
  +\cdots
  \right),
  \qquad 0<x<l .
\]
\end{examplebox}

\begin{figuremark}{图 1：原书此处给出上述 sine 级数前几个部分和的图像。}
\end{figuremark}

\begin{examplebox}{例 2}
同一函数 \(\phi(x)\equiv1\) 的 cosine 级数只有 \(A_0=2\) 非零；因此级数为平凡展开
\[
  1=1+0\cos\frac{\pi x}{l}+0\cos\frac{2\pi x}{l}+\cdots .
\]
\end{examplebox}

\begin{examplebox}{例 3}
若 \(\phi(x)=x\) 于 \((0,l)\)，其 sine 级数系数为
\[
  A_m=\frac{2}{l}\int_0^l
  x\sin\frac{m\pi x}{l}\dd x
  =
  \frac{2l}{m\pi}(-1)^{m+1}.
\]
故
\[
  x=\frac{2l}{\pi}
  \left(
  \sin\frac{\pi x}{l}
  -\frac12\sin\frac{2\pi x}{l}
  +\frac13\sin\frac{3\pi x}{l}
  -\cdots
  \right).
\]
\end{examplebox}

\section{偶函数、奇函数、周期函数与复函数}

Fourier sine 级数自然对应奇延拓，cosine 级数自然对应偶延拓。若 \(f\) 在 \((-l,l)\) 上为奇函数，即 \(f(-x)=-f(x)\)，则完整 Fourier 级数中所有 cosine 系数为零，只剩 sine 项。若 \(f\) 为偶函数，即 \(f(-x)=f(x)\)，则所有 sine 系数为零，只剩 cosine 项。

这解释了为何在 \((0,l)\) 上的同一函数可以有 sine 展开，也可以有 cosine 展开：前者是在 \((-l,l)\) 上作奇延拓后取完整 Fourier 级数，后者是在 \((-l,l)\) 上作偶延拓后取完整 Fourier 级数。

完整 Fourier 级数也可以被看作周期为 \(2l\) 的函数的展开。若一个函数满足
\[
  f(x+2l)=f(x)\qquad\text{对所有 }x,
\]
则称其以 \(2l\) 为周期。Fourier 级数的三角函数项也都具有这一周期。

借助 Euler 公式
\[
  e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,
\]
完整 Fourier 级数可写成复形式
\begin{equation}
  \phi(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}
  c_n e^{in\pi x/l},
\end{equation}
其中
\begin{equation}
  c_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}
  \phi(x)e^{-in\pi x/l}\dd x,
  \qquad n\in\mathbb Z .
\end{equation}
复形式与实形式完全等价；若 \(\phi\) 为实值函数，则 \(c_{-n}=\overline{c_n}\)。

\section{正交性与一般 Fourier 级数}

第 5.1 节的计算核心是正交性。若函数 \(u,v\) 定义在区间 \((a,b)\) 上，定义内积
\[
  (u,v)=\int_a^b u(x)v(x)\dd x .
\]
若 \((u,v)=0\)，则称 \(u\) 与 \(v\) 正交。函数的长度或范数定义为
\[
  \|u\|=\sqrt{(u,u)}
  =
  \left(\int_a^b |u(x)|^2\dd x\right)^{1/2}.
\]

设 \(\{w_n\}\) 是一组两两正交且非零的函数。若希望把 \(\phi\) 展开为
\[
  \phi(x)=\sum_n c_n w_n(x),
\]
则两边同 \(w_m\) 作内积，正交性给出
\[
  (\phi,w_m)=c_m(w_m,w_m).
\]
因此
\begin{equation}
  c_m=\frac{(\phi,w_m)}{(w_m,w_m)}.
\end{equation}
这就是所有 Fourier 系数公式的统一来源。

在带权问题中也会出现带权内积
\[
  (u,v)_r=\int_a^b u(x)v(x)r(x)\dd x,
\]
其中 \(r(x)>0\) 是权函数。只要特征函数相对于该内积正交，系数公式仍然是
\[
  c_m=\frac{(\phi,w_m)_r}{(w_m,w_m)_r}.
\]

\section{完备性}

正交性只告诉我们若展开存在，则系数应当如何求；完备性回答展开是否足以表示给定函数，以及级数是否收敛到该函数。以下是本书在此处使用的基本收敛事实。

若 \(\phi\) 在适当意义下分段光滑，则其 Fourier 级数在每个连续点收敛到 \(\phi(x)\)，在跳跃点收敛到左右极限的平均值：
\[
  \frac12\bigl(\phi(x+)+\phi(x-)\bigr).
\]
对区间 \((0,l)\) 上的 sine 级数或 cosine 级数，应当理解为先作奇延拓或偶延拓，再使用完整 Fourier 级数的收敛结论。

均方意义下，Fourier 级数收敛得更一般。若 \(\phi\) 平方可积，则其 Fourier 级数的部分和 \(S_N\) 满足
\[
  \lim_{N\to\infty}
  \int |\phi(x)-S_N(x)|^2\dd x=0.
\]
这称为均方收敛。相应的 Parseval 等式表明函数能量等于其 Fourier 系数能量之和。例如在完整 Fourier 级数中，
\[
  \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}|\phi(x)|^2\dd x
  =
  \frac12 A_0^2+
  \sum_{n=1}^{\infty}(A_n^2+B_n^2),
\]
在相应归一化下也可写成复系数形式
\[
  \int_{-l}^{l}|\phi(x)|^2\dd x
  =
  2l\sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n|^2.
\]
这些定理的证明在第 5.5 节给出；本书在求解边值问题时主要使用其结论。

\chapter{调和函数}

本章专门讨论 Laplace 方程。先介绍两个重要性质：最大值原理与旋转不变性。然后在矩形、圆及相关区域中用级数形式求解方程。圆盘情形导出优美的 Poisson 公式。

\section{Laplace 方程}

若扩散过程或波动过程是定常的，即与时间无关，则 \(u_t\equiv0\) 且 \(u_{tt}\equiv0\)。于是扩散方程与波方程都化为 Laplace 方程：
\[
  u_{xx}=0\qquad\text{一维},
\]
\[
  \nabla\cdot\nabla u=\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0
  \qquad\text{二维},
\]
\[
  \nabla\cdot\nabla u=\Delta u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0
  \qquad\text{三维}.
\]
Laplace 方程的解称为调和函数。一维时只有 \(u(x)=A+Bx\)，这过于简单，不能显示高维情形的结构。非齐次方程
\begin{equation}
  \Delta u=f
\end{equation}
称为 Poisson 方程。

除定常扩散与定常波外，Laplace 与 Poisson 方程还出现在以下情形中。

\begin{enumerate}
  \item \textbf{静电学。} 由 Maxwell 方程有 \(\curl E=0\)、\(\diver E=4\pi\rho\)，其中 \(\rho\) 是电荷密度。第一式推出 \(E=-\grad\phi\)，其中 \(\phi\) 是电势。因此
  \[
    \Delta\phi=\diver(\grad\phi)=-\diver E=-4\pi\rho,
  \]
  即 Poisson 方程。
  \item \textbf{定常流体。} 若流体无旋，即 \(\curl v=0\)，且不可压、无源无汇，即 \(\diver v=0\)，则 \(v=-\grad\phi\)，其中 \(\phi\) 是速度势，并且 \(\Delta\phi=0\)。
  \item \textbf{复变解析函数。} 令 \(z=x+iy\)，
  \[
    f(z)=u(z)+iv(z)=u(x+iy)+iv(x+iy).
  \]
  若 \(f\) 可展开为 \(z\) 的幂级数，则形式求导给出 Cauchy--Riemann 方程
  \[
    u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.
  \]
  再求导可得 \(u_{xx}=v_{yx}=v_{xy}=-u_{yy}\)，故 \(\Delta u=0\)；同理 \(\Delta v=0\)。因此解析函数的实部和虚部都是调和函数。
  \item \textbf{Brown 运动。} 设容器 \(D\) 中粒子完全随机运动，碰到边界后停止。将边界分为 \(C_1\) 与 \(C_2\)。令 \(u(x,y,z)\) 表示从点 \((x,y,z)\) 出发的粒子最终停在 \(C_1\) 上的概率，则
  \[
    \Delta u=0\quad\text{in }D,\qquad
    u=1\text{ on }C_1,\qquad
    u=0\text{ on }C_2.
  \]
\end{enumerate}

\begin{figuremark}{图 1：原书此处给出 Brown 运动容器边界分为 \(C_1,C_2\) 的示意图。}
\end{figuremark}

基本数学问题是在区域 \(D\) 中解
\[
  \Delta u=f\quad\text{in }D,
\]
并在 \(\bdy D\) 上给定
\[
  u=h,\qquad
  \frac{\partial u}{\partial n}=h,
  \qquad\text{或}\qquad
  \frac{\partial u}{\partial n}+au=h.
\]

\subsection*{最大值原理}
\addcontentsline{toc}{subsection}{最大值原理}

设 \(D\) 是二维或三维空间中的有界连通开集。若 \(u\) 在 \(D\) 内调和，并在闭包 \(\overline D=D\cup\bdy D\) 上连续，则 \(u\) 的最大值与最小值都在边界 \(\bdy D\) 上取得；除非 \(u\equiv\text{常数}\)，否则它们不在内部取得。

换言之，存在边界点 \(x_M,x_m\in\bdy D\)，使得
\begin{equation}
  u(x_m)\leq u(x)\leq u(x_M),
  \qquad x\in\overline D .
\end{equation}

\begin{figuremark}{图 2：原书此处给出最大值点与最小值点位于边界的示意图。}
\end{figuremark}

证明的思想如下。取 \(\varepsilon>0\)，令
\[
  v(x)=u(x)+\varepsilon |x|^2.
\]
在二维中
\[
  \Delta v=\Delta u+\varepsilon\Delta(x^2+y^2)=4\varepsilon>0.
\]
若 \(v\) 在内部有最大点，则二阶导数判别给出 \(\Delta v\leq0\)，矛盾。因此 \(v\) 的最大值只能在边界取得。设最大点为 \(x_0\in\bdy D\)，则对所有 \(x\in D\)，
\[
  u(x)\leq v(x)\leq v(x_0)
  =u(x_0)+\varepsilon |x_0|^2
  \leq \max_{\bdy D}u+\varepsilon l^2,
\]
其中 \(l\) 是边界到原点的最大距离。令 \(\varepsilon\downarrow0\) 得
\[
  u(x)\leq \max_{\bdy D}u.
\]
最小值的情形类似。

最大值原理立即给出 Dirichlet 问题的唯一性。若 \(u,v\) 都满足
\[
  \Delta u=f,\quad u=h\text{ on }\bdy D,
  \qquad
  \Delta v=f,\quad v=h\text{ on }\bdy D,
\]
令 \(w=u-v\)，则 \(\Delta w=0\) 且 \(w=0\) 于 \(\bdy D\)。由最大值原理，\(w\equiv0\)，故 \(u\equiv v\)。

\subsection*{二维中的不变性}
\addcontentsline{toc}{subsection}{二维中的不变性}

Laplace 方程在刚体运动下不变。平面旋转
\begin{equation}
  x'=x\cos\alpha+y\sin\alpha,
  \qquad
  y'=-x\sin\alpha+y\cos\alpha
\end{equation}
下，由链式法则可得
\[
  u_{xx}+u_{yy}=u_{x'x'}+u_{y'y'}.
\]
因此 Laplace 算子没有优先方向，是各向同性物理情形的数学模型。

在极坐标
\[
  x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta
\]
中，二维 Laplace 算子为
\begin{equation}
  \Delta_2
  =
  \frac{\partial^2}{\partial x^2}
  +\frac{\partial^2}{\partial y^2}
  =
  \frac{\partial^2}{\partial r^2}
  +\frac1r\frac{\partial}{\partial r}
  +\frac1{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}.
\end{equation}
若调和函数只依赖于 \(r\)，则满足
\[
  u_{rr}+\frac1r u_r=0,
  \qquad (ru_r)_r=0,
\]
故
\[
  u=c_1\log r+c_2.
\]
函数 \(\log r\) 后面会起核心作用。

\subsection*{三维中的不变性}
\addcontentsline{toc}{subsection}{三维中的不变性}

三维 Laplace 算子在空间刚体运动下也不变。任意旋转可写作 \(x'=Bx\)，其中 \(B\) 为正交矩阵。由于 \(B^tB=I\)，链式法则给出
\[
  \Delta u=u_{x'x'}+u_{y'y'}+u_{z'z'}.
\]

三维球坐标取
\[
  r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\qquad
  x=r\sin\theta\cos\phi,\quad
  y=r\sin\theta\sin\phi,\quad
  z=r\cos\theta .
\]
\begin{figuremark}{图 3：原书此处给出球坐标 \((r,\theta,\phi)\) 的示意图。}
\end{figuremark}
三维 Laplace 算子为
\begin{equation}
  \Delta_3u
  =
  u_{rr}+\frac2r u_r
  +\frac1{r^2}
  \left(u_{\theta\theta}+(\cot\theta)u_\theta
  +\frac1{\sin^2\theta}u_{\phi\phi}\right),
\end{equation}
也可写为
\begin{equation}
  \Delta_3=
  \frac{\partial^2}{\partial r^2}
  +\frac2r\frac{\partial}{\partial r}
  +\frac1{r^2\sin\theta}
  \frac{\partial}{\partial\theta}
  \left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)
  +\frac1{r^2\sin^2\theta}
  \frac{\partial^2}{\partial\phi^2}.
\end{equation}
若函数只依赖于 \(r\)，则
\[
  u_{rr}+\frac2r u_r=0,
  \qquad (r^2u_r)_r=0,
\]
故
\[
  u=-c_1r^{-1}+c_2.
\]
因此 \(1/r=(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}\) 是三维中对应于二维 \(\log r\) 的基本调和函数，不过它在原点无穷大。

\section{矩形与长方体}

特殊几何区域可用分离变量法求解。一般步骤与第 4 章相同：
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item 寻找偏微分方程的分离变量解；
  \item 先代入齐次边界条件，得到特征值；
  \item 将这些分离解求和；
  \item 最后代入非齐次初始条件或边界条件。
\end{enumerate}
顺序很重要：齐次边界条件先处理，非齐次边界条件最后处理。

考虑矩形
\[
  D=\{0<x<a,\ 0<y<b\},
\]
中的方程
\begin{equation}
  \Delta_2u=u_{xx}+u_{yy}=0.
\end{equation}

\begin{figuremark}{图 1：原书此处给出矩形四边上的边界数据 \(g,h,j,k\)。}
\end{figuremark}

\begin{examplebox}{例 1}
若四边边界数据记为 \((g,h,j,k)\)，线性性使解可写为四个问题的和。为简化，设其中三边数据为零，只保留 \(u(x,b)=g(x)\) 这一非齐次条件。

令 \(u(x,y)=X(x)Y(y)\)。由
\[
  \frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}=0
\]
得
\[
  X''+\lambda X=0,\qquad
  Y''-\lambda Y=0.
\]
齐次条件给出
\begin{equation}
  \lambda_n=\beta_n^2
  =
  \left(n+\frac12\right)^2\frac{\pi^2}{a^2},
  \qquad n=0,1,2,\ldots,
\end{equation}
\begin{equation}
  X_n(x)=\sin\frac{(n+\frac12)\pi x}{a}.
\end{equation}
对 \(y\) 变量，齐次 Robin 条件 \(Y'(0)+Y(0)=0\) 使
\[
  Y(y)=\beta_n\cosh\beta_n y-\sinh\beta_n y.
\]
因此
\begin{equation}
  u(x,y)=\sum_{n=0}^{\infty}
  A_n\sin\beta_n x\,
  \bigl(\beta_n\cosh\beta_n y-\sinh\beta_n y\bigr).
\end{equation}
代入 \(u(x,b)=g(x)\)，得到 Fourier 级数系数
\begin{equation}
  A_n=\frac{2}{a}
  \bigl(\beta_n\cosh\beta_n b-\sinh\beta_n b\bigr)^{-1}
  \int_0^a g(x)\sin\beta_n x\dd x .
\end{equation}
\end{examplebox}

\begin{figuremark}{图 2：原书此处给出例 1 简化后只有一边非齐次的矩形边界条件。}
\end{figuremark}

\begin{examplebox}{例 2}
同样方法适用于三维盒子。考虑立方体
\[
  D=\{0<x<\pi,\ 0<y<\pi,\ 0<z<\pi\},
\]
中的 Dirichlet 问题
\[
  \Delta_3u=0,\qquad u(\pi,y,z)=g(y,z),
\]
其余五个面上 \(u=0\)。设
\[
  u=X(x)Y(y)Z(z).
\]
齐次边界条件给出
\[
  Y(y)=\sin my,\qquad Z(z)=\sin nz,
  \qquad m,n=1,2,\ldots,
\]
而
\[
  X''=(m^2+n^2)X,\qquad X(0)=0.
\]
因此
\begin{equation}
  u(x,y,z)=
  \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}
  A_{mn}\sinh\!\left(\sqrt{m^2+n^2}\,x\right)
  \sin my\sin nz .
\end{equation}
代入 \(x=\pi\) 上的非齐次条件，得到双重 Fourier sine 级数。由于
\[
  \int_0^\pi\int_0^\pi
  (\sin my\sin nz)^2\dd y\dd z
  =\frac{\pi^2}{4},
\]
系数为
\begin{equation}
  A_{mn}=
  \frac{4}{\pi^2\sinh(\sqrt{m^2+n^2}\,\pi)}
  \int_0^\pi\int_0^\pi
  g(y,z)\sin my\sin nz\dd y\dd z .
\end{equation}
\end{examplebox}

\section{Poisson 公式}

圆盘的 Dirichlet 问题更有趣。考虑半径为 \(a\) 的圆盘
\[
  x^2+y^2<a^2
\]
中的问题
\begin{equation}
  u_{xx}+u_{yy}=0,\qquad
  u=h(\theta)\quad\text{on }x^2+y^2=a^2.
\end{equation}
在极坐标中令 \(u=R(r)\Theta(\theta)\)。由
\[
  \Delta u=u_{rr}+\frac1r u_r+\frac1{r^2}u_{\theta\theta}
\]
得到
\begin{equation}
  \Theta''+\lambda\Theta=0,
  \qquad
  r^2R''+rR'-\lambda R=0.
\end{equation}

\begin{figuremark}{图 1：原书此处给出圆盘及极坐标分离变量的示意图。}
\end{figuremark}

角变量满足周期条件 \(\Theta(\theta+2\pi)=\Theta(\theta)\)，故
\[
  \lambda=n^2,\qquad
  \Theta(\theta)=A\cos n\theta+B\sin n\theta,
  \qquad n=1,2,\ldots,
\]
并且有 \(n=0\) 的常数解。径向方程为 Euler 方程，给出 \(R=r^n\) 与 \(R=r^{-n}\)，而 \(n=0\) 时有 \(1\) 与 \(\log r\)。由于圆心 \(r=0\) 要求解有限，舍去 \(r^{-n}\) 与 \(\log r\)。于是
\begin{equation}
  u(r,\theta)=\frac12A_0+
  \sum_{n=1}^{\infty}
  r^n(A_n\cos n\theta+B_n\sin n\theta).
\end{equation}
由边界条件 \(r=a\)，\(h(\theta)\) 是完整 Fourier 级数，故
\begin{equation}
  A_n=\frac{1}{\pi a^n}\int_0^{2\pi}
  h(\phi)\cos n\phi\dd\phi,
  \qquad
  B_n=\frac{1}{\pi a^n}\int_0^{2\pi}
  h(\phi)\sin n\phi\dd\phi .
\end{equation}

将系数代入并求和，可得 Poisson 公式
\begin{equation}
  u(r,\theta)=
  \int_0^{2\pi}
  \frac{a^2-r^2}{a^2-2ar\cos(\theta-\phi)+r^2}
  h(\phi)\frac{\dd\phi}{2\pi}.
\end{equation}
\begin{figuremark}{图 2：原书此处给出点 \(x\)、边界点 \(x'\) 与夹角的几何示意图。}
\end{figuremark}
几何地写，若 \(x\) 是圆盘内点，\(x'\) 是边界点，则
\begin{equation}
  u(x)=
  \frac{a^2-|x|^2}{2\pi a}
  \int_{|x'|=a}
  \frac{u(x')}{|x-x'|^2}\dd s' .
\end{equation}

精确陈述如下：若 \(h\) 是圆周 \(C=\bdy D\) 上任意连续函数，则 Poisson 公式给出 \(D\) 中唯一的调和函数，并且
\begin{equation}
  \lim_{x\to x_0}u(x)=h(x_0),
  \qquad x_0\in C.
\end{equation}

\subsection*{平均值性质、最大值原理与可微性}
\addcontentsline{toc}{subsection}{平均值性质、最大值原理与可微性}

若 \(u\) 在圆盘 \(D\) 中调和，并在闭圆盘上连续，则 \(u\) 在圆心处的值等于 \(u\) 在圆周上的平均值。事实上，在 Poisson 公式中取 \(r=0\) 即得
\[
  u(0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}h(\phi)\dd\phi.
\]

由平均值性质可得强最大值原理。若 \(u\) 在连通区域 \(D\) 内调和，并在内部点 \(x_M\) 取得最大值 \(M\)，则取完全包含于 \(D\) 的小圆，以 \(x_M\) 为圆心。平均值等于中心值，而圆周上值均不超过 \(M\)，故圆周上处处等于 \(M\)。移动圆心并利用连通性，可推出 \(u\equiv M\)。

\begin{figuremark}{图 3：原书此处给出用圆盘传播最大值的示意图。}
\end{figuremark}

Poisson 公式还说明调和函数在区域内部自动具有任意阶偏导数。因为公式中的核对内部点 \(x\) 可任意阶求导，且可在积分号下求导。因此调和函数具有无限可微性。

\section{圆、楔形区域与环形区域}

在边界由同心圆和射线组成的区域中，极坐标分离变量法仍然有效。本节处理：
\[
  \text{楔形区域 } \{0<\theta<\theta_0,\ 0<r<a\},
\]
\[
  \text{环形区域 } \{0<a<r<b\},
\]
\[
  \text{圆外区域 } \{a<r<\infty\}.
\]

\begin{examplebox}{例 1：楔形区域}
考虑三条边为 \(\theta=0,\theta=\beta,r=a\) 的楔形区域，在直边上取齐次 Dirichlet 条件，在圆弧边上取非齐次 Neumann 条件：
\begin{equation}
  u(r,0)=0=u(r,\beta),
  \qquad
  \frac{\partial u}{\partial r}(a,\theta)=h(\theta).
\end{equation}
\begin{figuremark}{图 1：原书此处给出楔形区域示意图。}
\end{figuremark}
角向特征值问题为
\[
  \Theta''+\lambda\Theta=0,
  \qquad
  \Theta(0)=\Theta(\beta)=0,
\]
故
\[
  \lambda=\left(\frac{n\pi}{\beta}\right)^2,
  \qquad
  \Theta(\theta)=\sin\frac{n\pi\theta}{\beta}.
\]
舍去在原点无穷大的负幂项，得到
\begin{equation}
  u(r,\theta)=
  \sum_{n=1}^{\infty}
  A_n r^{n\pi/\beta}\sin\frac{n\pi\theta}{\beta}.
\end{equation}
由圆弧上的 Neumann 条件，
\[
  h(\theta)=
  \sum_{n=1}^{\infty}
  A_n\frac{n\pi}{\beta}
  a^{-1+n\pi/\beta}
  \sin\frac{n\pi\theta}{\beta}.
\]
于是
\begin{equation}
  A_n=
  a^{1-n\pi/\beta}
  \frac{2}{n\pi}
  \int_0^\beta
  h(\theta)\sin\frac{n\pi\theta}{\beta}\dd\theta .
\end{equation}
\end{examplebox}

\begin{examplebox}{例 2：环形区域}
环形区域的 Dirichlet 问题为
\[
  u_{xx}+u_{yy}=0\quad\text{in }0<a^2<x^2+y^2<b^2,
\]
\[
  u=g(\theta)\text{ on }r=a,
  \qquad
  u=h(\theta)\text{ on }r=b.
\]
\begin{figuremark}{图 2：原书此处给出环形区域示意图。}
\end{figuremark}
此时 \(r^{-n}\) 与 \(\log r\) 在环内有限，不能舍去。一般解为
\begin{equation}
  u(r,\theta)=
  \frac12(C_0+D_0\log r)
  +\sum_{n=1}^{\infty}
  (C_nr^n+D_nr^{-n})\cos n\theta
  +\sum_{n=1}^{\infty}
  (A_nr^n+B_nr^{-n})\sin n\theta.
\end{equation}
系数由 \(r=a\) 与 \(r=b\) 上的边界数据决定。
\end{examplebox}

\begin{examplebox}{例 3：圆外区域}
圆外 Dirichlet 问题为
\[
  u_{xx}+u_{yy}=0\quad\text{for }r>a,\qquad
  u=h(\theta)\quad\text{on }r=a,
\]
并要求 \(u\) 当 \(r\to\infty\) 有界。于是舍去 \(r^n\)，保留 \(r^{-n}\)，得到
\begin{equation}
  u(r,\theta)=\frac12A_0+
  \sum_{n=1}^{\infty}
  r^{-n}(A_n\cos n\theta+B_n\sin n\theta).
\end{equation}
\begin{figuremark}{图 3：原书此处给出圆外区域示意图。}
\end{figuremark}
边界条件给出
\[
  A_n=\frac{a^n}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(\theta)\cos n\theta\dd\theta,
  \qquad
  B_n=\frac{a^n}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(\theta)\sin n\theta\dd\theta.
\]
该级数也可求和，得到圆外 Poisson 公式
\begin{equation}
  u(r,\theta)=
  \int_0^{2\pi}
  \frac{r^2-a^2}{a^2-2ar\cos(\theta-\phi)+r^2}
  h(\phi)\frac{\dd\phi}{2\pi},
  \qquad r>a.
\end{equation}
\end{examplebox}

\chapter{Green 恒等式与 Green 函数}

Laplace 算子的 Green 恒等式直接导向最大值原理与关于能量极小化的 Dirichlet 原理。Green 函数是一种区域内调和函数的“通用解”；其他调和函数都可由它表示。与反射法结合后，Green 函数能非常直接地求解某些特殊几何中的边值问题。

\section{Green 第一恒等式}

本章大量使用散度定理与向量记号。在三维中
\[
  \grad f=\nabla f=(f_x,f_y,f_z),
  \qquad
  \diver F=\nabla\cdot F
  =
  \frac{\partial F_1}{\partial x}
  +\frac{\partial F_2}{\partial y}
  +\frac{\partial F_3}{\partial z}.
\]
并且
\[
  \Delta u=\diver\grad u
  =u_{xx}+u_{yy}+u_{zz},
  \qquad
  |\nabla u|^2=u_x^2+u_y^2+u_z^2.
\]
散度定理为
\begin{equation}
  \iiint_D \diver F\dd x
  =
  \iint_{\bdy D}F\cdot n\dd S,
\end{equation}
其中 \(D\) 是有界实体区域，\(n\) 是 \(\bdy D\) 上的外单位法向量。

\begin{figuremark}{图 1：原书此处给出三维区域 \(D\)、边界及外法向量示意图。}
\end{figuremark}

由乘法法则
\[
  (vu_x)_x=v_xu_x+vu_{xx}
\]
及 \(y,z\) 方向对应式，相加得
\[
  \nabla\cdot(v\nabla u)=\nabla v\cdot\nabla u+v\Delta u.
\]
积分并对左端使用散度定理，得到 Green 第一恒等式
\begin{equation}
  \iint_{\bdy D}
  v\frac{\partial u}{\partial n}\dd S
  =
  \iiint_D\nabla v\cdot\nabla u\dd x
  +
  \iiint_D v\Delta u\dd x.
\end{equation}
取 \(v\equiv1\)，得到
\begin{equation}
  \iint_{\bdy D}\frac{\partial u}{\partial n}\dd S
  =
  \iiint_D\Delta u\dd x.
\end{equation}
因此 Neumann 问题
\[
  \Delta u=f\text{ in }D,\qquad
  \frac{\partial u}{\partial n}=h\text{ on }\bdy D
\]
必须满足相容条件
\begin{equation}
  \iint_{\bdy D}h\dd S=\iiint_D f\dd x.
\end{equation}
否则没有解。即使有解，仍可加任意常数，故 Neumann 问题一般不唯一。

\subsection*{三维平均值性质}
\addcontentsline{toc}{subsection}{三维平均值性质}

若 \(u\) 在包含球 \(|x|<a\) 及其边界的区域中调和，则在球面上 \(n=x/r\)，故 \(\partial u/\partial n=\partial u/\partial r\)。由上式得
\[
  \iint_{|x|=a}\frac{\partial u}{\partial r}\dd S=0.
\]
写成球坐标并除以球面积 \(4\pi a^2\)，可得球面平均值关于半径 \(r\) 的导数为零。因此平均值不随 \(r\) 改变。令 \(r\to0\)，得到
\begin{equation}
  \frac{1}{\operatorname{area}(S)}
  \iint_S u\dd S=u(0).
\end{equation}
这就是三维调和函数的平均值性质。由平均值性质可像二维情形一样推出最大值原理。

\subsection*{能量方法与 Dirichlet 原理}
\addcontentsline{toc}{subsection}{能量方法与 Dirichlet 原理}

Dirichlet 问题唯一性也可由能量法证明。若 \(u\) 调和且 \(u=0\) 于 \(\bdy D\)，在 Green 第一恒等式中取 \(v=u\)，得
\[
  \iint_{\bdy D}u\frac{\partial u}{\partial n}\dd S
  =
  \iiint_D|\nabla u|^2\dd x.
\]
左端为零，故 \(\nabla u\equiv0\)。若 \(D\) 连通，则 \(u\) 为常数，又因边界上为零，故 \(u\equiv0\)。

Dirichlet 原理说：在所有满足边界条件
\[
  w=h(x)\quad\text{on }\bdy D
\]
的函数中，使能量
\begin{equation}
  E[w]=\frac12\iiint_D|\nabla w|^2\dd x
\end{equation}
最小者，正是满足同一边界条件的调和函数 \(u\)。证明如下。令 \(v=u-w\)，则 \(v=0\) 于 \(\bdy D\)，并且
\[
  E[w]=\frac12\iiint_D|\nabla(u-v)|^2\dd x
  =
  E[u]-\iiint_D\nabla u\cdot\nabla v\dd x+E[v].
\]
由 Green 第一恒等式，因 \(v=0\) 于边界且 \(\Delta u=0\)，中间项为零。因此
\[
  E[w]=E[u]+E[v]\geq E[u].
\]

\section{Green 第二恒等式}

Green 第一恒等式中的中间项 \(\iiint_D\nabla u\cdot\nabla v\dd x\) 在交换 \(u,v\) 后不变。将两式相减，得到 Green 第二恒等式：
\begin{equation}
  \iiint_D(u\Delta v-v\Delta u)\dd x
  =
  \iint_{\bdy D}
  \left(
  u\frac{\partial v}{\partial n}
  -v\frac{\partial u}{\partial n}
  \right)\dd S.
\end{equation}
若边界条件使右端对任意满足条件的 \(u,v\) 都为零，则称该边界条件对 \(\Delta\) 是对称的。Dirichlet、Neumann 与 Robin 三类经典边界条件都是对称的。

\subsection*{表示公式}
\addcontentsline{toc}{subsection}{表示公式}

若 \(\Delta u=0\) 于 \(D\)，则对 \(x_0\in D\)，有三维表示公式
\begin{equation}
  u(x_0)=
  \iint_{\bdy D}
  \left[
  -u(x)\frac{\partial}{\partial n}
  \left(\frac{1}{|x-x_0|}\right)
  +\frac{1}{|x-x_0|}
  \frac{\partial u}{\partial n}
  \right]
  \frac{\dd S}{4\pi}.
\end{equation}
这里出现的正是第 6.1 节中的基本径向解 \(r^{-1}\)，只是平移到了点 \(x_0\)。

证明的要点是：在 Green 第二恒等式中取
\[
  v(x)=-\frac{1}{4\pi|x-x_0|}.
\]
由于 \(v\) 在 \(x_0\) 奇异，不能直接在整个 \(D\) 上使用恒等式，而要先从 \(D\) 中挖去以 \(x_0\) 为中心、半径为 \(\varepsilon\) 的小球，再令 \(\varepsilon\to0\)。小球边界上的积分极限给出 \(u(x_0)\)。

\begin{figuremark}{图 1：原书此处给出从区域 \(D\) 中挖去 \(x_0\) 附近小球的示意图。}
\end{figuremark}

二维对应公式为
\begin{equation}
  u(x_0)=\frac{1}{2\pi}
  \int_{\bdy D}
  \left[
  u(x)\frac{\partial}{\partial n}\log|x-x_0|
  -
  \frac{\partial u}{\partial n}\log|x-x_0|
  \right]\dd s.
\end{equation}

\section{Green 函数}

现在用 Green 恒等式研究 Dirichlet 问题。表示公式中用到函数 \(-1/(4\pi|x-x_0|)\) 的两个性质：除 \(x_0\) 外调和，并且在 \(x_0\) 有特定奇性。目标是修改这个函数，使表示公式中的一项消失；修改后的函数称为区域 \(D\) 的 Green 函数。

给定 \(x_0\in D\)，算子 \(-\Delta\) 在区域 \(D\) 中的 Green 函数 \(G(x,x_0)\) 满足：
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item 除 \(x=x_0\) 外，\(G\) 有连续二阶偏导，且 \(\Delta G=0\)；
  \item \(G(x,x_0)=0\) 于 \(x\in\bdy D\)；
  \item \(G(x,x_0)+1/(4\pi|x-x_0|)\) 在 \(x_0\) 有限、二阶连续，并在 \(x_0\) 调和。
\end{enumerate}
Green 函数存在且唯一。

若 \(G(x,x_0)\) 是 Green 函数，则 Dirichlet 问题的解满足
\begin{equation}
  u(x_0)=
  \iint_{\bdy D}
  u(x)\frac{\partial G(x,x_0)}{\partial n}\dd S.
\end{equation}
证明方法是将
\[
  G(x,x_0)=-\frac{1}{4\pi|x-x_0|}+H(x)
\]
代入表示公式，并对调和函数 \(H\) 使用 Green 第二恒等式；由于 \(G=0\) 于边界，含 \(\partial u/\partial n\) 的项消失。

Green 函数具有对称性：
\begin{equation}
  G(x,x_0)=G(x_0,x),\qquad x\ne x_0.
\end{equation}
证明是在挖去两个小球的区域上，对 \(G(x,a)\) 与 \(G(x,b)\) 应用 Green 第二恒等式，再令两小球半径趋于零。

\begin{figuremark}{图 1：原书此处给出为证明 Green 函数对称性而挖去点 \(a,b\) 附近小球的示意图。}
\end{figuremark}

Green 函数还可解 Poisson 方程。若
\[
  \Delta u=f\quad\text{in }D,\qquad
  u=h\quad\text{on }\bdy D,
\]
则
\begin{equation}
  u(x_0)=
  \iint_{\bdy D}
  h(x)\frac{\partial G(x,x_0)}{\partial n}\dd S
  +
  \iiint_D f(x)G(x,x_0)\dd x.
\end{equation}

\section{半空间与球}

本节将 Green 函数与反射法结合，求解半空间和球中的调和函数。

\subsection*{半空间}
\addcontentsline{toc}{subsection}{半空间}

令半空间
\[
  D=\{z>0\}
\]
位于 \(xy\) 平面上方。点 \(x=(x,y,z)\) 关于边界平面的反射点为 \(x^*=(x,y,-z)\)。对固定点 \(x_0=(x_0,y_0,z_0)\in D\)，其反射点为 \(x_0^*=(x_0,y_0,-z_0)\)。

\begin{figuremark}{图 1：原书此处给出半空间 \(z>0\) 与反射点。}
\end{figuremark}
\begin{figuremark}{图 2：原书此处说明边界点到 \(x_0\) 与 \(x_0^*\) 距离相等。}
\end{figuremark}

半空间的 Green 函数为
\begin{equation}
  G(x,x_0)=
  -\frac{1}{4\pi|x-x_0|}
  +\frac{1}{4\pi|x-x_0^*|}.
\end{equation}
它在边界 \(z=0\) 上为零，因为此时 \(|x-x_0|=|x-x_0^*|\)。用它求解 Dirichlet 问题
\[
  \Delta u=0\quad\text{for }z>0,\qquad
  u(x,y,0)=h(x,y),
\]
注意外法向向下，所以 \(\partial G/\partial n=-\partial G/\partial z\) 于 \(z=0\)。计算得
\[
  -\frac{\partial G}{\partial z}
  =
  \frac{1}{2\pi}\frac{z_0}{|x-x_0|^3}
  \qquad (z=0).
\]
因此
\begin{equation}
  u(x_0,y_0,z_0)=
  \frac{z_0}{2\pi}
  \iint_{\mathbb R^2}
  \frac{h(x,y)}
  {\bigl[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+z_0^2\bigr]^{3/2}}
  \dd x\dd y.
\end{equation}
向量形式为
\begin{equation}
  u(x_0)=
  \frac{z_0}{2\pi}
  \iint_{\bdy D}
  \frac{h(x)}{|x-x_0|^3}\dd S.
\end{equation}

\subsection*{球}
\addcontentsline{toc}{subsection}{球}

设 \(D=\{|x|<a\}\)。对 \(0<|x_0|<a\)，反射点 \(x_0^*\) 与 \(0,x_0\) 共线，并由
\[
  |x_0|\,|x_0^*|=a^2
\]
确定，即
\begin{equation}
  x_0^*=\frac{a^2x_0}{|x_0|^2}.
\end{equation}

\begin{figuremark}{图 3：原书此处给出球面反射点 \(x_0^*\)。}
\end{figuremark}

记
\[
  \rho=|x-x_0|,\qquad \rho^*=|x-x_0^*|.
\]
球的 Green 函数为
\begin{equation}
  G(x,x_0)=
  -\frac{1}{4\pi\rho}
  +\frac{a}{|x_0|}\frac{1}{4\pi\rho^*}.
\end{equation}
当 \(|x|=a\) 时，有
\[
  \frac{|x_0|}{a}\rho^*=\rho,
\]
所以 \(G=0\) 于球面。

\begin{figuremark}{图 4：原书此处用相似三角形证明边界上 \(\rho^*\) 与 \(\rho\) 成比例。}
\end{figuremark}

若 \(x_0=0\)，Green 函数为
\begin{equation}
  G(x,0)=
  -\frac{1}{4\pi|x|}
  +\frac{1}{4\pi a}.
\end{equation}

对球中 Dirichlet 问题
\[
  \Delta u=0\quad\text{in }|x|<a,
  \qquad
  u=h\quad\text{on }|x|=a,
\]
计算边界法向导数得到
\[
  \frac{\partial G}{\partial n}
  =
  \frac{a^2-|x_0|^2}{4\pi a\,|x-x_0|^3}
  \qquad (|x|=a).
\]
于是三维 Poisson 公式为
\begin{equation}
  u(x_0)=
  \frac{a^2-|x_0|^2}{4\pi a}
  \iint_{|x|=a}
  \frac{h(x)}{|x-x_0|^3}\dd S.
\end{equation}
用通常球坐标写成
\begin{equation}
  u(r_0,\theta_0,\phi_0)
  =
  \frac{a(a^2-r_0^2)}{4\pi}
  \int_0^{2\pi}\int_0^\pi
  \frac{h(\theta,\phi)\sin\theta}
  {(a^2+r_0^2-2ar_0\cos\psi)^{3/2}}
  \dd\theta\dd\phi,
\end{equation}
其中 \(\psi\) 是 \(x_0\) 与 \(x\) 的夹角。

二维情形可从基本函数 \((1/2\pi)\log r\) 出发，以相同反射法恢复圆盘 Poisson 公式。此时
\begin{equation}
  G(x,x_0)=
  \frac{1}{2\pi}\log\rho
  -
  \frac{1}{2\pi}\log\left(\frac{r_0}{a}\rho^*\right),
\end{equation}
从而得到
\[
  u(x_0)=
  \frac{a^2-|x_0|^2}{2\pi a}
  \int_{|x|=a}\frac{h(x)}{|x-x_0|^2}\dd s,
\]
这正是第 6.3 节所得的 Poisson 公式。

\end{document}
