\documentclass[UTF8,zihao=-4,openany]{ctexbook}

\usepackage[a4paper,top=2.35cm,bottom=2.45cm,left=2.45cm,right=2.45cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,mathtools}
\usepackage{newtxmath}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{array}
\usepackage{microtype}

\definecolor{mainblue}{HTML}{1F4E79}
\definecolor{lightblue}{HTML}{EEF5FB}
\definecolor{deepgreen}{HTML}{2F6B4F}
\definecolor{lightgreen}{HTML}{F1F8F3}
\definecolor{warm}{HTML}{FFF8E8}
\definecolor{softred}{HTML}{FFF1F1}
\definecolor{linegray}{HTML}{D8DEE9}
\definecolor{textgray}{HTML}{555555}

\hypersetup{
  colorlinks=true,
  linkcolor=mainblue,
  urlcolor=mainblue,
  citecolor=mainblue
}

\titleformat{\chapter}{\Huge\bfseries\color{mainblue}}{\thechapter}{0.8em}{}
\titleformat{\section}{\Large\bfseries\color{mainblue}}{\thesection}{0.75em}{}
\titleformat{\subsection}{\large\bfseries\color{black}}{\thesubsection}{0.65em}{}
\titlespacing*{\chapter}{0pt}{-0.5em}{1.2em}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.15em}{0.55em}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{0.85em}{0.35em}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{15pt}
\fancyhead[L]{调和方程 / Laplace 方程自学讲义}
\fancyhead[R]{Evans -- Strauss -- 谷超豪}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}

\setlength{\parindent}{2em}
\setlength{\parskip}{0.32em}
\setlist[itemize]{leftmargin=2em,itemsep=0.25em,topsep=0.25em}
\setlist[enumerate]{leftmargin=2.4em,itemsep=0.25em,topsep=0.25em}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
\newcommand{\pd}{\partial}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\bsnu}{\boldsymbol{\nu}}
\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1\right\rvert}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1\right\rVert}
\newcommand{\inner}[2]{\left\langle #1,#2\right\rangle}
\DeclareMathOperator{\diver}{div}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\trace}{Tr}
\providecommand{\fint}{\mathop{\ooalign{$\int$\cr$-$}}\nolimits}

\newtcolorbox{guidebox}[1]{
  enhanced, breakable,
  colback=warm,
  colframe=orange!60!black,
  title={#1},
  fonttitle=\bfseries,
  boxrule=0.7pt,
  arc=2pt,
  left=1em,right=1em,top=0.6em,bottom=0.6em
}

\newtcolorbox{sourcebox}[1]{
  enhanced, breakable,
  colback=softred,
  colframe=red!45!black,
  title={#1},
  fonttitle=\bfseries,
  boxrule=0.65pt,
  arc=2pt,
  left=1em,right=1em,top=0.55em,bottom=0.55em
}

\newtcbtheorem[number within=chapter]{definition}{定义}{
  enhanced,breakable,
  colback=lightblue,
  colframe=mainblue,
  fonttitle=\bfseries,
  boxrule=0.7pt,
  arc=2pt,
  left=1em,right=1em,top=0.55em,bottom=0.55em
}{def}

\newtcbtheorem[number within=chapter]{theorem}{定理}{
  enhanced,breakable,
  colback=lightgreen,
  colframe=deepgreen,
  fonttitle=\bfseries,
  boxrule=0.7pt,
  arc=2pt,
  left=1em,right=1em,top=0.55em,bottom=0.55em
}{thm}

\newtcbtheorem[number within=chapter]{example}{例题}{
  enhanced,breakable,
  colback=white,
  colframe=linegray,
  coltitle=black,
  fonttitle=\bfseries,
  boxrule=0.7pt,
  arc=2pt,
  left=1em,right=1em,top=0.55em,bottom=0.55em
}{ex}

\newenvironment{solution}{\par\noindent\textbf{解.}}{\hfill$\square$\par}
\newenvironment{proofidea}{\par\noindent\textbf{证明.}}{\hfill$\square$\par}

\begin{document}

\begin{titlepage}
  \centering
  \vspace*{3.0em}
  {\Huge\bfseries 调和方程 / Laplace 方程\par}
  \vspace{0.55em}
  {\LARGE\bfseries 中文自学讲义与期末复习提纲\par}
  \vspace{1.5em}
  {\large 以 Evans 为主线，Strauss 补充计算方法，谷超豪《数学物理方程》补充中文课程体系\par}
  \vfill
  \begin{tcolorbox}[
    enhanced,
    colback=lightblue,
    colframe=mainblue,
    width=0.86\textwidth,
    arc=2pt,
    boxrule=0.7pt
  ]
  \small
  本讲义不是逐句翻译教材，而是按本科生自学和期末复习的顺序重新组织。重要定理后均附“什么时候用”和“怎么用”；例题尽量取自或改写自 Evans《Partial Differential Equations》、Strauss《Partial Differential Equations: An Introduction》以及谷超豪等《数学物理方程》的例题与课后题型。
  \end{tcolorbox}
  \vfill
  {\large \today\par}
\end{titlepage}

\tableofcontents
\clearpage

\chapter*{阅读说明与题目来源}
\addcontentsline{toc}{chapter}{阅读说明与题目来源}
本讲义围绕三个问题展开：
\[
  \text{模型从哪里来？}\qquad
  \text{解有什么性质？}\qquad
  \text{遇到题目怎样算？}
\]
Evans 的主线是调和函数的结构：基本解、平均值公式、极值原理、正则性、Harnack 不等式、Liouville 定理、Green 函数和能量方法。Strauss 的主线是可计算边值问题：矩形、圆盘、Fourier 级数、Poisson 公式、Neumann/Robin 条件。谷超豪《数学物理方程》的课程体例强调第一、第二、第三边值问题、适定性条件、分离变量和 Green 函数法，适合作为中文课程复习框架。

\begin{sourcebox}{题目选取原则}
例题和练习尽量从三本书的典型例题或课后题改写而来：径向壳层、圆盘 Poisson 公式、矩形三边为零一边给定、Neumann 兼容条件、Green 恒等式、Liouville 型题目等。为便于自学，题目叙述会比原题更完整，部分常数和边界数据会作轻微调整；这类题后统一标注“改写自”。
\end{sourcebox}

\section*{怎样用这份讲义自学}
\phantomsection
\addcontentsline{toc}{section}{怎样用这份讲义自学}
如果你是第一次系统学习 Laplace 方程，不建议一上来就背 Green 函数或 Poisson 核。更好的顺序是：
\[
  \text{模型}\longrightarrow
  \text{调和函数的性质}\longrightarrow
  \text{基本解和表示公式}\longrightarrow
  \text{具体区域计算}\longrightarrow
  \text{弱解和能量法}.
\]
每一步对应一个核心问题：
\begin{enumerate}
  \item \textbf{模型：} 为什么稳态问题会出现 $\Delta u=0$ 或 $-\Delta u=f$？
  \item \textbf{性质：} 如果一个函数调和，它在内部能不能乱长？最大值在哪里？是否光滑？
  \item \textbf{表示：} 能不能把解写成“源项贡献 + 边界贡献”的叠加？
  \item \textbf{计算：} 圆盘、矩形、球壳这些标准区域怎么显式算？
  \item \textbf{弱解：} 如果解不够光滑，怎样仍然谈论方程和边界条件？
\end{enumerate}

\begin{guidebox}{最低预备知识}
阅读本讲义前最好熟悉以下内容：多元函数偏导数、梯度和散度；二重积分和三重积分；Gauss 公式或散度定理；一元常微分方程；Fourier 正弦、余弦级数的基本展开。Sobolev 空间只需要先知道“函数和一阶弱导数平方可积”这个直观含义即可。
\end{guidebox}

\begin{guidebox}{复习时的三张卡片}
\textbf{性质卡：} 平均值公式、极值原理、比较原理、Harnack、Liouville、正则性。\\
\textbf{公式卡：} 基本解、Newton 势、Green 恒等式、Green 表示公式、Poisson 核。\\
\textbf{计算卡：} 径向化、圆盘 Fourier 模式 $r^n$、矩形分离变量、Neumann 兼容条件、弱形式。
\end{guidebox}

\chapter{Laplace 方程和 Poisson 方程的来源}

\section{基本符号}
设 $\Omega\subset\R^n$ 为开集，边界记为 $\pd\Omega$。未知函数为
\[
  u:\Omega\to\R,\qquad x=(x_1,\dots,x_n).
\]
若 $u$ 二阶连续可微，定义 Laplace 算子
\[
  \Delta u=\sum_{i=1}^n u_{x_ix_i}.
\]
梯度记为 $Du=(u_{x_1},\dots,u_{x_n})$。若 $\pd\Omega$ 足够光滑，$\bsnu$ 表示单位外法向量，法向导数为
\[
  \frac{\pd u}{\pd\bsnu}=Du\cdot\bsnu.
\]

\section{稳态热传导}
令 $u(x)$ 表示温度，$q(x)$ 表示热流密度。Fourier 定律写作
\[
  q=-kDu,\qquad k>0.
\]
负号表示热量从高温处流向低温处。若没有内部热源，稳态意味着任意体积元中没有热量积累，于是
\[
  \diver q=0.
\]
当 $k$ 为常数时，代入 Fourier 定律得
\[
  -k\Delta u=0,\qquad\text{即}\qquad \Delta u=0.
\]
这就是 Laplace 方程。若存在体热源 $F(x)$，守恒律可写作 $\diver q=F$，从而
\[
  -\Delta u=f,\qquad f=\frac{F}{k}.
\]
这就是 Poisson 方程。这里 $f$ 表示单位导热系数下的热源强度。

\section{静电势与稳态扩散}
在静电学中，电势 $u$ 与电场 $E$ 的关系为
\[
  E=-Du.
\]
Gauss 定律给出
\[
  \diver E=\rho,
\]
其中 $\rho$ 是电荷密度。于是
\[
  -\Delta u=\rho.
\]
若没有电荷，即 $\rho=0$，则电势满足 Laplace 方程。

在稳态扩散中，令 $u$ 表示浓度，通量为 $J=-D_0Du$。无源稳态给出 $\diver J=0$，所以 $\Delta u=0$；有源稳态给出 Poisson 型方程。

\begin{guidebox}{本节核心}
Laplace 方程对应“区域内部没有源”的稳态平衡；Poisson 方程对应“区域内部有源项”的稳态平衡。边界条件描述外界怎样控制系统。
\end{guidebox}

\section{从守恒律到方程：一步一步看}
许多教材会很快写出 $\diver q=0$，但自学时最容易卡在这里。下面把这一步展开。取区域内部任意一个小控制体 $V\Subset\Omega$。若 $q$ 是通量密度，$q\cdot\bsnu$ 表示单位时间穿过边界 $\pd V$、沿外法向流出的量。于是
\[
  \text{单位时间流出 }V\text{ 的总量}
  =\int_{\pd V}q\cdot\bsnu\dd S.
\]
稳态且无内部源时，控制体内部既不积累也不产生该物理量，所以净流出量应为 $0$：
\[
  \int_{\pd V}q\cdot\bsnu\dd S=0
  \qquad(\forall V\Subset\Omega).
\]
由散度定理，
\[
  \int_V\diver q\dd x=0
  \qquad(\forall V\Subset\Omega).
\]
若 $q$ 足够连续，则只能有
\[
  \diver q=0\qquad\text{于 }\Omega.
\]
再把具体物理定律代入，例如 $q=-kDu$，便得到
\[
  \diver(-kDu)=0.
\]
当 $k$ 为常数时，这就是 $\Delta u=0$。若 $k=k(x)$ 随位置变化，则方程变为
\[
  -\diver(k(x)Du)=0,
\]
这是更一般的二阶椭圆方程。Evans 后续椭圆方程理论正是从这个形式推广出去的。

\begin{guidebox}{符号里的物理量}
$u$ 是势函数或密度；$Du$ 指向增长最快方向；$-Du$ 常表示从高值流向低值的流动方向；$\Delta u=\diver(Du)$ 衡量梯度场在一点附近的净发散。调和方程 $\Delta u=0$ 的直观含义是：每个小邻域内流入和流出精确平衡。
\end{guidebox}

\begin{example}{由热源推出 Poisson 方程}{source-derive}
设一块均匀材料占据区域 $\Omega$，温度为 $u(x)$，导热系数为 $k>0$，单位体积单位时间产生的热量为 $F(x)$。写出稳态方程。
\end{example}

\begin{solution}
热流密度为 $q=-kDu$。对任意 $V\Subset\Omega$，稳态时“流出量 = 内部产生量”，即
\[
  \int_{\pd V}q\cdot\bsnu\dd S=\int_VF\dd x.
\]
用散度定理得到
\[
  \int_V\diver q\dd x=\int_VF\dd x.
\]
因为 $V$ 任意，所以 $\diver q=F$。代入 $q=-kDu$：
\[
  -k\Delta u=F,\qquad\text{即}\qquad -\Delta u=\frac{F}{k}.
\]
\end{solution}

\section{Dirichlet、Neumann、Robin 边值问题}
\begin{definition}{三类边界条件}{boundary}
设 $\Omega$ 为有界区域。
\begin{enumerate}
  \item Dirichlet 条件：给定 $u$ 在边界上的值，例如
  \[
    \begin{cases}
      -\Delta u=f, & x\in\Omega,\\
      u=g, & x\in\pd\Omega.
    \end{cases}
  \]
  \item Neumann 条件：给定法向导数，例如
  \[
    \begin{cases}
      -\Delta u=f, & x\in\Omega,\\
      \dfrac{\pd u}{\pd\bsnu}=h, & x\in\pd\Omega.
    \end{cases}
  \]
  \item Robin 条件：给定 $u$ 与法向导数的线性组合，例如
  \[
    \begin{cases}
      -\Delta u=f, & x\in\Omega,\\
      \alpha u+\beta\dfrac{\pd u}{\pd\bsnu}=g, & x\in\pd\Omega.
    \end{cases}
  \]
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{guidebox}{什么时候用，怎么用}
Dirichlet 用于边界温度、电势已知；Neumann 用于边界热流、电通量已知；Robin 用于边界与外界有交换，如 Newton 冷却律。做题时先判断边界条件类型，再选工具：Dirichlet 常配极值原理和 Poisson 公式，Neumann 必先检查兼容条件，Robin 常进入分离变量或能量法。
\end{guidebox}

\section{适定性的三个问题}
边值问题不是只要写出方程就结束。一个完整的数学问题至少要问三件事：
\begin{enumerate}
  \item \textbf{存在性：} 给定 $f,g$ 后，是否真的有解？
  \item \textbf{唯一性：} 如果有解，是否只有一个？
  \item \textbf{稳定性：} 边界数据或源项轻微改变，解是否只轻微改变？
\end{enumerate}
Dirichlet 问题的唯一性通常由极值原理给出；存在性可以由 Poisson 公式、Green 函数、Perron 方法或弱解理论给出。Neumann 问题则必须先满足兼容条件，而且即使有解也只差一个常数。

\begin{sourcebox}{本章自测}
以下问题都来自三本书共同反复出现的模型思想。试在不看后文的情况下回答：\\
1. 为什么 $-\Delta u=f$ 中常写负号？\\
2. 若边界温度固定，应配哪种边界条件？若边界热流固定呢？\\
3. 为什么 Neumann 问题不能任意给定源项和边界通量？\\
4. 若 $k=k(x)$ 非常数，稳态热方程为什么不是简单的 $-k\Delta u=f$？
\end{sourcebox}

\chapter{调和函数的基本性质}

\section{调和函数定义与例子}
\begin{definition}{调和函数}{harmonic}
若 $u\in C^2(\Omega)$ 且
\[
  \Delta u=0\qquad\text{在 }\Omega\text{ 中成立},
\]
则称 $u$ 在 $\Omega$ 中为调和函数。
\end{definition}

\begin{example}{判断函数是否调和}{check1}
判断
\[
  u_1(x,y)=x^2-y^2,\qquad
  u_2(x,y)=x^2+y^2,\qquad
  u_3(x)=\frac1{\abs{x}}\quad (x\in\R^3\setminus\{0\})
\]
是否调和。此题型改写自 Evans 与 Strauss 中关于调和函数定义和径向解的基础练习。
\end{example}

\begin{solution}
$\Delta u_1=2-2=0$，故 $u_1$ 调和；$\Delta u_2=2+2=4$，故 $u_2$ 不调和。对 $u_3$，使用三维径向公式
\[
  \Delta v(r)=v''(r)+\frac2r v'(r).
\]
令 $v(r)=r^{-1}$，则 $v'=-r^{-2},\ v''=2r^{-3}$，所以
\[
  \Delta(r^{-1})=2r^{-3}+\frac2r(-r^{-2})=0\qquad(r>0).
\]
因此 $u_3$ 在 $\R^3\setminus\{0\}$ 中调和，但不能说它在原点调和。
\end{solution}

\begin{guidebox}{题型模板：判断函数是否调和}
先看定义域，再算 $\Delta u$。含 $\abs{x}$ 的函数优先用径向公式
\[
  \Delta v(r)=v''(r)+\frac{n-1}{r}v'(r).
\]
常见陷阱是忽略奇点：$r^{2-n}$ 在 $\R^n\setminus\{0\}$ 中调和，但在 $0$ 附近有奇性。
\end{guidebox}

\subsection*{为什么调和函数很特殊}
一般的二阶方程 $\Delta u=f$ 允许内部源项改变函数形状；调和函数满足 $\Delta u=0$，这相当于每一点都处在局部平衡中。它的一个重要后果是：内部值不是自由的，而是由周围值平均决定。换句话说，调和函数没有“内部孤立峰值”，也没有“内部孤立谷值”。后面的平均值公式和极值原理都是这个思想的精确版本。

\begin{example}{非调和函数为什么会有内部峰}{nonharmonic}
函数 $u(x,y)=1-x^2-y^2$ 在单位圆盘内有内部最大值 $u(0,0)=1$，但它不是调和函数。验证这一点，并说明它为什么不违反极值原理。
\end{example}

\begin{solution}
直接计算
\[
  \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=-2-2=-4\ne0.
\]
因此 $u$ 不是调和函数，极值原理不适用。事实上，$\Delta u<0$ 表明它是严格超调和函数，内部可以出现向下弯出的峰。
\end{solution}

\section{平均值公式}
\begin{theorem}{球面平均值公式}{mean-sphere}
设 $u\in C^2(\Omega)$ 且 $\Delta u=0$。若 $\overline{B(x,r)}\subset\Omega$，则
\[
  u(x)=\fint_{\pd B(x,r)}u(y)\dd S(y).
\]
\end{theorem}

\begin{proofidea}
只证明 $x=0$。令
\[
  \phi(r)=\fint_{\pd B(0,r)}u(y)\dd S(y)
       =\fint_{\pd B(0,1)}u(rz)\dd S(z).
\]
对 $r$ 求导并换回 $\pd B(0,r)$：
\[
  \phi'(r)=\frac{1}{\abs{\pd B(0,r)}}\int_{\pd B(0,r)}
  \frac{\pd u}{\pd\bsnu}\dd S
  =\frac{1}{\abs{\pd B(0,r)}}\int_{B(0,r)}\Delta u\dd y=0.
\]
所以 $\phi(r)$ 为常数。令 $r\to0^+$，由连续性得 $\phi(r)\to u(0)$。
\end{proofidea}

\begin{theorem}{球平均值公式}{mean-ball}
在定理 \ref{thm:mean-sphere} 的条件下，还有
\[
  u(x)=\fint_{B(x,r)}u(y)\dd y.
\]
\end{theorem}

\begin{proofidea}
对球面平均值公式关于半径从 $0$ 到 $r$ 积分：
\[
  \int_{B(x,r)}u(y)\dd y
  =\int_0^r\int_{\pd B(x,\rho)}u(y)\dd S(y)\dd\rho
  =u(x)\int_0^r\abs{\pd B(x,\rho)}\dd\rho
  =u(x)\abs{B(x,r)}.
\]
\end{proofidea}

\begin{guidebox}{什么时候用，怎么用}
当题目给出球面或圆周上的平均、积分、对称边界值时，用平均值公式直接求中心值。证明极值原理、Liouville 定理和 Harnack 不等式时，平均值公式是根部工具。
\end{guidebox}

\subsection*{平均值公式的两个读法}
平均值公式有两个读法。第一是\textbf{计算读法}：如果知道一个球面上的值，就可以求球心值。第二是\textbf{结构读法}：调和函数在任一点的值不能高于周围平均，也不能低于周围平均；如果它在中心已经达到周围的最大值，平均还等于最大值，就迫使周围全部等于最大值。

特别注意，平均值公式只说球心值等于以该点为中心的球面平均，并不说任意内部点都等于整个边界平均。若要求圆盘内任意点的值，通常需要 Poisson 公式。

\begin{example}{平均值公式求点值}{mean-ex}
设 $u$ 在 $\R^2$ 中调和，且在圆周 $x^2+y^2=4$ 上
\[
  u(x,y)=3+x^2-y.
\]
求 $u(0,0)$。此题改写自 Strauss 第 6 章关于圆周平均与调和函数的基础题型。
\end{example}

\begin{solution}
由平均值公式，
\[
  u(0,0)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}
  \left(3+4\cos^2\theta-2\sin\theta\right)\dd\theta
  =3+4\cdot\frac12=5.
\]
\end{solution}

\begin{example}{平均值公式的反向使用}{mean-reverse}
设 $u$ 在包含闭圆盘 $\overline{B(0,1)}$ 的区域内调和，且 $u(0)=0$。若 $u\ge0$ 在 $\pd B(0,1)$ 上成立，证明 $u=0$ 在 $\pd B(0,1)$ 上几乎处处成立。此题改写自 Evans 平均值性质与非负性结合的常见推论。
\end{example}

\begin{solution}
由平均值公式，
\[
  0=u(0)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u(\cos\theta,\sin\theta)\dd\theta.
\]
被积函数在圆周上非负，积分为零，因此它只能处处为零；若只假设可积意义下非负，则得到几乎处处为零。
\end{solution}

\section{极值原理、比较原理与唯一性}
\begin{theorem}{强极值原理}{strong-max}
设 $\Omega$ 有界连通，$u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ 且 $\Delta u=0$。
\[
  \max_{\overline\Omega}u=\max_{\pd\Omega}u,\qquad
  \min_{\overline\Omega}u=\min_{\pd\Omega}u.
\]
若 $u$ 在 $\Omega$ 内部某点达到最大值或最小值，则 $u$ 为常数。
\end{theorem}

\begin{proofidea}
弱结论可由扰动 $u_\eps=u+\eps\abs{x}^2$ 推出。强结论由平均值公式推出：若 $u(x_0)=M=\max_{\Omega}u$，则小球面平均值等于 $M$，而球面上每点不超过 $M$，故小球面上处处等于 $M$。这个性质沿连通区域传播，得到 $u\equiv M$。
\end{proofidea}

\begin{guidebox}{什么时候用，怎么用}
用于证明内部不能产生新的最大温度/电势；用于唯一性；用于比较两个解的大小。做唯一性时令 $w=u-v$，化成边界为零的调和函数。
\end{guidebox}

\subsection*{极值原理的证明细节：为什么要扰动}
初学者常问：在内部最大点，二阶导数不是应该满足 $u_{x_ix_i}\le0$ 吗？那 $\Delta u=0$ 是否立刻矛盾？不一定。因为可能每个二阶导数都等于 $0$，例如高阶平坦点。为了排除这种情况，常用扰动
\[
  u_\eps(x)=u(x)+\eps\abs{x}^2.
\]
此时
\[
  \Delta u_\eps=2n\eps>0.
\]
若 $u_\eps$ 在内部取得最大值，则 Hessian 半负定，特别有 $\Delta u_\eps\le0$，矛盾。因此 $u_\eps$ 的最大值只能在边界。令 $\eps\to0^+$，得到 $u$ 的最大值也由边界控制。

强极值原理再进一步：若内部达到最大值，则平均值公式迫使附近球面全等于最大值，再由连通性把常数性传播出去。

\begin{theorem}{比较原理}{comparison}
设 $\Omega$ 有界，$u,v\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$。若
\[
  -\Delta u\le -\Delta v\quad\text{于 }\Omega,\qquad
  u\le v\quad\text{于 }\pd\Omega,
\]
则 $u\le v$ 于 $\overline\Omega$。
\end{theorem}

\begin{proofidea}
令 $w=u-v$，则 $-\Delta w\le0$，即 $\Delta w\ge0$。对 $w_\eps=w+\eps\abs{x}^2$ 有 $\Delta w_\eps>0$，它不能在内部取得正最大值。于是最大值在边界上，令 $\eps\to0^+$ 即得 $w\le0$。
\end{proofidea}

\begin{guidebox}{什么时候用，怎么用}
当两个 Poisson 方程右端不同、边界数据也有大小关系时，用比较原理。常见步骤是：构造上下解 $\underline u,\overline u$，验证方程不等式和边界不等式，再推出 $\underline u\le u\le\overline u$。
\end{guidebox}

\begin{theorem}{Dirichlet 问题唯一性}{dirichlet-unique}
有界区域上 Dirichlet 问题
\[
  \begin{cases}
    -\Delta u=f, & x\in\Omega,\\
    u=g, & x\in\pd\Omega
  \end{cases}
\]
至多有一个经典解 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$。
\end{theorem}

\begin{proofidea}
若 $u,v$ 都是解，令 $w=u-v$，则 $\Delta w=0$，且 $w=0$ 于 $\pd\Omega$。极值原理给出 $\max w=\min w=0$，所以 $w\equiv0$。
\end{proofidea}

\begin{example}{用极值原理证明唯一性}{unique-ex}
证明：若 $u,v\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ 满足
\[
  -\Delta u=x_1^2,\quad -\Delta v=x_1^2,\quad
  u=v=g\quad\text{于 }\pd\Omega,
\]
则 $u=v$。此题改写自 Evans §2.2 中 Poisson 方程唯一性的标准论证。
\end{example}

\begin{solution}
令 $w=u-v$。则
\[
  \Delta w=0,\qquad w|_{\pd\Omega}=0.
\]
由极值原理，$w$ 的最大值和最小值都在边界上取得，且边界上 $w=0$，故 $w\equiv0$。
\end{solution}

\begin{example}{比较原理估计解}{comparison-ex}
设 $\Omega$ 有界，$u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ 满足
\[
  -\Delta u\le 1,\qquad u\le0\quad\text{于 }\pd\Omega.
\]
若存在 $\phi\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ 满足
\[
  -\Delta\phi=1,\qquad \phi=0\quad\text{于 }\pd\Omega,
\]
证明 $u\le\phi$。此题型改写自 Evans 比较原理。
\end{example}

\begin{solution}
令 $w=u-\phi$。则
\[
  -\Delta w=-\Delta u+\Delta\phi\le1-1=0,
\]
即 $\Delta w\ge0$。边界上 $w=u-\phi\le0$。由比较原理或对 $w$ 的最大值原理，得到 $w\le0$，即 $u\le\phi$。
\end{solution}

\section{Harnack 不等式、Liouville 定理与正则性}
\begin{theorem}{Harnack 不等式}{harnack}
设 $u\ge0$ 且 $u$ 在 $\Omega$ 中调和。若 $V\Subset\Omega$ 连通，则存在常数 $C=C(V,\Omega)>0$，使得
\[
  \sup_V u\le C\inf_V u.
\]
\end{theorem}

\begin{proofidea}
局部地对球使用 Poisson 核或平均值公式，可比较同一小球内两个点的函数值。再用有限多个相互重叠的小球连接 $V$ 中任意两点，常数逐步相乘，得到全局比较。
\end{proofidea}

\begin{guidebox}{什么时候用，怎么用}
Harnack 不等式只对非负调和函数有效。它常用于证明正调和函数不能在内部突然从很小变得很大，也用于紧性、极限过程和 Liouville 型结论。
\end{guidebox}

\begin{theorem}{Liouville 定理}{liouville}
若 $u:\R^n\to\R$ 调和且有界，则 $u$ 为常数。
\end{theorem}

\begin{proofidea}
Evans 的证明使用导数估计。对任意 $x_0$ 和 $R>0$，
\[
  \abs{Du(x_0)}\le \frac{C}{R}\sup_{B(x_0,R)}\abs{u}.
\]
若 $u$ 有界，令 $R\to\infty$ 得 $Du(x_0)=0$。因 $x_0$ 任意，$Du\equiv0$，所以 $u$ 为常数。
\end{proofidea}

\begin{guidebox}{什么时候用，怎么用}
题目给出“全空间调和 + 有界”时几乎立即想到 Liouville。若不是有界，而是增长条件，例如 $\abs{u(x)}\le C(1+\abs{x}^\alpha)$，可结合导数估计推出 $u$ 是低阶多项式。
\end{guidebox}

\begin{theorem}{调和函数的光滑性与解析性}{smooth-analytic}
若 $u$ 在 $\Omega$ 中调和，则 $u\in C^\infty(\Omega)$。进一步，$u$ 在 $\Omega$ 中为实解析函数。
\end{theorem}

\begin{proofidea}
光滑性可由平均值公式与磨光核得到：满足平均值性质的连续函数等于其局部球平均，因此等于光滑函数。解析性来自各阶导数估计
\[
  \abs{D^\alpha u(x_0)}
  \le \frac{C^{|\alpha|+1}\alpha!}{r^{n+|\alpha|}}\norm{u}_{L^1(B(x_0,r))},
\]
这保证 Taylor 级数在足够小球内收敛到 $u$。
\end{proofidea}

\begin{guidebox}{什么时候用，怎么用}
当题目问“调和函数能否有尖点、折线、孤立零点堆积”等现象时，用正则性和解析性。经典结论是：调和函数一旦在开集上由某种平均/弱意义确定，内部会自动非常光滑。
\end{guidebox}

\section{本章逻辑图}
本章定理之间的依赖关系可按如下方式理解：
\[
  \text{Green 公式/散度定理}
  \Longrightarrow
  \text{平均值公式}
  \Longrightarrow
  \begin{cases}
    \text{极值原理与唯一性},\\
    \text{导数估计与 Liouville},\\
    \text{Harnack 不等式},\\
    \text{光滑性与解析性}.
  \end{cases}
\]
自学时不必一开始记住所有证明，但必须会使用它们。最低要求是：
\begin{enumerate}
  \item 会用平均值公式求球心值；
  \item 会用极值原理证明唯一性；
  \item 会用比较原理给出上下界；
  \item 会识别 Liouville 型题目；
  \item 知道调和函数在内部自动光滑，不会出现普通弱解可能有的粗糙现象。
\end{enumerate}

\begin{sourcebox}{本章自测}
1. 若 $u$ 在单位圆盘调和，$u(0)=10$，边界上 $u\le9$ 是否可能？\\
2. 若 $u$ 在 $\R^2$ 调和且 $0<u<1$，能否不是常数？\\
3. 若两个 Poisson 方程解的右端不同，为什么不能直接用唯一性，而要用比较原理？\\
4. 证明调和函数的任意一阶偏导数仍调和。
\end{sourcebox}

\chapter{基本解与 Green 函数}

\section{Laplace 方程的基本解}
基本解是带一个点源的 Poisson 方程解。记 $\omega_n=\abs{B(0,1)}$。Laplace 算子的基本解取为
\[
  \Phi(x)=
  \begin{cases}
    \dfrac{1}{n(n-2)\omega_n}\dfrac{1}{\abs{x}^{n-2}}, & n\ge3,\\[1.0em]
    -\dfrac{1}{2\pi}\log\abs{x}, & n=2.
  \end{cases}
\]
它满足
\[
  -\Delta\Phi=\delta_0
\]
的分布意义，其中 $\delta_0$ 是原点处的 Dirac 点质量。

\begin{guidebox}{$n=2$ 和 $n\ge3$ 的区别}
径向 Laplace 方程给出
\[
  v''(r)+\frac{n-1}{r}v'(r)=0.
\]
积分得 $r^{n-1}v'(r)=C$。若 $n\ge3$，则 $v(r)=Ar^{2-n}+B$；若 $n=2$，则 $v(r)=A\log r+B$。这就是基本解形式不同的根源。
\end{guidebox}

\subsection*{基本解常数为什么这样选}
只知道 $\Phi$ 在 $x\ne0$ 时调和，还不足以决定前面的常数。常数由
\[
  -\Delta\Phi=\delta_0
\]
决定。直观说，$\Phi$ 表示原点放一个单位点源产生的势。对小球 $B(0,r)$ 积分：
\[
  1=\int_{B(0,r)}\delta_0\dd x
  =\int_{B(0,r)}-\Delta\Phi\dd x
  =-\int_{\pd B(0,r)}\frac{\pd\Phi}{\pd\bsnu}\dd S.
\]
以 $n\ge3$ 为例，令 $\Phi(x)=Cr^{2-n}$，则
\[
  \frac{\pd\Phi}{\pd\bsnu}=C(2-n)r^{1-n}.
\]
于是
\[
  -\int_{\pd B(0,r)}\frac{\pd\Phi}{\pd\bsnu}\dd S
  =-C(2-n)r^{1-n}\cdot n\omega_n r^{n-1}
  =C(n-2)n\omega_n.
\]
令它等于 $1$，便得到
\[
  C=\frac{1}{n(n-2)\omega_n}.
\]
$n=2$ 时同理可由 $\Phi(x)=C\log r$ 推出 $C=-1/(2\pi)$。

\begin{example}{径向基本解计算}{fund-ex}
证明 $u(x)=\abs{x}^{2-n}$ 在 $\R^n\setminus\{0\}$ 中调和，其中 $n\ge3$。此题改写自 Evans §2.2 关于基本解的推导。
\end{example}

\begin{solution}
令 $r=\abs{x}$，$v(r)=r^{2-n}$。则
\[
  v'(r)=(2-n)r^{1-n},\qquad
  v''(r)=(2-n)(1-n)r^{-n}.
\]
因此
\[
  \Delta v=v''+\frac{n-1}{r}v'
  =(2-n)(1-n)r^{-n}+(n-1)(2-n)r^{-n}=0.
\]
\end{solution}

\section{Newton 势}
若 $f\in C_c^2(\R^n)$，定义
\[
  u(x)=(\Phi*f)(x)=\int_{\R^n}\Phi(x-y)f(y)\dd y.
\]
则
\[
  -\Delta u=f\qquad\text{于 }\R^n.
\]
这个 $u$ 称为 $f$ 的 Newton 势。

\begin{guidebox}{什么时候用，怎么用}
在全空间 Poisson 方程中，若 $f$ 紧支撑或衰减足够快，可直接写 Newton 势。注意不能天真地把二阶导数穿过奇异积分；严格证明需要处理 $y=x$ 附近的奇性。
\end{guidebox}

\subsection*{Newton 势的叠加思想}
如果原点的单位点源产生势 $\Phi(x)$，那么位于 $y$ 的单位点源产生势 $\Phi(x-y)$。若源项不是一个点，而是连续分布 $f(y)$，则把每个点源贡献叠加，形式上得到
\[
  u(x)=\int_{\R^n}\Phi(x-y)f(y)\dd y.
\]
这就是 Newton 势。它体现了线性方程最重要的思想：复杂源项的解可以由简单点源的解叠加而成。

\begin{example}{全空间 Poisson 方程的表示}{newton-ex}
设 $n\ge3$，$f\in C_c^2(\R^n)$。写出 $-\Delta u=f$ 在全空间中的一个解，并说明为什么还可以加常数。此题改写自 Evans §2.2 Theorem 1 与 Liouville 表示公式。
\end{example}

\begin{solution}
取
\[
  u(x)=\int_{\R^n}\frac{1}{n(n-2)\omega_n}\frac{f(y)}{\abs{x-y}^{n-2}}\dd y.
\]
则 $-\Delta u=f$。若 $C$ 是常数，则 $-\Delta(u+C)=f$，所以仍是解。若再要求 $u(x)\to0$ 当 $\abs{x}\to\infty$，通常可排除这个常数自由度。
\end{solution}

\section{Green 第一、第二恒等式}
\begin{theorem}{Green 恒等式}{green-identities}
设 $\Omega$ 边界光滑，$u,v\in C^2(\overline\Omega)$。则
\[
  \int_\Omega Du\cdot Dv\dd x
  =-\int_\Omega u\Delta v\dd x
  +\int_{\pd\Omega}u\frac{\pd v}{\pd\bsnu}\dd S.
\]
并且
\[
  \int_\Omega (u\Delta v-v\Delta u)\dd x
  =
  \int_{\pd\Omega}\left(
    u\frac{\pd v}{\pd\bsnu}
    -v\frac{\pd u}{\pd\bsnu}
  \right)\dd S.
\]
\end{theorem}

\begin{proofidea}
第一式来自散度定理：
\[
  \diver(uDv)=Du\cdot Dv+u\Delta v.
\]
第二式由第一式分别作用于 $(u,v)$ 和 $(v,u)$ 后相减得到。
\end{proofidea}

\begin{guidebox}{什么时候用，怎么用}
Green 第一恒等式用于能量估计和弱形式；Green 第二恒等式用于表示公式、Green 函数对称性和边值问题。考试中只要看到 $\int_\Omega u\Delta v$、$\int_\Omega Du\cdot Dv$、法向导数边界项，就应想到 Green 恒等式。
\end{guidebox}

\begin{example}{Green 第一恒等式证明唯一性}{energy-unique-ex}
设 $w\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline\Omega)$ 满足
\[
  \Delta w=0,\qquad w=0\quad\text{于 }\pd\Omega.
\]
用能量法证明 $w\equiv0$。此题型改写自 Evans §2.2 能量方法和 Strauss §6.1 Exercise 10。
\end{example}

\begin{solution}
在 Green 第一恒等式中取 $u=v=w$：
\[
  \int_\Omega\abs{Dw}^2\dd x
  =-\int_\Omega w\Delta w\dd x
  +\int_{\pd\Omega}w\frac{\pd w}{\pd\bsnu}\dd S.
\]
由于 $\Delta w=0$ 且边界上 $w=0$，右端为 $0$。故
\[
  \int_\Omega\abs{Dw}^2\dd x=0.
\]
于是 $Dw=0$，连通区域中 $w$ 为常数；又边界值为 $0$，故 $w\equiv0$。
\end{solution}

\section{Green 函数与表示公式}
设 $\Omega$ 有界，Dirichlet Green 函数 $G(x,y)$ 是满足
\[
  -\Delta_yG(x,y)=\delta_x(y),\qquad
  G(x,y)=0\quad(y\in\pd\Omega)
\]
的函数。若
\[
  \begin{cases}
    -\Delta u=f, & y\in\Omega,\\
    u=g, & y\in\pd\Omega,
  \end{cases}
\]
则形式上有表示公式
\[
  u(x)=\int_\Omega G(x,y)f(y)\dd y
  -\int_{\pd\Omega}g(y)\frac{\pd G}{\pd\bsnu_y}(x,y)\dd S(y).
\]

\begin{guidebox}{什么时候用，怎么用}
Green 函数适合“区域固定、边界条件固定、源项或边界数据变化”的问题。先找 $G$，再套表示公式。一般区域的 $G$ 难求；半空间、球、圆盘可以显式写出。
\end{guidebox}

\subsection*{表示公式的推导轮廓}
固定 $x\in\Omega$，把 $G(x,y)$ 看成 $y$ 的函数。由于
\[
  -\Delta_yG(x,y)=\delta_x(y),
\]
形式上有
\[
  u(x)=\int_\Omega u(y)\delta_x(y)\dd y
  =\int_\Omega u(y)(-\Delta_yG(x,y))\dd y.
\]
接下来对 $u$ 和 $G$ 使用 Green 第二恒等式，把 Laplace 算子从 $G$ 转到 $u$ 上，同时产生边界项。若 $G=0$ 在边界上，就得到
\[
  u(x)=\int_\Omega G(x,y)(-\Delta u(y))\dd y
  -\int_{\pd\Omega}u(y)\frac{\pd G}{\pd\bsnu_y}(x,y)\dd S(y).
\]
若 $-\Delta u=f$ 且 $u=g$ 于边界，就得到前面的表示公式。

\begin{guidebox}{别把 Green 函数和基本解混淆}
基本解 $\Phi(x-y)$ 只处理全空间点源；Green 函数 $G(x,y)$ 还要满足边界条件。通常
\[
  G=\text{基本解}-\text{修正项},
\]
其中修正项负责把边界值调成零。
\end{guidebox}

\begin{example}{Green 函数表示的结构}{green-ex}
设 $G$ 是 $\Omega$ 的 Dirichlet Green 函数，$u$ 解
\[
  -\Delta u=f,\qquad u=0\quad\text{于 }\pd\Omega.
\]
写出 $u$ 的表示，并说明边界项为什么消失。此题改写自 Evans §2.2 Green 函数表示公式。
\end{example}

\begin{solution}
由于边界值 $g=0$，表示公式中的边界项为零，故
\[
  u(x)=\int_\Omega G(x,y)f(y)\dd y.
\]
这说明零 Dirichlet 问题中，解完全由区域内部源项通过 Green 函数叠加而来。
\end{solution}

\section{本章自学检查}
\begin{sourcebox}{必须能回答的问题}
1. 为什么基本解在 $x\ne0$ 处调和，却仍能解 $-\Delta\Phi=\delta_0$？\\
2. 为什么二维基本解是 $\log r$，三维及以上是 $r^{2-n}$？\\
3. Green 第一恒等式和第二恒等式分别常用在哪里？\\
4. 为什么 Dirichlet Green 函数的边界值要取 $0$？\\
5. 在零边界 Poisson 问题中，为什么表示公式只剩区域积分？
\end{sourcebox}

\chapter{典型区域上的显式解}

\section{单位圆盘上的 Poisson 公式}
设单位圆盘
\[
  D=\{(r,\theta):0\le r<1,\ 0\le\theta<2\pi\}.
\]
若
\[
  \begin{cases}
    \Delta u=0, & 0\le r<1,\\
    u(1,\theta)=g(\theta),
  \end{cases}
\]
则
\[
  u(r,\theta)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}
  P_r(\theta-\varphi)g(\varphi)\dd\varphi,
\]
其中 Poisson 核为
\[
  P_r(t)=\frac{1-r^2}{1-2r\cos t+r^2}.
\]

若
\[
  g(\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty
  (a_k\cos k\theta+b_k\sin k\theta),
\]
则
\[
  u(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty
  r^k(a_k\cos k\theta+b_k\sin k\theta).
\]

\begin{guidebox}{什么时候用，怎么用}
圆盘 Dirichlet 问题优先看边界数据是否已经是 Fourier 形式。若是三角多项式，直接把第 $k$ 阶项乘 $r^k$；若是一般函数，先求 Fourier 系数或使用 Poisson 积分。
\end{guidebox}

\subsection*{Poisson 公式从分离变量来}
在极坐标中，
\[
  \Delta u=u_{rr}+\frac1r u_r+\frac1{r^2}u_{\theta\theta}.
\]
令 $u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)$，得到
\[
  \frac{r^2R''+rR'}{R}=-\frac{\Theta''}{\Theta}=\lambda.
\]
由于 $\Theta(\theta)$ 必须 $2\pi$ 周期，特征值为 $\lambda=n^2$，对应
\[
  \Theta_n(\theta)=\cos n\theta,\quad \sin n\theta.
\]
径向方程为
\[
  r^2R''+rR'-n^2R=0,
\]
其有界解为 $R(r)=r^n$。$n=0$ 时有常数解和 $\log r$，为了在原点有界，只保留常数。因此圆盘内调和函数自然写成
\[
  u(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}r^n
  (a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta).
\]
这就是 Poisson 公式背后的分离变量解释。

\begin{example}{圆盘 Dirichlet 问题}{disk-ex}
求单位圆盘内满足
\[
  \Delta u=0,\qquad
  u(1,\theta)=2+\cos3\theta-4\sin2\theta
\]
的调和函数。此题改写自 Strauss §6.3 Poisson 公式的标准例题。
\end{example}

\begin{solution}
边界数据已经是 Fourier 形式，因此
\[
  u(r,\theta)=2+r^3\cos3\theta-4r^2\sin2\theta.
\]
\end{solution}

\begin{example}{圆盘中非常数边界数据}{disk-fourier-ex}
求单位圆盘中满足
\[
  \Delta u=0,\qquad u(1,\theta)=\theta(\pi-\theta)\quad(0<\theta<2\pi)
\]
且边界函数按 $2\pi$ 周期延拓的解的 Fourier 形式。此题按 Strauss 第 5--6 章 Fourier 级数进入圆盘问题的方式改写。
\end{example}

\begin{solution}
设
\[
  g(\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta).
\]
系数为
\[
  a_n=\frac1\pi\int_0^{2\pi}\theta(\pi-\theta)\cos n\theta\dd\theta,\qquad
  b_n=\frac1\pi\int_0^{2\pi}\theta(\pi-\theta)\sin n\theta\dd\theta.
\]
本题重点不是把积分算到最后，而是知道圆盘内解为
\[
  u(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty r^n
  (a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta).
\]
若考试给出简单三角多项式，直接写答案；若给出一般函数，先写 Fourier 系数再乘 $r^n$。
\end{solution}

\section{圆盘 Poisson 方程的径向例题}
\begin{example}{Poisson 方程径向解}{poisson-disk}
求圆盘 $r<a$ 中
\[
  u_{xx}+u_{yy}=1,\qquad u|_{r=a}=0
\]
的径向解。此题改写自 Strauss §6.1 Exercise 5。
\end{example}

\begin{solution}
设 $u=u(r)$。二维极坐标下
\[
  \Delta u=u''+\frac1r u'=1.
\]
即
\[
  (ru')'=r.
\]
积分得
\[
  ru'=\frac{r^2}{2}+C.
\]
为了 $u$ 在 $r=0$ 有界，必须 $C=0$。再积分：
\[
  u(r)=\frac{r^2}{4}+C_2.
\]
由 $u(a)=0$ 得 $C_2=-a^2/4$。故
\[
  u(r)=\frac{r^2-a^2}{4}.
\]
\end{solution}

\begin{example}{球壳中的径向调和函数}{shell-ex}
在三维球壳 $a<r<b$ 中求调和函数 $u(r)$，满足
\[
  u(a)=A,\qquad u(b)=B.
\]
此题改写自 Strauss §6.1 Exercise 4，也是谷超豪体系中球对称稳态边值问题的典型例题。
\end{example}

\begin{solution}
三维径向 Laplace 方程为
\[
  u''+\frac2r u'=0,\qquad\text{即}\qquad (r^2u')'=0.
\]
积分两次：
\[
  r^2u'=C_1,\qquad u(r)=C_2-\frac{C_1}{r}.
\]
写成
\[
  u(r)=\alpha+\frac{\beta}{r}.
\]
代入边界条件：
\[
  \alpha+\frac{\beta}{a}=A,\qquad
  \alpha+\frac{\beta}{b}=B.
\]
相减得
\[
  \beta\left(\frac1a-\frac1b\right)=A-B,
  \qquad
  \beta=\frac{ab(A-B)}{b-a}.
\]
再由 $\alpha=A-\beta/a$ 得
\[
  \alpha=\frac{bB-aA}{b-a}.
\]
所以
\[
  u(r)=\frac{bB-aA}{b-a}
  +\frac{ab(A-B)}{(b-a)r}.
\]
\end{solution}

\section{矩形区域分离变量法}
考虑矩形
\[
  R=\{(x,y):0<x<a,\ 0<y<b\}.
\]
典型问题是三边为零、一边给定：
\[
  \begin{cases}
    u_{xx}+u_{yy}=0, & 0<x<a,\ 0<y<b,\\
    u(0,y)=u(a,y)=u(x,0)=0,\\
    u(x,b)=g(x).
  \end{cases}
\]
令 $u=X(x)Y(y)$，代入得
\[
  \frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=-\lambda.
\]
由 $X(0)=X(a)=0$ 得
\[
  X_n(x)=\sin\frac{n\pi x}{a},\qquad
  \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2.
\]
对应
\[
  Y_n(y)=\sinh\frac{n\pi y}{a}
\]
以满足 $u(x,0)=0$。于是
\[
  u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n
  \sinh\frac{n\pi y}{a}\sin\frac{n\pi x}{a}.
\]
边界 $y=b$ 给出
\[
  g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n
  \sinh\frac{n\pi b}{a}\sin\frac{n\pi x}{a}.
\]
若
\[
  g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}g_n\sin\frac{n\pi x}{a},\qquad
  g_n=\frac2a\int_0^ag(x)\sin\frac{n\pi x}{a}\dd x,
\]
则
\[
  A_n=\frac{g_n}{\sinh(n\pi b/a)}.
\]

\begin{guidebox}{Fourier 级数如何进入}
分离变量先给出一组满足齐次边界条件的基函数；非齐次边界数据 $g$ 必须展开到这组基函数上。这里是正弦级数，因为左右边界为零，特征函数是 $\sin(n\pi x/a)$。
\end{guidebox}

\subsection*{矩形题的完整操作流程}
矩形 Laplace 题最怕“直接背公式”。真正稳妥的流程是：
\begin{enumerate}
  \item \textbf{先处理边界：} 如果四条边都有非齐次数据，利用线性性拆成四个问题，每个问题只保留一条边非齐次。
  \item \textbf{设分离解：} 令 $u=X(x)Y(y)$，代入 $\Delta u=0$。
  \item \textbf{选特征方向：} 哪个方向有两个齐次边界条件，就优先把该方向做 Sturm--Liouville 特征值问题。
  \item \textbf{写特征函数：} Dirichlet--Dirichlet 给正弦；Neumann--Neumann 给余弦；混合条件给半整数频率或特殊组合。
  \item \textbf{展开非齐次边界：} 把给定函数展开到特征函数系中。
  \item \textbf{代回并检查：} 检查 PDE、齐次边界、非齐次边界是否都满足。
\end{enumerate}

\begin{example}{三边为零、一边给定}{rect-ex}
求矩形 $0<x<\pi,\ 0<y<b$ 中
\[
  \Delta u=0,\quad
  u(0,y)=u(\pi,y)=u(x,0)=0,\quad
  u(x,b)=\sin x+3\sin2x.
\]
此题按 Strauss §6.2 矩形分离变量例题和谷超豪《数学物理方程》第一边值问题体例改写。
\end{example}

\begin{solution}
由上面的公式，$a=\pi$，边界数据只有 $n=1,2$ 两项：
\[
  g_1=1,\qquad g_2=3.
\]
因此
\[
  u(x,y)=
  \frac{\sinh y}{\sinh b}\sin x
  +3\frac{\sinh 2y}{\sinh 2b}\sin2x.
\]
\end{solution}

\begin{example}{边界数据不是单个正弦项}{rect-coeff-ex}
求 $0<x<\pi,\ 0<y<1$ 中的调和函数，满足
\[
  u(0,y)=u(\pi,y)=u(x,0)=0,\qquad u(x,1)=x(\pi-x).
\]
此题按 Strauss §6.2 与 Fourier 正弦级数练习改写。
\end{example}

\begin{solution}
设
\[
  u(x,y)=\sum_{n=1}^\infty A_n\sinh(ny)\sin nx.
\]
由 $y=1$ 的边界条件，
\[
  x(\pi-x)=\sum_{n=1}^\infty A_n\sinh n\sin nx.
\]
因此
\[
  A_n=\frac{b_n}{\sinh n},
  \qquad
  b_n=\frac2\pi\int_0^\pi x(\pi-x)\sin nx\dd x.
\]
计算积分。分部积分两次可得
\[
  b_n=\frac{4}{\pi n^3}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
\]
所以偶数项为零，奇数项为
\[
  b_{2m+1}=\frac{8}{\pi(2m+1)^3}.
\]
最终
\[
  u(x,y)=\sum_{m=0}^{\infty}
  \frac{8}{\pi(2m+1)^3\sinh(2m+1)}
  \sinh((2m+1)y)\sin((2m+1)x).
\]
\end{solution}

\begin{example}{正方形上的混合边界}{square-mixed}
在正方形 $0<x<\pi,\ 0<y<\pi$ 中求调和函数，满足
\[
  u_y(x,0)=u_y(x,\pi)=0,\qquad
  u(0,y)=0,\qquad
  u(\pi,y)=\cos^2y.
\]
此题改写自 Strauss §6.2 Exercise 3。
\end{example}

\begin{solution}
因为 $y$ 方向是 Neumann 齐次条件，所以选
\[
  Y_n(y)=\cos ny,\qquad n=0,1,2,\dots.
\]
边界数据
\[
  \cos^2y=\frac12(1+\cos2y).
\]
对 $n=0$，$X_0''=0$，且 $X_0(0)=0,\ X_0(\pi)=1/2$，故 $X_0=x/(2\pi)$。对 $n=2$，
\[
  X_2''-4X_2=0,\quad X_2(0)=0,\quad X_2(\pi)=\frac12,
\]
故
\[
  X_2(x)=\frac{\sinh 2x}{2\sinh 2\pi}.
\]
因此
\[
  u(x,y)=\frac{x}{2\pi}+
  \frac{\sinh 2x}{2\sinh 2\pi}\cos2y.
\]
\end{solution}

\section{本章自学检查}
\begin{sourcebox}{必须能算的问题}
1. 单位圆盘边界值为 $1+2\cos\theta+3\sin4\theta$，写出内部解。\\
2. 在圆环 $a<r<b$ 中求二维径向调和函数，边界值分别为 $A,B$。提示：二维径向解含 $\log r$。\\
3. 矩形三边为零、一边给 $g(x)$ 时，为什么 $x$ 方向出现正弦级数？\\
4. 正方形中两条边为 Neumann 齐次时，为什么出现余弦级数？\\
5. 如果四条边都非齐次，为什么可以拆成四个问题相加？
\end{sourcebox}

\chapter{Neumann 问题}

\section{兼容条件}
考虑
\[
  \begin{cases}
    -\Delta u=f, & x\in\Omega,\\
    \dfrac{\pd u}{\pd\bsnu}=h, & x\in\pd\Omega.
  \end{cases}
\]
若存在光滑解，则由散度定理
\[
  \int_\Omega f\dd x
  =\int_\Omega(-\Delta u)\dd x
  =-\int_{\pd\Omega}\frac{\pd u}{\pd\bsnu}\dd S
  =-\int_{\pd\Omega}h\dd S.
\]
因此必须有
\[
  \boxed{\int_\Omega f\dd x+\int_{\pd\Omega}h\dd S=0.}
\]

\begin{guidebox}{什么时候用，怎么用}
看到 Neumann 问题，第一步就是积分检查兼容条件。若条件不满足，直接说明无解；若满足，还要记住解不能唯一确定，只能确定到相差一个常数。
\end{guidebox}

\subsection*{兼容条件的物理解释}
Neumann 条件给的是边界通量。若区域内部产生总量为 $\int_\Omega f\dd x$，边界又规定净流出量为 $\int_{\pd\Omega}h\dd S$，稳态时二者必须平衡。若内部一直产生热量，但边界又不允许热量流出，系统就不可能稳态。

符号上要小心：本讲义采用
\[
  -\Delta u=f,\qquad \frac{\pd u}{\pd\bsnu}=h.
\]
因此兼容条件是
\[
  \int_\Omega f\dd x+\int_{\pd\Omega}h\dd S=0.
\]
如果教材写成 $\Delta u=f$，符号会相应改变。考试时不要背符号，要从散度定理重新推一遍。

\section{为什么解只差一个常数}
若 $u,v$ 是同一 Neumann 问题的两个解，令 $w=u-v$，则
\[
  \Delta w=0,\qquad \frac{\pd w}{\pd\bsnu}=0.
\]
由 Green 第一恒等式，
\[
  \int_\Omega\abs{Dw}^2\dd x
  =-\int_\Omega w\Delta w\dd x
  +\int_{\pd\Omega}w\frac{\pd w}{\pd\bsnu}\dd S=0.
\]
因此 $Dw=0$，在连通区域中 $w$ 为常数。

\begin{example}{Neumann 兼容条件}{neumann-ex}
判断如下问题是否可能有解：
\[
  \begin{cases}
    \Delta u=0, & 0<x<1,\ 0<y<1,\\
    u_y(x,1)=g(x),\\
    u_y(x,0)=0,\quad u_x(0,y)=u_x(1,y)=0.
  \end{cases}
\]
此题改写自 Strauss §6.2 Exercise 6 和 §6.1 Exercise 11 的兼容条件题型。
\end{example}

\begin{solution}
这里 $\Delta u=0$，全边界法向导数通量总和必须为零。四边中只有 $y=1$ 可能贡献：
\[
  \int_{\pd\Omega}\frac{\pd u}{\pd\bsnu}\dd S
  =\int_0^1g(x)\dd x.
\]
因此必要条件是
\[
  \int_0^1g(x)\dd x=0.
\]
若该条件不满足，则无解。若满足，则解至多相差一个常数。
\end{solution}

\begin{example}{一维 Neumann 问题看清常数自由度}{neumann-1d}
求解
\[
  -u''(x)=f(x),\quad 0<x<1,\qquad
  -u'(0)=\alpha,\quad u'(1)=\beta.
\]
写出兼容条件，并说明为什么解只差一个常数。此题按谷超豪体系中第二边值问题的适定性思想改写。
\end{example}

\begin{solution}
对方程积分：
\[
  \int_0^1f(x)\dd x
  =\int_0^1-u''(x)\dd x
  =-u'(1)+u'(0).
\]
由边界条件 $u'(1)=\beta,\ u'(0)=-\alpha$，得
\[
  \int_0^1f(x)\dd x=-\beta-\alpha.
\]
即
\[
  \int_0^1f(x)\dd x+\alpha+\beta=0.
\]
若 $u$ 是解，则 $u+C$ 也是解，因为二阶导数和一阶边界导数都不变。要唯一，常加归一化条件
\[
  \int_0^1u(x)\dd x=0.
\]
\end{solution}

\section{与 Dirichlet 问题的区别}
\begin{center}
\begin{tabular}{>{\centering\arraybackslash}p{3.4cm}p{5.0cm}p{5.0cm}}
\toprule
问题类型 & Dirichlet & Neumann\\
\midrule
边界信息 & 给定 $u$ & 给定 $\pd u/\pd\bsnu$\\
物理意义 & 温度/电势本身 & 热流/电通量\\
唯一性 & 通常唯一 & 只差常数\\
额外条件 & 一般无需积分兼容 & 必须满足通量兼容条件\\
常用工具 & 极值原理、Poisson 核、Green 函数 & 散度定理、能量法、零平均归一化\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

\section{Neumann 问题的解题顺序}
\begin{guidebox}{四步法}
1. 写清外法向方向，尤其在矩形边界上：左边 $\bsnu=(-1,0)$，右边 $\bsnu=(1,0)$，下边 $\bsnu=(0,-1)$，上边 $\bsnu=(0,1)$。\\
2. 用散度定理检查兼容条件。\\
3. 若要做唯一性，两个解相减后用能量法证明差为常数。\\
4. 若题目要求唯一解，加条件 $\int_\Omega u=0$ 或指定某点值 $u(x_0)=0$。
\end{guidebox}

\chapter{弱解和能量方法}

\section{Sobolev 空间背景}
经典解要求 $u\in C^2$，但许多边值问题的自然解只有一阶弱导数平方可积。记
\[
  H^1(\Omega)=\{u\in L^2(\Omega):D_iu\in L^2(\Omega),\ i=1,\dots,n\},
\]
范数为
\[
  \norm{u}_{H^1}^2=\int_\Omega\abs{u}^2\dd x+\int_\Omega\abs{Du}^2\dd x.
\]
$H_0^1(\Omega)$ 表示边界迹为零的 $H^1$ 函数空间，可理解为 $C_c^\infty(\Omega)$ 在 $H^1$ 范数下的闭包。

\begin{guidebox}{为什么要弱解}
Poisson 方程的能量
\[
  \int_\Omega\abs{Du}^2\dd x
\]
只要求一阶导数平方可积，并不天然要求二阶导数连续。物理上，有限能量解比经典解更自然；数学上，弱形式能用 Hilbert 空间方法证明存在唯一性。之后再用正则性理论，在条件足够好时把弱解升级为经典解。
\end{guidebox}

\section{Poisson 方程的弱形式}
考虑零 Dirichlet 问题
\[
  \begin{cases}
    -\Delta u=f, & x\in\Omega,\\
    u=0, & x\in\pd\Omega.
  \end{cases}
\]
取测试函数 $v\in C_c^\infty(\Omega)$，乘以 $v$ 并分部积分：
\[
  \int_\Omega Du\cdot Dv\dd x=\int_\Omega fv\dd x.
\]
于是定义弱解如下。

\begin{definition}{弱解}{weak}
给定 $f\in L^2(\Omega)$。若 $u\in H_0^1(\Omega)$ 且对任意 $v\in H_0^1(\Omega)$，
\[
  \int_\Omega Du\cdot Dv\dd x=\int_\Omega fv\dd x,
\]
则称 $u$ 是零 Dirichlet Poisson 问题的弱解。
\end{definition}

\begin{guidebox}{怎么从强形式到弱形式}
强形式 $-\Delta u=f$，乘测试函数 $v$，积分，分部积分，把二阶导数转移到一阶导数上。零 Dirichlet 条件使边界项消失。最终得到
\[
  a(u,v)=F(v),\qquad
  a(u,v)=\int_\Omega Du\cdot Dv,\quad F(v)=\int_\Omega fv.
\]
\end{guidebox}

\subsection*{分部积分为什么边界项消失}
若 $u$ 是光滑函数，乘以测试函数 $v$ 后
\[
  \int_\Omega (-\Delta u)v\dd x
  =\int_\Omega Du\cdot Dv\dd x
  -\int_{\pd\Omega}v\frac{\pd u}{\pd\bsnu}\dd S.
\]
在零 Dirichlet 弱形式中，测试函数 $v\in H_0^1(\Omega)$，其边界迹为 $0$，所以边界项消失。注意这并不是因为 $\pd u/\pd\bsnu=0$，而是因为 $v=0$ 于边界。

\section{变分 formulation 与 Lax--Milgram}
定义能量泛函
\[
  J(v)=\frac12\int_\Omega\abs{Dv}^2\dd x-\int_\Omega fv\dd x,
  \qquad v\in H_0^1(\Omega).
\]
其 Euler--Lagrange 方程正是弱形式：
\[
  \int_\Omega Du\cdot Dv\dd x=\int_\Omega fv\dd x.
\]

\begin{theorem}{Lax--Milgram 给出存在唯一性}{lm}
设 $\Omega$ 有界，$f\in L^2(\Omega)$。则存在唯一 $u\in H_0^1(\Omega)$ 满足
\[
  \int_\Omega Du\cdot Dv\dd x=\int_\Omega fv\dd x
  \qquad(\forall v\in H_0^1(\Omega)).
\]
\end{theorem}

\begin{proofidea}
在 $H_0^1(\Omega)$ 上令
\[
  a(u,v)=\int_\Omega Du\cdot Dv\dd x,\qquad F(v)=\int_\Omega fv\dd x.
\]
$a$ 双线性且连续；由 Poincare 不等式，$a(v,v)=\norm{Dv}_{L^2}^2$ 控制 $\norm{v}_{H^1}^2$，故强制。$F$ 连续。Lax--Milgram 定理给出唯一弱解。
\end{proofidea}

\subsection*{Lax--Milgram 检查表}
要用 Lax--Milgram，不是只写定理名字，而要检查三件事。
\begin{enumerate}
  \item \textbf{连续性：}
  \[
    \abs{a(u,v)}
    \le \norm{Du}_{L^2}\norm{Dv}_{L^2}
    \le \norm{u}_{H^1}\norm{v}_{H^1}.
  \]
  \item \textbf{强制性：} 对 $v\in H_0^1(\Omega)$，Poincare 不等式给出
  \[
    \norm{v}_{L^2}\le C\norm{Dv}_{L^2}.
  \]
  因而
  \[
    a(v,v)=\norm{Dv}_{L^2}^2
    \ge c\norm{v}_{H^1}^2.
  \]
  \item \textbf{右端连续：}
  \[
    \abs{F(v)}
    =\left|\int_\Omega fv\dd x\right|
    \le \norm{f}_{L^2}\norm{v}_{L^2}
    \le C\norm{f}_{L^2}\norm{v}_{H^1}.
  \]
\end{enumerate}
三项都成立，才可推出唯一弱解。

\begin{guidebox}{什么时候用，怎么用}
当边界或右端不够光滑、经典解不存在或难以构造时，用弱解。考试中常要求“写出弱形式”或“说明 Lax--Milgram 如何给出存在唯一性”，重点是写清空间、双线性型、线性泛函、连续性与强制性。
\end{guidebox}

\section{弱解和经典解的关系}
若弱解 $u$ 足够光滑，例如 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$，则通过反向分部积分可知它满足经典方程。反过来，经典解必然是弱解。更深的椭圆正则性理论说明：在 $f$ 与边界足够光滑时，弱解会自动提高正则性。

\begin{example}{写出弱形式}{weak-ex}
设 $\Omega$ 有界，写出
\[
  -\Delta u=f,\qquad u=0\text{ 于 }\pd\Omega
\]
的弱形式，并说明解空间。此题按 Evans 能量方法与谷超豪课程中的广义解引入方式整理。
\end{example}

\begin{solution}
解空间取 $H_0^1(\Omega)$。弱形式为：求 $u\in H_0^1(\Omega)$，使对任意 $v\in H_0^1(\Omega)$，
\[
  \int_\Omega Du\cdot Dv\dd x=\int_\Omega fv\dd x.
\]
若 $f\in L^2(\Omega)$，右端由 Cauchy--Schwarz 与 Poincare 不等式给出连续线性泛函。
\end{solution}

\begin{example}{非零 Dirichlet 数据如何处理}{nonzero-weak-ex}
写出
\[
  -\Delta u=f\quad\text{于 }\Omega,\qquad u=g\quad\text{于 }\pd\Omega
\]
的弱解处理思路。此题按 Evans 椭圆方程弱解框架和谷超豪课程中非齐次边界化齐次的做法整理。
\end{example}

\begin{solution}
先取一个延拓函数 $G\in H^1(\Omega)$，使其边界迹为 $g$。令
\[
  u=w+G.
\]
由于 $u=g$ 于边界，要求 $w\in H_0^1(\Omega)$。代入弱形式：
\[
  \int_\Omega D(w+G)\cdot Dv\dd x=\int_\Omega fv\dd x
  \qquad(\forall v\in H_0^1(\Omega)).
\]
即求 $w\in H_0^1(\Omega)$ 使
\[
  \int_\Omega Dw\cdot Dv\dd x
  =\int_\Omega fv\dd x-\int_\Omega DG\cdot Dv\dd x.
\]
这又是零边界问题，可用 Lax--Milgram 处理。
\end{solution}

\section{本章自学检查}
\begin{sourcebox}{必须能写的问题}
1. 强形式 $-\Delta u=f$ 如何变成弱形式？每一步用了什么？\\
2. 为什么零 Dirichlet 问题的自然空间是 $H_0^1(\Omega)$？\\
3. Lax--Milgram 中连续性、强制性、右端连续分别怎么验证？\\
4. 非零边界数据为什么要先做延拓？\\
5. 若弱解后来证明属于 $C^2$，为什么它就是经典解？
\end{sourcebox}

\chapter{常见题型总结}

\section{题型一：判断函数是否调和}
\begin{guidebox}{模板}
确认定义域；计算二阶偏导和 $\Delta u$；含 $r$ 的函数用径向 Laplace 公式；检查奇点是否在定义域内。
\end{guidebox}

\section{题型二：用平均值公式求点值}
\begin{guidebox}{模板}
确认闭球包含在区域内；把中心值写成球面或球平均；用三角函数平均、对称性或积分计算。
\end{guidebox}

\section{题型三：用极值原理证明唯一性}
\begin{guidebox}{模板}
令 $w=u-v$；证明 $\Delta w=0$ 且边界 $w=0$；用极值原理得 $w\le0$；对 $-w$ 再用一次得 $w\ge0$。
\end{guidebox}

\section{题型四：用比较原理估计解}
\begin{guidebox}{模板}
构造上解 $\overline u$ 和下解 $\underline u$；检查区域内的 Laplace 不等式和边界不等式；推出 $\underline u\le u\le\overline u$。
\end{guidebox}

\section{题型五：圆盘 Dirichlet 问题}
\begin{guidebox}{模板}
把边界数据展开成 Fourier 级数。第 $n$ 阶边界模式 $\cos n\theta,\sin n\theta$ 在圆盘内变成 $r^n\cos n\theta,r^n\sin n\theta$。一般边界数据用 Poisson 核积分。
\end{guidebox}

\section{题型六：矩形区域分离变量}
\begin{guidebox}{模板}
先把非齐次边界尽量化成一条边；设 $u=XY$；由齐次边界决定特征函数；把非齐次边界展开成对应 Fourier 级数；写出双曲正弦/余弦系数。
\end{guidebox}

\section{题型七：Green 函数表示}
\begin{guidebox}{模板}
确认边界条件是 Dirichlet 还是 Neumann；写 $G$ 的定义；零边界时 $u(x)=\int_\Omega G(x,y)f(y)\dd y$；非零边界时加上边界积分项。
\end{guidebox}

\section{题型八：Liouville 型题目}
\begin{guidebox}{模板}
全空间调和且有界，直接推出常数。若给增长条件，使用导数估计令半径趋于无穷，判断高阶导数是否为零。
\end{guidebox}

\section{题型九：Neumann 兼容条件}
\begin{guidebox}{模板}
对方程积分并用散度定理：
\[
  \int_\Omega f+\int_{\pd\Omega}h=0.
\]
若不满足则无解；若满足，唯一性只能到相差常数，通常加归一化 $\int_\Omega u=0$。
\end{guidebox}

\section{题型十：Poisson 方程弱形式}
\begin{guidebox}{模板}
选空间 $H_0^1(\Omega)$；乘测试函数；分部积分；写
\[
  a(u,v)=F(v).
\]
然后用 Lax--Milgram：连续性、强制性、右端连续。
\end{guidebox}

\chapter{教材题型精选与详解}

\section{题 1：径向调和函数}
\begin{example}{二维圆环径向 Dirichlet 问题}{selected-annulus}
在圆环 $a<r<b$ 中求径向调和函数 $u(r)$，满足
\[
  u(a)=A,\qquad u(b)=B.
\]
此题改写自 Strauss 第 6 章径向调和函数习题，也是数学物理方程中圆环稳态温度的基本题。
\end{example}

\begin{solution}
二维径向 Laplace 方程为
\[
  u''+\frac1r u'=0.
\]
等价于
\[
  (ru')'=0.
\]
积分得
\[
  ru'=C_1,\qquad u'= \frac{C_1}{r},
\]
所以
\[
  u(r)=C_1\log r+C_2.
\]
代入边界条件：
\[
  C_1\log a+C_2=A,\qquad
  C_1\log b+C_2=B.
\]
相减得
\[
  C_1=\frac{B-A}{\log b-\log a}.
\]
因此
\[
  u(r)=A+\frac{B-A}{\log(b/a)}\log\frac{r}{a}.
\]
\end{solution}

\begin{guidebox}{易错点}
二维径向调和函数含 $\log r$，三维径向调和函数含 $1/r$。不要把两者混在一起。
\end{guidebox}

\section{题 2：平均值公式}
\begin{example}{由边界积分求中心值}{selected-mean}
设 $u$ 在包含闭圆盘 $\overline{B(0,3)}$ 的区域中调和，且圆周 $r=3$ 上
\[
  u(3,\theta)=5+2\cos\theta+\sin 4\theta.
\]
求 $u(0)$。此题改写自 Strauss 圆盘平均值与 Fourier 模式题型。
\end{example}

\begin{solution}
圆心值等于圆周平均：
\[
  u(0)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}(5+2\cos\theta+\sin4\theta)\dd\theta.
\]
三角项平均为零，所以
\[
  u(0)=5.
\]
从 Fourier 角度看，圆心只保留常数项，所有 $n\ge1$ 的模式都被 $r^n$ 消去。
\end{solution}

\section{题 3：极值原理排除解}
\begin{example}{边界为零的正调和函数不存在}{selected-max}
设 $\Omega$ 有界连通，$u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ 调和，且 $u=0$ 于 $\pd\Omega$。证明 $u\equiv0$。此题是 Evans 和 Strauss 中唯一性论证的核心原型。
\end{example}

\begin{solution}
极值原理给出
\[
  \max_{\overline\Omega}u=\max_{\pd\Omega}u=0,
\]
所以 $u\le0$。对 $-u$ 再用极值原理：
\[
  \max_{\overline\Omega}(-u)=\max_{\pd\Omega}(-u)=0,
\]
所以 $-u\le0$，即 $u\ge0$。两者合并得 $u=0$。
\end{solution}

\section{题 4：Liouville 型题目}
\begin{example}{有界全空间调和函数}{selected-liouville}
设 $u$ 在 $\R^n$ 中调和，且 $\abs{u(x)}\le M$。证明 $u$ 为常数。此题改写自 Evans Liouville 定理。
\end{example}

\begin{solution}
由调和函数导数估计，对任意 $R>0$，
\[
  \abs{Du(x_0)}\le \frac{C}{R}\sup_{B(x_0,R)}\abs{u}
  \le \frac{CM}{R}.
\]
令 $R\to\infty$，得 $Du(x_0)=0$。由于 $x_0$ 任意，$Du\equiv0$，故 $u$ 为常数。
\end{solution}

\section{题 5：圆盘 Dirichlet 问题}
\begin{example}{三角多项式边界值}{selected-disk}
求单位圆盘中满足
\[
  \Delta u=0,\qquad u(1,\theta)=1-2\cos2\theta+5\sin3\theta
\]
的有界解。此题改写自 Strauss §6.3。
\end{example}

\begin{solution}
第 $n$ 阶三角模式在圆盘内乘 $r^n$，所以
\[
  u(r,\theta)=1-2r^2\cos2\theta+5r^3\sin3\theta.
\]
\end{solution}

\section{题 6：矩形分离变量}
\begin{example}{三边为零一边为正弦级数}{selected-rect}
在 $0<x<\pi,\ 0<y<2$ 中求调和函数，满足
\[
  u(0,y)=u(\pi,y)=u(x,0)=0,\qquad
  u(x,2)=4\sin x-\sin3x.
\]
\end{example}

\begin{solution}
形式为
\[
  u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sinh(ny)\sin nx.
\]
由 $y=2$，
\[
  A_n\sinh(2n)
\]
等于边界正弦级数的第 $n$ 个系数。因此
\[
  A_1=\frac4{\sinh2},\qquad
  A_3=-\frac1{\sinh6},
\]
其余为零。故
\[
  u(x,y)=4\frac{\sinh y}{\sinh2}\sin x
  -\frac{\sinh3y}{\sinh6}\sin3x.
\]
\end{solution}

\section{题 7：Neumann 兼容条件}
\begin{example}{判断是否有解}{selected-neumann}
设 $\Omega$ 是单位圆盘。判断
\[
  -\Delta u=2,\qquad \frac{\pd u}{\pd\bsnu}=1\quad\text{于 }\pd\Omega
\]
是否可能有解。
\end{example}

\begin{solution}
兼容条件为
\[
  \int_\Omega f\dd x+\int_{\pd\Omega}h\dd S=0.
\]
这里 $f=2$，$h=1$，所以
\[
  \int_\Omega2\dd x+\int_{\pd\Omega}1\dd S
  =2\pi+2\pi=4\pi\ne0.
\]
因此无解。
\end{solution}

\section{题 8：Green 第一恒等式}
\begin{example}{能量估计}{selected-energy}
设 $u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline\Omega)$ 满足
\[
  -\Delta u=f,\qquad u=0\quad\text{于 }\pd\Omega.
\]
证明
\[
  \int_\Omega\abs{Du}^2\dd x=\int_\Omega fu\dd x.
\]
此题改写自 Evans 能量方法和弱形式推导。
\end{example}

\begin{solution}
将方程乘以 $u$ 并积分：
\[
  \int_\Omega fu\dd x=\int_\Omega(-\Delta u)u\dd x.
\]
由 Green 第一恒等式，
\[
  \int_\Omega(-\Delta u)u\dd x
  =\int_\Omega\abs{Du}^2\dd x
  -\int_{\pd\Omega}u\frac{\pd u}{\pd\bsnu}\dd S.
\]
边界上 $u=0$，边界项为零，故结论成立。
\end{solution}

\section{题 9：弱形式}
\begin{example}{Robin 问题的弱形式}{selected-robin-weak}
形式写出
\[
  -\Delta u=f\quad\text{于 }\Omega,\qquad
  \frac{\pd u}{\pd\bsnu}+\alpha u=g\quad\text{于 }\pd\Omega
\]
的弱形式，其中 $\alpha>0$。此题按谷超豪第三边值问题和 Evans 弱形式方法改写。
\end{example}

\begin{solution}
乘以测试函数 $v\in H^1(\Omega)$，分部积分：
\[
  \int_\Omega Du\cdot Dv\dd x
  -\int_{\pd\Omega}\frac{\pd u}{\pd\bsnu}v\dd S
  =\int_\Omega fv\dd x.
\]
由边界条件 $\frac{\pd u}{\pd\bsnu}=g-\alpha u$，代入得
\[
  \int_\Omega Du\cdot Dv\dd x
  +\int_{\pd\Omega}\alpha uv\dd S
  =
  \int_\Omega fv\dd x+\int_{\pd\Omega}gv\dd S.
\]
这就是 Robin 问题的弱形式。
\end{solution}

\section{题 10：从四边非齐次到叠加}
\begin{example}{线性叠加思想}{selected-superposition}
矩形 $R=(0,a)\times(0,b)$ 上的 Dirichlet 问题
\[
  \Delta u=0
\]
四条边分别给定 $g_1,g_2,g_3,g_4$。说明为什么可拆成四个只在一条边非零的问题。此题按 Strauss §6.2 的矩形求解策略整理。
\end{example}

\begin{solution}
Laplace 方程是线性的，边界取值也是线性的。令 $u_i$ 解第 $i$ 个问题：第 $i$ 条边取原来的数据 $g_i$，其余三条边取零。则
\[
  \Delta(u_1+u_2+u_3+u_4)=0,
\]
并且在每条边上，只有对应的 $u_i$ 贡献非零边界值。因此
\[
  u=u_1+u_2+u_3+u_4
\]
就是原问题的解。唯一性保证这种构造若成功就是唯一解。
\end{solution}

\chapter*{参考书目}
\addcontentsline{toc}{chapter}{参考书目}
\begin{enumerate}
  \item Lawrence C. Evans, \emph{Partial Differential Equations}, Second Edition. 讲义的调和函数性质、基本解、Green 函数、能量方法主线主要参考第 2.2 节及相关椭圆方程章节。
  \item Walter A. Strauss, \emph{Partial Differential Equations: An Introduction}, Second Edition. 讲义的物理例子、矩形与圆盘显式解、Fourier 级数计算题主要参考第 4--6 章及相关习题。
  \item 谷超豪、李大潜、陈恕行，《数学物理方程》第 3 版。讲义的中文课程体系、第一/第二/第三边值问题、分离变量法与 Green 函数法的组织方式参考该书。
\end{enumerate}

\end{document}
