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\title{线性微分方程组与高阶线性微分方程：理论与方法详解}
\author{}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
本文系统整理线性微分方程组（包括高阶线性微分方程）的核心理论，并详细说明每个定理的用法，辅以详尽实例。内容分为三个层次：
\begin{enumerate}
    \item \textbf{一般理论（变系数）}：解的存在唯一性、齐次解空间的线性结构（维数$n$、基本解组）、朗斯基行列式与刘维尔公式、非齐次方程的常数变易法。
    \item \textbf{常系数情形}：矩阵指数函数的定义与性质、利用若尔当标准形或待定指数函数法求解基解矩阵。
    \item \textbf{高阶线性微分方程}：化为一阶方程组、特征多项式法求解常系数高阶方程。
\end{enumerate}
每个定理后均配有“用法说明”和具体数值例子，帮助读者掌握实际计算步骤。
\end{abstract}

\section{核心主旨概述}

\begin{enumerate}
    \item \textbf{主旨一（最重要）}：线性微分方程组（含高阶方程）存在统一的理论框架——解的存在唯一性、齐次解构成$n$维线性空间、朗斯基行列式判定线性无关、非齐次方程通解结构（常数变易法）。这些是进一步研究的基础。
    \item \textbf{主旨二}：常系数线性微分方程组可通过矩阵指数函数$e^{x\boldsymbol{A}}$获得显式解，结合若尔当标准形或特征向量法可将解表示为初等函数（指数、多项式、三角函数）的有限组合。
    \item \textbf{主旨三}：高阶线性微分方程可化为一阶方程组，从而继承所有理论；特别地，常系数高阶方程直接采用特征多项式法求解，无需构造矩阵指数。
\end{enumerate}

\section{线性微分方程组的一般理论（变系数）}

\subsection{基本形式与记号}

考虑$n$阶线性微分方程组
\[
\frac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}x} = \sum_{j=1}^n a_{ij}(x)y_j + f_i(x),\qquad i=1,\dots,n,
\]
其中$a_{ij}(x), f_i(x)$在区间$(a,b)$上连续。引入
\[
\boldsymbol{A}(x)=(a_{ij}(x))_{n\times n},\quad \boldsymbol{y}=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{f}(x)=\begin{pmatrix}f_1(x)\\\vdots\\f_n(x)\end{pmatrix},
\]
则方程组简化为向量形式
\begin{equation}\label{eq:nonhom}
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{y}}{\mathrm{d}x} = \boldsymbol{A}(x)\boldsymbol{y} + \boldsymbol{f}(x).
\end{equation}
当$\boldsymbol{f}(x)\equiv\boldsymbol{0}$时称为\textbf{齐次}方程组，否则为\textbf{非齐次}。

\subsection{存在唯一性定理}

\begin{theorem}[存在唯一性定理]
对于任意给定的初值$x_0\in(a,b)$和$\boldsymbol{y}_0\in\mathbb{R}^n$，初值问题
\[
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{y}}{\mathrm{d}x} = \boldsymbol{A}(x)\boldsymbol{y} + \boldsymbol{f}(x),\qquad \boldsymbol{y}(x_0)=\boldsymbol{y}_0
\]
在区间$(a,b)$上存在唯一解。
\end{theorem}

\begin{remark}[用法说明]
该定理是后续所有理论的基石，它保证了解的存在区间就是系数连续的最大区间，且初值条件与解一一对应。在应用中，只要系数函数连续，我们就能放心地寻找通解，而不会出现解突然“爆炸”或丢失的情况。
\end{remark}

\begin{example}[存在唯一性实例]
考虑一阶线性方程$y' = \frac{1}{x}y + 1$，区间$(0,\infty)$上系数连续。定理保证：对任意$x_0>0$和初值$y(x_0)=y_0$，解存在唯一。实际求解得$y = x\ln x + Cx$，确实处处存在。
\end{example}

\subsection{齐次线性微分方程组}

记齐次方程组
\begin{equation}\label{eq:hom}
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{y}}{\mathrm{d}x} = \boldsymbol{A}(x)\boldsymbol{y}
\end{equation}
的解集合为$S$。

\subsubsection{线性性质（叠加原理）}

\begin{lemma}[叠加原理]
若$\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_2\in S$，则对任意常数$C_1,C_2$，$C_1\boldsymbol{y}_1+C_2\boldsymbol{y}_2\in S$。
\end{lemma}
\begin{proof}
直接代入验证即可。
\end{proof}
因此$S$是一个线性空间。

\subsubsection{解空间的维数}

\begin{lemma}
线性空间$S$的维数等于$n$。
\end{lemma}
\begin{proof}[证明思路]
固定$x_0$，定义映射$H:\mathbb{R}^n\to S$，$\boldsymbol{y}_0\mapsto \boldsymbol{y}(x)$（初值问题的解）。由存在唯一性，$H$是双射且线性，故为同构，从而$\dim S = \dim\mathbb{R}^n = n$。
\end{proof}

\begin{remark}[用法说明]
这个引理告诉我们：齐次方程组恰好有$n$个线性无关的解，任何其他解都可以表示为它们的线性组合。因此，求解齐次方程组的任务就是找到$n$个线性无关的解（即基本解组）。
\end{remark}

\subsubsection{基本解组与通解}

\begin{definition}
齐次方程组\eqref{eq:hom}的$n$个线性无关的解称为一个\textbf{基本解组}。若$\boldsymbol{\varphi}_1(x),\dots,\boldsymbol{\varphi}_n(x)$是一个基本解组，则通解为
\[
\boldsymbol{y} = C_1\boldsymbol{\varphi}_1(x) + \cdots + C_n\boldsymbol{\varphi}_n(x),\quad C_i\in\mathbb{R}.
\]
\end{definition}

\subsubsection{朗斯基行列式与线性无关性判别}

给定$n$个解$\boldsymbol{y}_1(x),\dots,\boldsymbol{y}_n(x)$，构造矩阵$\boldsymbol{Y}(x)=(\boldsymbol{y}_1,\dots,\boldsymbol{y}_n)$，其行列式
\[
W(x)=\det\boldsymbol{Y}(x)
\]
称为\textbf{朗斯基行列式}。

\begin{theorem}[刘维尔公式]
朗斯基行列式满足
\[
W(x) = W(x_0)\exp\left(\int_{x_0}^x \operatorname{tr}[\boldsymbol{A}(s)]\,\mathrm{d}s\right),\quad a<x<b,
\]
其中$\operatorname{tr}[\boldsymbol{A}(x)] = \sum_{i=1}^n a_{ii}(x)$是矩阵的迹。
\end{theorem}
\begin{proof}
对$W(x)$求导，利用行列式的微分法则和方程组\eqref{eq:hom}，可得$W' = (\operatorname{tr}\boldsymbol{A})W$，积分即得。
\end{proof}

由刘维尔公式立即得到：$W(x)$要么恒为零，要么恒不为零（因为指数因子永不为零）。

\begin{theorem}[朗斯基判别法]
解组$\boldsymbol{y}_1,\dots,\boldsymbol{y}_n$线性无关 $\iff$ $W(x)\neq 0$（对某个（从而所有）$x\in(a,b)$）。
\end{theorem}
\begin{remark}[用法说明]
实际判别时，只需计算朗斯基行列式在某一点$x_0$的值（通常选方便的点，如$x_0=0$），若$W(x_0)\neq0$，则解组线性无关，构成基本解组；若$W(x_0)=0$，则解组线性相关。注意：对于非解的函数组，$W(x_0)=0$不能直接推出线性相关，但这里针对的是解组，结论成立。
\end{remark}

\begin{example}[朗斯基判别法应用]
验证方程组
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
\cos^2 x & \frac{1}{2}\sin2x-1\\[2pt]
\frac{1}{2}\sin2x+1 & \sin^2 x
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}
\]
的两个解$\boldsymbol{\varphi}_1(x)=\begin{pmatrix}e^x\cos x\\ e^x\sin x\end{pmatrix}$和$\boldsymbol{\varphi}_2(x)=\begin{pmatrix}-\sin x\\ \cos x\end{pmatrix}$是否构成基本解组？

\textbf{解法}：计算朗斯基行列式在$x=0$的值：
\[
W(0)=\begin{vmatrix}
e^0\cos0 & -\sin0\\
e^0\sin0 & \cos0
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{vmatrix}=1\neq0.
\]
因此两解线性无关，构成基本解组。通解为$\boldsymbol{y}=C_1\boldsymbol{\varphi}_1(x)+C_2\boldsymbol{\varphi}_2(x)$。
\end{example}

\subsection{非齐次线性微分方程组}

\begin{theorem}[常数变易法]
设$\boldsymbol{\Phi}(x)$是齐次方程组\eqref{eq:hom}的一个基解矩阵（即列向量构成基本解组），则非齐次方程组\eqref{eq:nonhom}的通解为
\[
\boldsymbol{y} = \boldsymbol{\Phi}(x)\left(\boldsymbol{c} + \int_{x_0}^x \boldsymbol{\Phi}^{-1}(s)\boldsymbol{f}(s)\,\mathrm{d}s\right),
\]
其中$\boldsymbol{c}$是任意常数列向量。满足初值$\boldsymbol{y}(x_0)=\boldsymbol{y}_0$的特解为
\[
\boldsymbol{y} = \boldsymbol{\Phi}(x)\boldsymbol{\Phi}^{-1}(x_0)\boldsymbol{y}_0 + \boldsymbol{\Phi}(x)\int_{x_0}^x \boldsymbol{\Phi}^{-1}(s)\boldsymbol{f}(s)\,\mathrm{d}s.
\]
\end{theorem}
\begin{remark}[用法说明]
常数变易法的步骤：
\begin{enumerate}
    \item 求出齐次方程的一个基解矩阵$\boldsymbol{\Phi}(x)$（即$n$个线性无关的解向量作为列）。
    \item 计算$\boldsymbol{\Phi}^{-1}(x)$。
    \item 计算积分$\int_{x_0}^x \boldsymbol{\Phi}^{-1}(s)\boldsymbol{f}(s)\,\mathrm{d}s$。
    \item 乘以$\boldsymbol{\Phi}(x)$并加上齐次通解部分。
\end{enumerate}
注意：该公式理论上完整，但实际计算中求$\boldsymbol{\Phi}^{-1}(x)$的积分往往困难，故仅适用于简单情况或理论分析。
\end{remark}

\begin{example}[常数变易法完整示例]
使用前面例子中的基解矩阵$\boldsymbol{\Phi}(x)=\begin{pmatrix}e^x\cos x & -\sin x\\ e^x\sin x & \cos x\end{pmatrix}$，求解非齐次方程组
\[
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{y}}{\mathrm{d}x} = \boldsymbol{A}(x)\boldsymbol{y} + \begin{pmatrix}\cos x\\ \sin x\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{y}(0)=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}.
\]

\textbf{详细步骤}：
\begin{enumerate}
    \item 验证$\boldsymbol{\Phi}(x)$确为基解矩阵（已在例中验证$W(0)=1\neq0$）。
    \item 计算$\boldsymbol{\Phi}^{-1}(x)$。由$\boldsymbol{\Phi}(x)=\begin{pmatrix}e^x\cos x & -\sin x\\ e^x\sin x & \cos x\end{pmatrix}$，其行列式
    \[
    \det\boldsymbol{\Phi}(x)=e^x\cos x\cdot\cos x - (-\sin x)\cdot e^x\sin x = e^x(\cos^2x+\sin^2x)=e^x.
    \]
    利用逆矩阵公式$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$，得
    \[
    \boldsymbol{\Phi}^{-1}(x)=\frac{1}{e^x}\begin{pmatrix}\cos x & \sin x\\ -e^x\sin x & e^x\cos x\end{pmatrix}
    =\begin{pmatrix}e^{-x}\cos x & e^{-x}\sin x\\ -\sin x & \cos x\end{pmatrix}.
    \]
    \item 计算积分：
    \[
    \int_0^x \boldsymbol{\Phi}^{-1}(s)\begin{pmatrix}\cos s\\ \sin s\end{pmatrix}\mathrm{d}s
    = \int_0^x \begin{pmatrix}
        e^{-s}\cos s\cdot\cos s + e^{-s}\sin s\cdot\sin s\\
        -\sin s\cdot\cos s + \cos s\cdot\sin s
    \end{pmatrix}\mathrm{d}s
    = \int_0^x \begin{pmatrix}e^{-s}\\0\end{pmatrix}\mathrm{d}s = \begin{pmatrix}1-e^{-x}\\0\end{pmatrix}.
    \]
    \item 初值条件$\boldsymbol{y}(0)=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$对应$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{\Phi}^{-1}(0)\boldsymbol{y}_0 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$。
    \item 特解部分：$\boldsymbol{\Phi}(x)\int_0^x \cdots = \begin{pmatrix}e^x\cos x & -\sin x\\ e^x\sin x & \cos x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1-e^{-x}\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}(e^x-1)\cos x\\ (e^x-1)\sin x\end{pmatrix}$。
    \item 加上齐次部分$\boldsymbol{\Phi}(x)\boldsymbol{c} = \begin{pmatrix}e^x\cos x & -\sin x\\ e^x\sin x & \cos x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\sin x\\ \cos x\end{pmatrix}$。
    \item 最终解：
    \[
    \boldsymbol{y}(x)=\begin{pmatrix}-\sin x\\ \cos x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}(e^x-1)\cos x\\ (e^x-1)\sin x\end{pmatrix}
    = \begin{pmatrix}(e^x-1)\cos x - \sin x\\ (e^x-1)\sin x + \cos x\end{pmatrix}.
    \]
\end{enumerate}
\end{example}

\section{常系数线性微分方程组}

当系数矩阵$\boldsymbol{A}$为常数矩阵时，方程组变为
\begin{equation}\label{eq:const}
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{y}}{\mathrm{d}x} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{y} + \boldsymbol{f}(x).
\end{equation}
此时可利用矩阵指数函数给出显式解。

\subsection{矩阵指数函数}

\begin{definition}
矩阵指数函数定义为幂级数
\[
e^{\boldsymbol{A}} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\boldsymbol{A}^k}{k!} = \boldsymbol{E} + \boldsymbol{A} + \frac{\boldsymbol{A}^2}{2!} + \cdots,
\]
该级数对任意矩阵绝对收敛。
\end{definition}

重要性质：
\begin{itemize}
    \item 若$\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}$，则$e^{\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}}=e^{\boldsymbol{A}}e^{\boldsymbol{B}}$。
    \item $e^{\boldsymbol{A}}$可逆，且$(e^{\boldsymbol{A}})^{-1}=e^{-\boldsymbol{A}}$。
    \item 对可逆矩阵$\boldsymbol{P}$，$e^{\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}^{-1}} = \boldsymbol{P}e^{\boldsymbol{A}}\boldsymbol{P}^{-1}$。
\end{itemize}

\subsection{齐次常系数方程组的基本解矩阵}

\begin{theorem}
$\boldsymbol{\Phi}(x)=e^{x\boldsymbol{A}}$是齐次方程组$\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{y}}{\mathrm{d}x}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{y}$的一个基解矩阵，且满足$\boldsymbol{\Phi}(0)=\boldsymbol{E}$（标准基解矩阵）。
\end{theorem}
\begin{proof}
逐项求导得$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{x\boldsymbol{A}}=\boldsymbol{A}e^{x\boldsymbol{A}}$，且$\det(e^{0\cdot\boldsymbol{A}})=\det\boldsymbol{E}=1\neq0$。
\end{proof}

于是非齐次方程\eqref{eq:const}的解为
\[
\boldsymbol{y}=e^{x\boldsymbol{A}}\boldsymbol{c}+\int_{x_0}^x e^{(x-s)\boldsymbol{A}}\boldsymbol{f}(s)\,\mathrm{d}s,\qquad
\boldsymbol{y}(x_0)=\boldsymbol{y}_0\;\Longrightarrow\; \boldsymbol{y}=e^{(x-x_0)\boldsymbol{A}}\boldsymbol{y}_0+\int_{x_0}^x e^{(x-s)\boldsymbol{A}}\boldsymbol{f}(s)\,\mathrm{d}s.
\]

\subsection{计算$e^{x\boldsymbol{A}}$的实用方法}

\subsubsection{方法一：若尔当标准形法}

任何矩阵$\boldsymbol{A}$可化为若尔当标准形$\boldsymbol{J}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$，则$e^{x\boldsymbol{A}}=\boldsymbol{P}e^{x\boldsymbol{J}}\boldsymbol{P}^{-1}$。若尔当块$\boldsymbol{J}_i$（特征值$\lambda_i$，阶数$n_i$）对应的指数为
\[
e^{x\boldsymbol{J}_i}=e^{\lambda_i x}
\begin{pmatrix}
1 & x & \frac{x^2}{2!} & \cdots & \frac{x^{n_i-1}}{(n_i-1)!}\\
0 & 1 & x & \cdots & \frac{x^{n_i-2}}{(n_i-2)!}\\
\vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & 0 & 1 & x\\
0 & \cdots & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]

\begin{example}[若尔当形法示例]
计算$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$的矩阵指数。$\boldsymbol{A}$已经是若尔当块（$\lambda=1$，$n=2$），直接应用公式：
\[
e^{x\boldsymbol{A}}=e^{x}\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^x & xe^x\\0&e^x\end{pmatrix}.
\]
\end{example}

\subsubsection{方法二：待定指数函数法（特征向量法）}

当$\boldsymbol{A}$有$n$个线性无关的特征向量时（例如特征值互异），可直接构造基解矩阵。

\begin{theorem}
设$\boldsymbol{r}_1,\dots,\boldsymbol{r}_n$是$\boldsymbol{A}$的$n$个线性无关的特征向量，对应的特征值为$\lambda_1,\dots,\lambda_n$（可重复），则
\[
\boldsymbol{\Phi}(x)=\big(e^{\lambda_1 x}\boldsymbol{r}_1,\; e^{\lambda_2 x}\boldsymbol{r}_2,\; \dots,\; e^{\lambda_n x}\boldsymbol{r}_n\big)
\]
是齐次方程组的一个基解矩阵。
\end{theorem}
\begin{remark}[用法说明]
步骤：
\begin{enumerate}
    \item 求特征多项式$\det(\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=0$，得到特征值。
    \item 对每个特征值$\lambda_i$，求特征向量$\boldsymbol{r}_i$满足$(\boldsymbol{A}-\lambda_i\boldsymbol{E})\boldsymbol{r}_i=0$。
    \item 若所有特征值互异，则特征向量自动线性无关，直接构造基解矩阵。
    \item 若特征值有重根但仍有足够多的线性无关特征向量（即$\boldsymbol{A}$可对角化），同样适用。
\end{enumerate}
\end{remark}

\begin{example}[特征值互异情形]
求解$\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{y}}{\mathrm{d}x}=\begin{pmatrix}5&-28&-18\\-1&5&3\\3&-16&-10\end{pmatrix}\boldsymbol{y}$。

\textbf{详细步骤}：
\begin{enumerate}
    \item 计算特征多项式：$\det(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E})= \lambda(1-\lambda^2)$，故特征值$\lambda_1=0,\ \lambda_2=1,\ \lambda_3=-1$（互异）。
    \item 求特征向量：
        \begin{itemize}
            \item $\lambda=0$：解$(\boldsymbol{A}-0\boldsymbol{E})\boldsymbol{r}=0$，得$\boldsymbol{r}_1=(-2,-1,1)^\mathrm{T}$。
            \item $\lambda=1$：解$(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})\boldsymbol{r}=0$，得$\boldsymbol{r}_2=(2,-1,2)^\mathrm{T}$。
            \item $\lambda=-1$：解$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})\boldsymbol{r}=0$，得$\boldsymbol{r}_3=(3,0,1)^\mathrm{T}$。
        \end{itemize}
    \item 构造基解矩阵：$\boldsymbol{\Phi}(x)=\big(e^{0\cdot x}\boldsymbol{r}_1,\ e^{1\cdot x}\boldsymbol{r}_2,\ e^{-1\cdot x}\boldsymbol{r}_3\big)$。
    \item 通解：$\boldsymbol{y}=C_1\boldsymbol{r}_1 + C_2 e^{x}\boldsymbol{r}_2 + C_3 e^{-x}\boldsymbol{r}_3$。
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{example}[复特征值处理]
求解$\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{y}}{\mathrm{d}x}=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\boldsymbol{y}$。

\textbf{详细步骤}：
\begin{enumerate}
    \item 特征方程$\lambda^2-2\lambda+2=0$，根$\lambda=1\pm i$。
    \item 求特征向量：对$\lambda=1+i$，解$(\boldsymbol{A}-(1+i)\boldsymbol{E})\boldsymbol{r}=0$，得$\boldsymbol{r}_1=(1,i)^\mathrm{T}$；对$\lambda=1-i$，得$\boldsymbol{r}_2=(i,1)^\mathrm{T}$。
    \item 构造复值基解矩阵：$\boldsymbol{\Phi}(x)=\big(e^{(1+i)x}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix},\ e^{(1-i)x}\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}\big)$。
    \item 提取实值解：第一列$e^{(1+i)x}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}=e^x(\cos x+i\sin x)\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}=e^x\begin{pmatrix}\cos x\\ -\sin x\end{pmatrix}+i e^x\begin{pmatrix}\sin x\\ \cos x\end{pmatrix}$，其实部和虚部即为两个实值线性无关解。
    \item 实值通解：$\boldsymbol{y}=C_1 e^x\begin{pmatrix}\cos x\\ -\sin x\end{pmatrix}+C_2 e^x\begin{pmatrix}\sin x\\ \cos x\end{pmatrix}$。
\end{enumerate}
\end{example}

\section{高阶线性微分方程}

$n$阶线性微分方程
\begin{equation}\label{eq:high}
y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x)y' + a_n(x)y = f(x)
\end{equation}
可通过引入新变量$y_1=y,\ y_2=y',\ \dots,\ y_n=y^{(n-1)}$化为一阶方程组：
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0&1&0&\cdots&0\\
0&0&1&\cdots&0\\
\vdots&&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&0&\cdots&0&1\\
-a_n&-a_{n-1}&\cdots&-a_2&-a_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\f(x)\end{pmatrix}.
\]
因此前两节的所有理论可直接应用，只需关注第一个分量即可得到关于$y$的结论。

\subsection{齐次高阶方程的一般理论}

设$\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x)$是齐次方程（$f\equiv0$）的$n$个解，则它们的朗斯基行列式为
\[
W(x)=\begin{vmatrix}
\varphi_1 & \varphi_2 & \cdots & \varphi_n\\
\varphi_1' & \varphi_2' & \cdots & \varphi_n'\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
\varphi_1^{(n-1)} & \varphi_2^{(n-1)} & \cdots & \varphi_n^{(n-1)}
\end{vmatrix}.
\]
刘维尔公式简化为$W(x)=W(x_0)\exp\left(-\int_{x_0}^x a_1(s)\,\mathrm{d}s\right)$，因为此时$\operatorname{tr}\boldsymbol{A}(x)=-a_1(x)$。

\begin{example}[已知一个解求通解（二阶）]
对二阶方程$y''+p(x)y'+q(x)y=0$，若已知一个非零解$\varphi(x)$，则另一个线性无关解为
\[
\psi(x)=\varphi(x)\int\frac{1}{\varphi(x)^2}\exp\left(-\int p(x)\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}x.
\]
通解为$y=C_1\varphi(x)+C_2\psi(x)$。

\textbf{具体例子}：求解$y''-\frac{2}{x}y'+\frac{2}{x^2}y=0$（$x>0$）。观察得$\varphi(x)=x$是一个解。计算：
\[
\int p(x)\,\mathrm{d}x = \int -\frac{2}{x}\,\mathrm{d}x = -2\ln x,\quad e^{-\int p}=x^2.
\]
则$\psi(x)=x\int\frac{x^2}{x^2}\mathrm{d}x = x\int 1\,\mathrm{d}x = x^2$（取一个原函数）。故通解$y=C_1x+C_2x^2$。
\end{example}

\subsection{非齐次高阶方程的常数变易法}

若已知齐次方程的一个基本解组$\varphi_1,\dots,\varphi_n$，则非齐次方程\eqref{eq:high}的一个特解为
\[
\varphi^*(x)=\sum_{k=1}^n \varphi_k(x)\int_{x_0}^x \frac{W_k(s)}{W(s)}f(s)\,\mathrm{d}s,
\]
其中$W_k(s)$是将$W(s)$中第$k$列替换为$(0,\dots,0,1)^\mathrm{T}$所得的行列式。

对于二阶方程，公式简化为
\[
y_p(x)=\int_{x_0}^x \frac{\varphi_1(s)\varphi_2(x)-\varphi_1(x)\varphi_2(s)}{\varphi_1(s)\varphi_2'(s)-\varphi_2(s)\varphi_1'(s)}f(s)\,\mathrm{d}s.
\]

\begin{example}[二阶非齐次方程]
求解$y''-2y'+y=e^x$。齐次方程特征方程$(\lambda-1)^2=0$，基本解组$\varphi_1=e^x,\ \varphi_2=xe^x$。朗斯基行列式$W=e^{2x}$。代入公式：
\[
y_p(x)=\int_0^x \frac{e^s\cdot xe^x - e^x\cdot se^s}{e^{2s}} e^s\,\mathrm{d}s
= e^x\int_0^x (x-s)\,\mathrm{d}s = e^x\cdot\frac{x^2}{2}.
\]
通解$y=C_1e^x+C_2xe^x+\frac{x^2}{2}e^x$。
\end{example}

\subsection{常系数高阶方程}

当$a_1,\dots,a_n$为常数时，方程\eqref{eq:high}称为常系数线性微分方程。齐次方程
\[
y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_ny=0
\]
的特征方程为$\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_n=0$。基本解组由特征根决定：

\begin{theorem}[特征根法]
设特征根为$\lambda_1,\dots,\lambda_s$，重数$n_1,\dots,n_s$（$\sum n_i=n$），则基本解组为
\[
e^{\lambda_1 x},\ xe^{\lambda_1 x},\ \dots,\ x^{n_1-1}e^{\lambda_1 x};\quad \cdots;\quad e^{\lambda_s x},\ xe^{\lambda_s x},\ \dots,\ x^{n_s-1}e^{\lambda_s x}.
\]
若特征根为复数$\alpha\pm i\beta$，则对应实值解为$e^{\alpha x}\cos\beta x,\ e^{\alpha x}\sin\beta x$及其乘以$x$的幂次形式。
\end{theorem}

\begin{remark}[用法说明]
步骤：
\begin{enumerate}
    \item 写出特征方程，求解所有特征根（包括复根）。
    \item 根据每个根的重数，写出对应的解函数。
    \item 将所有解函数线性组合即得通解。
\end{enumerate}
\end{remark}

\begin{example}[单根情形]
求解$y'''-y''-2y'=0$。特征方程$\lambda^3-\lambda^2-2\lambda=\lambda(\lambda+1)(\lambda-2)=0$，根$0,-1,2$（均为单根），基本解组$1,\ e^{-x},\ e^{2x}$，通解$y=C_1+C_2e^{-x}+C_3e^{2x}$。
\end{example}

\begin{example}[重根情形]
求解$y''+2y'+y=0$。特征方程$(\lambda+1)^2=0$，二重根$\lambda=-1$，基本解组$e^{-x},\ xe^{-x}$，通解$y=(C_1+C_2x)e^{-x}$。
\end{example}

\begin{example}[复根情形]
求解$y''+y=0$。特征方程$\lambda^2+1=0$，根$\pm i$，基本解组$\cos x,\ \sin x$，通解$y=C_1\cos x+C_2\sin x$。
\end{example}

\section{总结}

\begin{itemize}
    \item 线性微分方程组的一般理论（存在唯一性、齐次解空间维数、朗斯基判别法、常数变易法）是处理所有线性系统的通用框架。
    \item 对于常系数情形，矩阵指数函数提供了统一的显式解，通过若尔当标准形或特征向量法可实际计算出初等函数形式的解。
    \item 高阶线性微分方程可化为一阶方程组，从而继承全部理论；常系数高阶方程直接使用特征多项式法，最为简便实用。
\end{itemize}

\end{document}