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\fancyfoot[C]{原子物理学笔记}

% 文档开始
\begin{document}

\begin{center}
    \huge \textbf{原子物理学基础笔记} \\[0.5cm]
    \normalsize \today
\end{center}
\vspace{1cm}

\tableofcontents
\newpage

%=================== 第一章 ===================
\section{卢瑟福散射的应用：卢瑟福背散射仪}

\subsection{卢瑟福散射回顾}
1911年，卢瑟福用$\alpha$粒子轰击金箔，发现绝大多数$\alpha$粒子穿过金箔，但有极少部分（约$1/8000$）发生大角度散射，甚至被弹回。这一现象证明原子内部存在一个体积很小、质量很大、带正电的\textbf{原子核}，从而确立了原子的核式结构。

卢瑟福背散射仪（Rutherford Backscattering Spectrometry，RBS）正是基于这一原理发展起来的材料分析技术。

\subsection{RBS的基本原理}
用一束能量已知的轻离子（通常为$He^+$，即$\alpha$粒子）轰击样品，测量被样品原子核背散射回来的离子能量。通过分析背散射离子的能量和产额，可以确定样品中的元素种类、含量以及深度分布。

\begin{mydef}{运动学因子}
当入射离子（质量$M_1$，能量$E_0$）与样品中质量为$M_2$的原子核发生弹性碰撞后，背散射离子的能量$E_1$与$E_0$之比称为运动学因子$K$：
\begin{equation}
K = \frac{E_1}{E_0} = \left( \frac{M_1\cos\theta + \sqrt{M_2^2 - M_1^2\sin^2\theta}}{M_1 + M_2} \right)^2
\end{equation}
其中$\theta$为实验室系中的散射角（通常取$170^\circ$左右）。由于$K$只与$M_1$、$M_2$和$\theta$有关，因此测量背散射离子的能量即可识别靶原子的质量（即元素种类）。
\end{mydef}

\begin{mydef}{能量损失与深度分析}
入射离子在进入样品和从样品中逸出的过程中，会与样品中的电子发生相互作用而连续损失能量（称为“阻止”或“能损”）。若某元素原子位于样品表面以下深度$x$处，则背散射离子被探测到的能量$E$会比表面原子对应的能量更低，且$x$越大，能量损失越多。通过精确测量能量损失，可以反推出该元素原子的深度分布。
\end{mydef}

\subsection{RBS仪器构成}
\begin{itemize}[itemsep=2pt]
    \item \textbf{离子源与加速器}：产生单能离子束（通常为几百keV至几MeV的$He^+$）。
    \item \textbf{准直器}：将离子束修剪成细而平行的束流。
    \item \textbf{靶室}：真空室，放置待测样品。
    \item \textbf{探测器}：高精度半导体探测器（如金硅面垒探测器），置于背向角度（如$170^\circ$），测量每个背散射离子的能量。
    \item \textbf{数据系统}：记录能谱并生成能谱图（横坐标能量，纵坐标计数）。
\end{itemize}

\subsection{能谱图解读示例}
假设样品为在硅衬底上镀有一层薄金膜（Au/Si）。典型的RBS能谱图呈现两个特征：
\begin{itemize}
    \item \textbf{高能端（金峰）}：由于Au原子质量大，$K$因子接近1，能量损失小，故在较高能量处形成一个窄峰，对应表面金膜。
    \item \textbf{低能端（硅平台）}：Si原子质量较轻，$K$较小，且硅原子分布在较深区域，能量损失范围宽，因此形成一个从某能量延伸到零的平台。
\end{itemize}
通过峰的位置可定性分析元素种类，通过峰的积分面积可定量计算含量，通过峰的展宽可确定薄膜厚度。

\subsection{RBS的优缺点}
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{@{}lll@{}}
\toprule
\textbf{特点} & \textbf{优点} & \textbf{缺点} \\ \midrule
准确性 & 绝对定量分析，无需标样 & 灵敏度较低（对轻元素不敏感） \\
深度分析 & 无损深度剖析（无需溅射） & 质量分辨率有限（难以区分相邻重元素） \\
速度 & 快速（几分钟至半小时） & 设备昂贵庞大，需要加速器 \\
样品 & 几乎无损 & 对轻元素（C、O、N等）信号弱 \\ \bottomrule
\end{tabular}
\caption{RBS优缺点总结}
\end{table}

\newpage

%=================== 第二章 ===================
\section{行星模型的历史意义及局限性}

\subsection{行星模型概述}
卢瑟福在$\alpha$散射实验基础上提出：原子由带正电的原子核和绕核旋转的电子组成，电子与核之间的库仑引力提供了向心力，类似于行星绕太阳的运动。

\subsection{历史意义}
\begin{itemize}
    \item \textbf{确立了原子的核式结构}：彻底否定了汤姆逊的“枣糕模型”，证明原子大部分是空的，正电荷与质量集中在核上。
    \item \textbf{引入“原子核”概念}：为原子物理、核物理研究奠定基础。
    \item \textbf{开创粒子束探针技术}：为后续各种散射分析技术（如RBS）提供了实验思想。
\end{itemize}

\subsection{四大局限性}
尽管行星模型正确描绘了原子的基本图像，但它与经典物理学及实验事实存在尖锐矛盾。

\subsubsection{1. 稳定性问题（原子应瞬间坍塌）}
根据经典电磁学，加速运动的带电粒子会辐射电磁波，从而损失能量。电子绕核做圆周运动是加速运动，因此应不断辐射能量，轨道半径逐渐减小，最终在$10^{-11}$秒量级内坠入原子核。但现实中原子的稳定存在与此预言相悖。

\subsubsection{2. 同一性问题（同种元素的原子性质应相同）}
经典理论允许电子在任意大小的轨道上运动，那么同种元素的不同原子可以有不同的轨道组态，导致物理化学性质不同。但实验表明同种元素的所有原子性质完全相同。

\subsubsection{3. 再生性问题（原子受扰动后能恢复原状）}
经典模型下，原子受到激发后轨道会发生永久性改变，无法解释原子在激发后如何恢复到初始状态（例如气体放电停止后原子恢复原状）。

\subsubsection{4. 与线状光谱的矛盾}
经典电磁学预言加速电子辐射的电磁波频率连续，因而原子光谱应为连续谱。但实验观测到的是\textbf{线状光谱}（分立的谱线），每种元素有独特的“指纹”谱线。行星模型无法解释分立的谱线结构。

\subsection{小结}
行星模型是原子结构认识史上的里程碑，但它暴露出的矛盾呼唤着全新的理论——量子论。正是为了克服这些困难，玻尔在卢瑟福模型基础上引入量子化条件，开启了原子物理学的量子时代。

\newpage

%=================== 第三章 ===================
\section{热辐射的物理含义及基本定义}

\subsection{热辐射的物理含义}
任何温度高于绝对零度的物体，其内部的带电粒子（电子、离子）由于热运动而向外辐射电磁波，这种现象称为\textbf{热辐射}。辐射的强度及光谱分布仅取决于物体的温度。

\subsection{基本定义}

\begin{mydef}{}
辐射本领 $E\left(\lambda,T\right)$是在单位时间内，从物体单位表面积向各个方向辐射出去的、在波长$\lambda$附近单位波长间隔内的能量。单位：$\mathrm{W/m^3}$（或$\mathrm{J/(s\cdot m^2\cdot m)}$）。
\end{mydef}

\begin{mydef}{}
吸收本领 $a\left(\lambda,T\right)$是当波长为$\lambda$的光照射到物体表面时，被吸收的能量与入射总能量之比，无量纲，取值范围$[0,1]$。
\end{mydef}

\subsection{基尔霍夫定律}
基尔霍夫发现，任何物体的辐射本领与吸收本领之比是一个仅依赖于波长和温度的普适函数，与物体自身性质无关：
\begin{equation}
\frac{E(\lambda,T)}{a(\lambda,T)} = f(\lambda,T)
\end{equation}
这一定律表明：\textbf{好的吸收体也是好的辐射体}。它引导人们寻找一种理想物体——黑体，其吸收本领恒为1，从而其辐射本领直接等于普适函数$f(\lambda,T)$。

\subsection{黑体}
\begin{mydef}{黑体}
在任何温度下，能完全吸收任何波长外来辐射而无反射和透射的理想物体，即$a(\lambda,T)\equiv 1$。
\end{mydef}
\textbf{黑体的实现}：一个开有小孔的空腔，从小孔入射的辐射经腔内壁多次反射吸收，几乎完全被吸收，因此小孔的行为近似于黑体表面。加热空腔时，从小孔发出的辐射即为\textbf{黑体辐射}，它代表了普适函数$f(\lambda,T)$。

\newpage

%=================== 第四章 ===================
\section{斯特藩-玻耳兹曼定律与维恩位移定律}

\subsection{斯特藩-玻耳兹曼定律}
\begin{myeq}{斯特藩-玻耳兹曼定律}
黑体单位表面积在单位时间内辐射的总能量（辐射出射度$M$）与其绝对温度$T$的四次方成正比：
\begin{equation}
M(T) = \sigma T^4
\end{equation}
其中$\sigma = 5.67\times 10^{-8}\,\mathrm{W/(m^2\cdot K^4)}$为斯特藩-玻耳兹曼常数。
\end{myeq}
\textbf{物理意义}：温度微小变化会引起辐射总功率的剧烈变化（$T$加倍，$M$变为16倍）。该定律常用于测量高温天体（如恒星）的温度。

\subsection{维恩位移定律}
\begin{myeq}{维恩位移定律}
黑体辐射的峰值波长$\lambda_{\mathrm{max}}$（即辐射强度最大的波长）与绝对温度$T$成反比：
\begin{equation}
\lambda_{\mathrm{max}} T = b
\end{equation}
其中$b = 2.898\times 10^{-3}\,\mathrm{m\cdot K}$为维恩位移常数。
\end{myeq}
\textbf{物理意义}：温度越高，辐射的主要颜色向短波（蓝端）移动。例如：
\begin{itemize}
    \item 低温恒星（约3500K）呈红色；
    \item 太阳（约5800K）峰值在黄绿光，呈黄色；
    \item 高温恒星（约10000K）呈蓝色。
\end{itemize}
该定律是分析恒星温度、判断物体发热颜色的重要工具。

\newpage

%=================== 第五章 ===================
\section{普朗克黑体辐射公式}

\subsection{经典理论的困境}
\begin{itemize}
    \item \textbf{维恩公式（1896）}：在短波（高频）区域与实验吻合，长波区域偏离。
    \item \textbf{瑞利-金斯公式（1900）}：在长波区域与实验吻合，但短波区域能量趋向无穷大，即“紫外灾难”。
\end{itemize}
经典物理学无法给出全波段与实验一致的黑体辐射公式。

\subsection{普朗克的能量子假说}
1900年，普朗克通过内插法得到了一个与实验完美吻合的经验公式。为从理论上推导该公式，他提出了革命性的假设：
\begin{quote}
\textbf{黑体空腔壁上的谐振子（振动原子）的能量不能连续变化，而只能取某些离散值，每个离散值是最小能量单位$h\nu$的整数倍。}
\end{quote}
这个最小能量单位称为\textbf{能量子}：
\begin{equation}
\epsilon = h\nu
\end{equation}
其中$h = 6.626\times 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$，即\textbf{普朗克常数}。

\subsection{普朗克公式}
普朗克黑体辐射公式有两种常见形式：

\begin{myeq}{频率形式}
黑体腔内单位体积内，频率在$\nu$附近单位频率间隔内的辐射能量密度为：
\begin{equation}
u(\nu,T) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/(kT)} - 1}
\end{equation}
\end{myeq}

\begin{myeq}{波长形式}
黑体腔内单位体积内，波长在$\lambda$附近单位波长间隔内的辐射能量密度为：
\begin{equation}
u(\lambda,T) = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{hc/(\lambda kT)} - 1}
\end{equation}
\end{myeq}

其中：
\begin{itemize}
    \item $c$：光速；
    \item $k$：玻耳兹曼常数；
    \item $T$：绝对温度；
    \item $h$：普朗克常数。
\end{itemize}

\subsection{公式的物理内涵}
\begin{itemize}
    \item \textbf{前因子}$\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}$（或$\frac{8\pi hc}{\lambda^5}$）来源于电磁波模式密度的计算；
    \item \textbf{后因子}$\frac{1}{e^{h\nu/(kT)}-1}$（或波长形式）是普朗克引入的“平均能量”，体现了能量量子化的统计结果。
\end{itemize}

\subsection{普朗克公式的意义}
\begin{enumerate}
    \item \textbf{完美解释实验}：公式在全波段与黑体辐射实验曲线精确吻合。
    \item \textbf{导出经典定律}：从普朗克公式可以推导出维恩位移定律和斯特藩-玻耳兹曼定律。
    \item \textbf{连接经典极限}：
        \begin{itemize}
            \item 当$h\nu \gg kT$（短波），公式趋近于维恩公式；
            \item 当$h\nu \ll kT$（长波），公式趋近于瑞利-金斯公式。
        \end{itemize}
    \item \textbf{开启量子时代}：能量子假说第一次揭示了微观世界的不连续性，标志着量子力学的诞生。普朗克常数$h$成为新物理学的基石。
\end{enumerate}

\newpage

\section{卢瑟福散射公式的推导与变式}

\subsection{瞄准距离与散射角的关系}
在库仑斥力作用下，由角动量和能量守恒可得瞄准距离$b$与散射角$\theta$的关系：
\begin{equation}
b = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{E}\cot\frac{\theta}{2}
\end{equation}
其中$E = \frac12 mv^2$为$\alpha$粒子的动能（假设靶核质量远大于$\alpha$粒子，因而可视为静止）。

\subsection{微分截面的定义}
微分散射截面定义为：
\begin{equation}
\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{\text{单位时间散射到}\theta\text{方向单位立体角的粒子数}}{\text{入射粒子流强度}}
\end{equation}
几何上，它等于以瞄准距离$b$为半径的环带面积$2\pi b\,db$对立体角的导数：$\displaystyle \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{2\pi b\,db}{2\pi\sin\theta\,d\theta}$。

\subsection{标准形式（SI单位制）}
将式(1)代入上述几何关系，经过代数运算可得著名的卢瑟福公式：
\begin{myeq}{卢瑟福散射公式（SI单位制）}
\[
\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\right)^2 \left(\frac{Ze^2}{4E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)}
\]
\end{myeq}

\subsection{常见变式}

\subsubsection{高斯单位制}
在高斯单位制中，库仑力常数$1/(4\pi\epsilon_0)$被置为1，公式简化为：
\begin{equation}
\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{Ze^2}{4E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)}
\end{equation}
需注意此时$e$以静电单位（esu）表示。

\subsubsection{用瞄准距离$b$表示}
有时需要直接用$b$表达微分截面，由式(1)反解出$d\sigma/d\Omega$与$b$的关系：
\begin{equation}
\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{b}{\sin\theta}\left|\frac{db}{d\theta}\right|
\end{equation}
代入$b(\theta)$的导数即可。

\subsubsection{积分截面（总截面）}
散射到所有角度的总截面理论上应为无限大，因为小角度散射的截面发散。但在实际实验中，通常只考虑大于某个最小角度的散射，此时积分截面为：
\begin{equation}
\sigma_{\text{int}} = \int_{\theta_{\min}}^{\pi} \frac{d\sigma}{d\Omega} 2\pi\sin\theta\,d\theta
\end{equation}
代入公式后积分可得有限值（但$\theta_{\min}\to0$时发散）。

\subsubsection{质心系与实验室系的转换}
若靶核质量$M$与入射粒子质量$m$可比拟，需区分实验室系和质心系。卢瑟福公式在质心系中形式不变，只是$E$应理解为质心系总动能，$\theta$为质心系散射角。实验室系与质心系的角分布转换关系为：
\begin{equation}
\tan\theta_L = \frac{\sin\theta_c}{\cos\theta_c + m/M}
\end{equation}
其中$\theta_L$为实验室系散射角，$\theta_c$为质心系散射角。

\subsection{符号详细解释}
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{cll}
\toprule
\textbf{符号} & \textbf{含义} & \textbf{说明} \\
\midrule
$d\sigma/d\Omega$ & 微分截面 & 散射概率的量度，面积/立体角 \\
$Z$ & 靶原子核的原子序数 & 决定库仑场强度 \\
$e$ & 元电荷 & $\alpha$粒子电荷为$2e$ \\
$E$ & $\alpha$粒子动能 & $E = \frac12 mv^2$ \\
$\theta$ & 散射角 & 在质心系中定义 \\
$1/(4\pi\epsilon_0)$ & 库仑力常数 & SI单位制特有 \\
$\epsilon_0$ & 真空介电常数 & $\epsilon_0 = 8.854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\caption{卢瑟福散射公式中各符号的意义}
\end{table}

\newpage


%!TEX program = xelatex
\section{光电效应与爱因斯坦辐射理论}
\subsection{光电效应概述}

\subsubsection{定义与发现}
\begin{mydef}{光电效应}
光照射到某些金属表面时，能从表面释放出电子的效应。所释放出的电子称为\textbf{光电子}。
\end{mydef}

\begin{itemize}
    \item \textbf{发现者}：1887年，赫兹在电磁波实验中发现，当紫外光照射到金属电极上时，容易产生放电现象，这是光电效应的最早观察。
    \item \textbf{电子确认}：1896年汤姆孙发现电子后，勒纳德通过实验证明，从金属表面逸出的带电粒子正是电子，从而明确了光电效应的本质。
\end{itemize}

光电效应的研究为光的粒子性理论提供了关键证据，是量子力学诞生的重要基石之一。


%=================== 2. 实验装置与规律 ===================

\subsubsection{实验规律}
光电效应实验揭示了以下几条重要规律：

\textbf{截止频率（红限）}
\begin{mydef}{截止频率 \(\nu_0\)}
对于每种金属，只有当入射光频率 \(\nu\) 大于某一阈值 \(\nu_0\) 时，才会发生光电效应；若 \(\nu < \nu_0\)，无论光强多强，均无光电子逸出。这一阈值频率称为该金属的截止频率或红限。
\end{mydef}

不同金属的截止频率不同，下表给出几种纯金属的截止频率（单位 \(10^{14}\,\text{Hz}\)）：
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{lcccccc}
\toprule
金属 & 铯 (Cs) & 钠 (Na) & 锌 (Zn) & 银 (Ag) & 铂 (Pt) \\
\midrule
\(\nu_0 / 10^{14}\,\text{Hz}\) & 4.545 & 5.50 & 8.065 & 11.53 & 19.29 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\caption{常见金属的截止频率}
\end{table}

\textbf{瞬时性}
当频率 \(\nu > \nu_0\) 的光照射金属时，几乎在照射的同时（\(<10^{-9}\,\text{s}\)）立即产生光电子，无需时间积累。

\textbf{遏止电压与光电子动能}
在阳极和阴极之间施加反向电压（阳极接负，阴极接正），可以阻止光电子到达阳极。使光电流降为零所需的最小反向电压绝对值称为\textbf{遏止电压} \(U_0\)。
\begin{equation}
eU_0 = E_{\text{k,max}} = \frac12 m v_{\text{max}}^2
\end{equation}
其中 \(E_{\text{k,max}}\) 为光电子的最大初动能。实验表明：
\begin{itemize}
    \item 遏止电压 \(U_0\) 与入射光频率 \(\nu\) 呈线性关系（见图1），而与光强无关。
    \item 光强只影响光电流的大小（即单位时间内逸出的光电子数），光强越大，饱和光电流 \(i_m\) 越大（\(i_m \propto I\)）。
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
    \draw[->] (0,0) -- (5,0) node[right] {$\nu$};
    \draw[->] (0,0) -- (0,4) node[above] {$U_0$};
    \draw[thick] (1,0) -- (4.5,3.5) node[right] {Cs};
    \draw[thick] (1.5,0) -- (4.5,2.5) node[right] {K};
    \draw[thick] (2,0) -- (4.5,1.5) node[right] {Cu};
    \node at (1,-0.2) {$\nu_0$};
    \node at (1.5,-0.2) {$\nu_0'$};
    \node at (2,-0.2) {$\nu_0''$};
\end{tikzpicture}
\caption{遏止电压与频率的关系（不同金属）}
\end{figure}

 
%=================== 3. 经典理论的困难 ===================
\subsection{经典电磁理论遇到的困难}

按照经典电磁波理论，光是一种电磁波，其能量由光强（振幅平方）决定，与频率无关。这一图像无法解释以下两个核心问题：

\subsubsection{红限问题}
经典理论认为，只要光强足够大，电子就能从波中获得足够能量而逸出，与频率无关。但实验表明，无论光强多强，若频率低于截止频率，光电效应不会发生。

\subsubsection{瞬时性问题}
经典理论中，电子从波中连续吸收能量，需要一定时间（弛豫时间）积累到逸出功。估算金属中电子的弛豫时间约为数十分钟，然而实验观测到光电效应是瞬时的（响应时间小于 \(10^{-9}\,\text{s}\)）。

这些矛盾表明，经典电磁理论在微观领域失效，需要全新的观念。

 
%=================== 4. 爱因斯坦的光量子理论与方程 ===================
\subsection{爱因斯坦的光量子假说与方程}

1905年，爱因斯坦在解释光电效应时，大胆提出了\textbf{光量子假说}，为量子力学的发展开辟了道路。

\subsubsection{光量子假说}
\begin{mydef}{光量子（光子）}
光本身是由一粒一粒以光速运动的粒子流组成的，这些粒子称为\textbf{光量子}（后称\textbf{光子}）。每个光子的能量与其频率成正比：
\begin{equation}
\varepsilon = h\nu
\end{equation}
其中 \(h = 6.626\times10^{-34}\,\text{J·s}\) 为普朗克常数。
\end{mydef}

光强 \(I\) 对应于单位时间内通过单位面积的光子数密度。

\subsubsection{爱因斯坦光电效应方程}
当光子与金属中的电子相互作用时，一个光子将其全部能量一次性交给一个电子。电子吸收的能量 \(h\nu\) 一部分用于克服金属的束缚（逸出功 \(W\)），剩余部分转化为光电子的动能：
\begin{myeq}{爱因斯坦光电效应方程}
\boxed{h\nu = \frac12 m v^2 + W}
\end{myeq}
其中：
\begin{itemize}
    \item \(h\nu\)：入射光子能量；
    \item \(\frac12 m v^2\)：光电子离开金属表面后的最大初动能（忽略碰撞损耗）；
    \item \(W\)：金属的\textbf{逸出功}，即电子从金属表面逸出所需的最小能量，与材料有关。
\end{itemize}

\subsubsection{方程的解释}
\begin{itemize}
    \item \textbf{截止频率}：令光电子动能为零，即 \(h\nu_0 = W\)，得截止频率 \(\nu_0 = W/h\)。当 \(\nu < \nu_0\) 时，单个光子能量不足以克服逸出功，无论光强多强（光子数再多）也无法产生光电子。这完美解释了红限的存在。
    \item \textbf{瞬时性}：光子能量一次性被电子吸收，无需时间积累，因此光电效应是瞬时的。
    \item \textbf{光强与光电流}：光强增大意味着光子数目增多，单位时间内更多的电子吸收光子而逸出，因此饱和光电流与光强成正比。
    \item \textbf{遏止电压与频率的线性关系}：由方程 \(\frac12 m v_{\text{max}}^2 = h\nu - W\)，结合 \(eU_0 = \frac12 m v_{\text{max}}^2\)，得：
    \begin{equation}
    eU_0 = h\nu - W \quad \Rightarrow \quad U_0 = \frac{h}{e}\nu - \frac{W}{e}
    \end{equation}
    即遏止电压 \(U_0\) 与频率 \(\nu\) 成线性关系，斜率 \(h/e\) 为普适常数，与材料无关。这正是密立根实验所证实的结果。
\end{itemize}

\subsubsection{常见金属的逸出功}
下表给出几种金属的逸出功（单位 eV）：
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{lcccccc}
\toprule
金属 & 钠 (Na) & 铝 (Al) & 锌 (Zn) & 铜 (Cu) & 银 (Ag) & 铂 (Pt) \\
\midrule
\(W/\text{eV}\) & 2.28 & 4.08 & 4.31 & 4.70 & 4.73 & 6.35 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\caption{常见金属的逸出功}
\end{table}

 
%=================== 5. 密立根实验验证 ===================
\subsection{密立根的实验验证}

尽管爱因斯坦的方程发表于1905年，但当时并未被广泛接受。美国实验物理学家密立根（R.A. Millikan）从1905年起花费了十年时间，精心设计实验，试图反驳爱因斯坦的光量子理论，然而实验结果却完美地验证了爱因斯坦方程。

\subsubsection{实验关键}
\begin{itemize}
    \item 密立根采用真空光电管，使用碱金属（如钠、钾）作为阴极，避免表面氧化。
    \item 精确测量不同频率 \(\nu\) 下的遏止电压 \(U_0\)，发现 \(U_0\) 与 \(\nu\) 严格呈线性关系。
    \item 从斜率 \(h/e\) 测得的普朗克常数 \(h\) 值与普朗克黑体辐射理论值高度一致（约为 \(6.57\times10^{-34}\,\text{J·s}\)，与当代值接近）。
\end{itemize}

密立根的实验不仅确认了爱因斯坦方程的正确性，还为普朗克常数提供了独立测量方法。为此，密立根于1923年获得诺贝尔物理学奖（爱因斯坦则因光电效应理论获得1921年诺贝尔奖）。

 
%=================== 6. 光电效应的现代应用（延拓） ===================
\subsection{光电效应的现代应用}

爱因斯坦的光量子理论奠定了光电效应的物理基础，如今光电效应已发展成为众多技术和科学仪器的重要原理。

\subsubsection{光电倍增管}
利用光电效应和二次电子倍增，可将微弱光信号转换为可测电信号，广泛应用于光谱学、粒子探测、医学成像等领域。

\subsubsection{光电二极管与光传感器}
半导体光电二极管基于内光电效应（光生载流子），用于光通信、自动控制、成像传感器（CCD/CMOS）等。

\subsubsection{太阳能电池}
光伏效应（实质是光生伏特效应，涉及内光电效应）将光能直接转化为电能，是清洁能源的重要方向。

\subsubsection{表面分析技术}
如紫外光电子能谱（UPS）和X射线光电子能谱（XPS），利用光电效应分析材料表面的电子态和元素组成，是材料科学的关键工具。

\subsubsection{量子纠缠与单光子源}
现代量子光学中，单光子探测器（如单光子雪崩二极管）基于光电效应，是量子通信和量子计算的基础器件。

 
%=================== 7. 总结 ===================
\subsection{总结}

光电效应揭示了光的粒子性，是量子力学早期发展的核心实验之一。经典理论无法解释红限与瞬时性，而爱因斯坦的光量子假说通过方程 \(h\nu = \frac12 mv^2 + W\) 完美地解释了所有实验规律，并预言了遏止电压与频率的线性关系。密立根的精确实验验证了该方程，使光量子概念得到公认。如今，光电效应不仅具有深刻的理论意义，更在现代科技中发挥着不可替代的作用。

\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{lll}
\toprule
\textbf{实验现象} & \textbf{经典理论困难} & \textbf{爱因斯坦解释} \\
\midrule
存在截止频率 \(\nu_0\) & 光强足够强即可，与频率无关 & 光子能量 \(h\nu\) 需大于逸出功 \(W\) \\
瞬时性（\(<10^{-9}\,\text{s}\)） & 需要长时间能量积累 & 光子能量一次性被电子吸收 \\
遏止电压与频率线性相关 & 无法解释 & 由 \(eU_0 = h\nu - W\) 导出 \\
饱和光电流与光强成正比 & 可解释（光强越大能量越大） & 光子数越多，光电子越多 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\caption{光电效应总结：实验、困难与量子解释}
\end{table}

\vspace{1cm}
\hfill \textbf{—— 整理自原子物理学习笔记}


\newpage



%=================== 玻尔的氢原子理论 ===================
\section{玻尔的氢原子理论}

\subsection{历史背景：卢瑟福模型的困难与光谱之谜}
1911年卢瑟福提出了原子的核式模型（行星模型），但该模型面临两大根本困难：
\begin{itemize}
    \item \textbf{稳定性问题}：经典电磁学预言，绕核加速运动的电子会不断辐射能量，轨道半径逐渐缩小，最终在 \(10^{-11}\,\text{s}\) 内坠入原子核，但现实中的原子是稳定的。
    \item \textbf{光谱分立性问题}：经典理论预言原子光谱应为连续谱，但实验观测到的氢原子光谱是分立的\textbf{线状光谱}（如巴耳末系），谱线频率满足简单的整数关系。
\end{itemize}
这些矛盾表明经典物理学在原子尺度失效，必须引入量子观念。

\subsection{玻尔的三条基本假设}
1913年，尼尔斯·玻尔在卢瑟福模型基础上，结合普朗克的量子概念和氢原子光谱的实验规律，提出了著名的玻尔模型，其核心是三条基本假设：

\begin{mydef}{定态假设}
原子中存在具有确定能量的稳定状态，称为\textbf{定态}。处于定态的电子虽做加速运动，但不辐射电磁能量。定态的能量只能取一系列分立的值 \(E_1, E_2, E_3, \dots\)（能量量子化）。
\end{mydef}

\begin{mydef}{频率条件（跃迁假设）}
当原子从一个定态（能量 \(E_n\)）跃迁到另一个定态（能量 \(E_m\)）时，会发射或吸收一个光子，其频率 \(\nu\) 满足：
\begin{equation}
h\nu = |E_n - E_m|
\end{equation}
其中 \(h\) 为普朗克常数。
\end{mydef}

\begin{mydef}{角动量量子化条件}
在氢原子中，电子绕核做圆周运动的轨道角动量 \(L\) 必须取 \(\hbar = h/2\pi\) 的整数倍：
\begin{equation}
L = m_e v r = n\hbar,\quad n = 1,2,3,\dots
\end{equation}
其中 \(n\) 称为\textbf{主量子数}。这一条件是玻尔为了得到与实验一致的能量谱而引入的量子化规则。
\end{mydef}

\subsection{轨道半径的量子化——玻尔半径}
设氢原子核电荷为 \(+e\)（质子），电子电荷为 \(-e\)，质量为 \(m_e\)，在半径为 \(r\) 的圆轨道上以速率 \(v\) 运动。库仑引力提供向心力：
\begin{equation}
\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r}
\label{eq:force}
\end{equation}
角动量量子化条件：
\begin{equation}
m_e v r = n\hbar,\quad n=1,2,3,\dots
\label{eq:ang}
\end{equation}
由式 (\ref{eq:force}) 解出 \(v^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e r}\)，代入式 (\ref{eq:ang}) 的平方：
\[
m_e^2 r^2 \cdot \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e r} = n^2 \hbar^2
\]
整理得允许的轨道半径：
\begin{myeq}{玻尔轨道半径公式}
\boxed{r_n = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}\, n^2 = n^2 a_0}
\end{myeq}
其中引入
\begin{mydef}{玻尔半径}
\[
a_0 = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} \approx 0.529177 \times 10^{-10}\,\text{m}
\]
它是氢原子基态（\(n=1\)）的轨道半径，也是原子尺度的特征长度。
\end{mydef}

\subsection{能量量子化——氢原子能级公式}
系统的总能量 \(E\) 为动能与势能之和：
\[
E = \frac12 m_e v^2 - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}
\]
利用式 (\ref{eq:force}) 可得 \(\frac12 m_e v^2 = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}\)，代入得：
\[
E = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}
\]
将 \(r_n = n^2 a_0\) 代入，并利用 \(a_0\) 的表达式：
\begin{align*}
E_n &= -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 n^2 a_0} \\
    &= -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 n^2} \cdot \frac{m_e e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar^2} \\
    &= -\frac{m_e e^4}{8\epsilon_0^2 h^2} \cdot \frac{1}{n^2}
\end{align*}
因为 \(\hbar = h/2\pi\)，所以 \(8\pi\epsilon_0 \hbar^2 = 8\pi\epsilon_0 \frac{h^2}{4\pi^2} = \frac{2\epsilon_0 h^2}{\pi}\)，但更常见的形式是：
\begin{myeq}{氢原子能级公式}
\boxed{E_n = -\frac{m_e e^4}{8\epsilon_0^2 h^2} \cdot \frac{1}{n^2},\quad n=1,2,3,\dots}
\end{myeq}
通常也写作：
\[
E_n = -\frac{Rhc}{n^2}
\]
其中 \(R\) 是里德伯常数。

基态能量（\(n=1\)）：
\[
E_1 = -\frac{m_e e^4}{8\epsilon_0^2 h^2} \approx -13.6057\,\text{eV}
\]
这是氢原子的电离能（将基态电子移至无穷远所需能量）。

\subsection{里德伯常数的理论值}
比较 \(E_n = -\frac{Rhc}{n^2}\) 与上述表达式，得：
\begin{mydef}{里德伯常数}
\[
R = \frac{m_e e^4}{8\epsilon_0^2 h^3 c}
\]
代入常数：\(m_e = 9.10938356\times10^{-31}\,\text{kg}\)，\(e = 1.60217662\times10^{-19}\,\text{C}\)，\(\epsilon_0 = 8.8541878128\times10^{-12}\,\text{F/m}\)，\(h = 6.62607015\times10^{-34}\,\text{J·s}\)，\(c = 2.99792458\times10^8\,\text{m/s}\)，计算得理论值：
\[
R_{\infty} \approx 1.0973731568160\times10^7\,\text{m}^{-1}
\]
下标 \(\infty\) 表示核质量无穷大（忽略核运动）。实验测得的氢原子里德伯常数 \(R_H\) 略小（约 \(1.0967758\times10^7\,\text{m}^{-1}\)），差别源于核的有限质量（约化质量修正），玻尔理论通过引入约化质量完美解释了这一差异。
\end{mydef}

\subsection{氢原子光谱的解释}
根据频率条件，原子从高能级 \(E_n\) 跃迁到低能级 \(E_m\)（\(n>m\)）时，发射的光子波数为：
\begin{equation}
\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda} = \frac{E_n - E_m}{hc} = R\left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}\right)
\label{eq:spectrum}
\end{equation}
这一公式概括了氢原子所有光谱线系：

\begin{itemize}
    \item \textbf{莱曼系}（\(m=1\)）：\(\tilde{\nu} = R\left(1 - \frac{1}{n^2}\right),\ n=2,3,4,\dots\)（紫外区）
    \item \textbf{巴耳末系}（\(m=2\)）：\(\tilde{\nu} = R\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{n^2}\right),\ n=3,4,5,\dots\)（可见光区）
    \item \textbf{帕邢系}（\(m=3\)）：\(\tilde{\nu} = R\left(\frac{1}{9} - \frac{1}{n^2}\right),\ n=4,5,6,\dots\)（红外区）
    \item \textbf{布拉开系}（\(m=4\)）：\(\tilde{\nu} = R\left(\frac{1}{16} - \frac{1}{n^2}\right),\ n=5,6,7,\dots\)（远红外）
    \item \textbf{普丰德系}（\(m=5\)）：\(\tilde{\nu} = R\left(\frac{1}{25} - \frac{1}{n^2}\right),\ n=6,7,8,\dots\)（远红外）
\end{itemize}

玻尔理论不仅解释了已知的巴耳末系，还预言了其他线系的存在，这些线系随后均被实验观测证实。

\subsection{类氢离子的推广}
对于核电荷为 \(Ze\)、核外只有一个电子的离子（如 \(He^+\)、\(Li^{2+}\) 等），只需将库仑力中的 \(e^2\) 替换为 \(Ze^2\)，重复上述推导：
\begin{itemize}
    \item 轨道半径：\(r_n = \frac{a_0}{Z} n^2\)
    \item 能级：\(E_n = -\frac{Z^2 R h c}{n^2}\)
    \item 光谱波数：\(\tilde{\nu} = Z^2 R\left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}\right)\)
\end{itemize}
例如，\(He^+\)（\(Z=2\)）的光谱与氢原子相似，但波数扩大4倍，且谱线位置不同，实验观测完全符合。

\subsection{玻尔理论的成就与局限性}
\subsubsection{成就}
\begin{itemize}
    \item 首次将量子概念系统引入原子结构，成功解释了氢原子光谱的规律，并理论计算出里德伯常数，与实验高度吻合。
    \item 提出了定态、跃迁、对应原理等重要概念，为量子力学的诞生奠定了基础。
    \item 对应原理：在大量子数极限下，量子理论的结果应趋近于经典理论，这成为后来量子力学的重要判据。
\end{itemize}

\subsubsection{局限性}
\begin{itemize}
    \item 无法处理多电子原子（如氦原子）的光谱。
    \item 不能解释谱线的精细结构（如氢光谱中每条谱线实际上由多条靠得很近的谱线组成）。
    \item 无法计算谱线强度（跃迁概率）。
    \item 角动量量子化条件带有明显的人为性，缺乏更基本的原理支撑。
\end{itemize}
这些局限性最终促成了矩阵力学和波动力学的诞生。

\subsection{实验验证：弗兰克-赫兹实验}
1914年，弗兰克和赫兹通过电子轰击汞原子实验，直接证明了原子内部存在分立的能级。他们测量了通过汞蒸气的电子电流与加速电压的关系，发现当电子能量达到某一阈值时，电流突然下降，表明电子将能量转移给汞原子使其激发，而激发能恰好等于汞原子某两个能级之差。这一实验为玻尔的定态假设提供了有力的实验支持，弗兰克和赫兹因此获得1925年诺贝尔物理学奖。

\subsection{约化质量修正}
实际氢原子中，原子核（质子）并非静止，电子与核绕共同质心运动。引入约化质量 \(\mu = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}\) 后，里德伯常数修正为：
\[
R_H = R_{\infty} \frac{\mu}{m_e} = R_{\infty} \frac{1}{1 + m_e/m_p}
\]
代入 \(m_e/m_p \approx 1/1836\)，得 \(R_H \approx 1.096776\times10^7\,\text{m}^{-1}\)，与实验值完美吻合，进一步证实了玻尔理论的正确性。

\subsection{总结}
玻尔的氢原子理论是旧量子论时期的巅峰之作，它以简洁的三条假设成功地揭示了氢原子光谱的量子规律，并首次给出了原子能级、玻尔半径、里德伯常数等基本量的表达式，为原子物理学奠定了坚实的基础。

\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{ll}
\toprule
\textbf{物理量} & \textbf{表达式/数值} \\
\midrule
玻尔半径 \(a_0\) & \(\frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} \approx 0.529\,177\times10^{-10}\,\text{m}\) \\
基态能量 \(E_1\) & \(-\frac{m_e e^4}{8\epsilon_0^2 h^2} \approx -13.6057\,\text{eV}\) \\
里德伯常数 \(R_{\infty}\) & \(\frac{m_e e^4}{8\epsilon_0^2 h^3 c} \approx 1.097373\times10^7\,\text{m}^{-1}\) \\
里德伯常数 \(R_H\)（氢） & \(R_{\infty}/(1 + m_e/m_p) \approx 1.096776\times10^7\,\text{m}^{-1}\) \\
\bottomrule
\end{tabular}
\caption{玻尔理论中的关键常数}
\end{table}

\vspace{1cm}
\hfill \textbf{—— 整理自原子物理学习笔记}


%=================== 第五节：适用范围与局限性 ===================

%=================== 结语 ===================


\end{document}